目標作業時間が可変の場合の最適配置法則

J(n;Z，冗（ipい））・目標作業時間

z

で，配置冗(ii,i2,i3)で特殊作業者が配置されている場合に，第 1工程から第n工程までの全n

工程で発生した遊休と遅れによる期待費用．（以下，

期待費用と略す．）

これらの記号を用いると，総期待費用は，

Ez[TC(n;Z,1r(i1,i2,t,))]= nC,1ら

[ z] +

E2[J(n; Z,1r(ii,i2,i3))] (4.1) となる．このとき，最適配置問題は，

尾[rc(n;Z

ぷ）］＝亙

<92攣，＃92#93島[rc(n;Z，叫，い））］（4.2) を満たす配置冗．を求める問題として表される．本論文では，配置がを最適配置と呼ぶただし，（4.2)式を，

叫

J(n;Z

ぷ）］＝

^min ^E⁷^[^J⁽ⁿ^;^Z^，^冗^（i¹⁹^い））］ ^（⁴^．³⁾

区,9^＜92<93<99,9,#92#93 と書き直すことができる．

最適配置法則を提案する前に，定理で用いる確率順序の定義と関係（図 4.1.1) を述べる[13].

(I) Usual Stochastic Order XとYを確率変数とし，

P{X>x}豆P{Y> x} for all

X E ( ‑ o c , , o c , )

が成り立つなら， UsualStochastic OrderにおいてXがYより小さいと呼ぶ．そして， X名 Yと書く．

(2) Hazard Rate Order

Xが確率変数であること，かつFはXの連続確率分布関数ならば， XのHazard Rateは

（

）

叫

t< X :', t + L‑.tlX >

‑ l r

^JV)

r t = lim = ＝‑, t E

( ‑ の心）

叫 0 △

t F ( t )

となる．ただし， F=I‑Fとする．

XとYが非負の確率変数とし， r(t)とq(t)はXとYのHazardRateである．

r(t)2 q(t), t

E ( ‑ 0 0 , 0 0 )

成り立つなら， HazardRate Orderにおいて Xが Yより小さいと呼ぶそして，

X~1,,.Y と書く．

(3) Mean Residual Life Order

Xが確率変数とし，

F

はXのsurviva]関数であること，かつXの平均余寿命関数m(t)は，

m(t)＝{E[x‑t￨X>t} jbrt<t*； 0, otherwise,

となる．ただし，「＝ sup~ ：戸(t)> 0 }

^となる．

XとYを確率変数とし， m(t)とl(t)はXとYのMe皿 ResidualLife (mrl) functionとすると，

m(t)sl(t) forallt

が成り立つなら， Me皿 ResidualLife functionにおいてXがYより小さいと呼ぶ．

そして， Xs,,,,.,Yと書く．

無条件無条件

rem 2.A.1,p.83) (Theorem l.BJ,p.18)

喜，nrl

Y ̀

^、

1 ) = ニニコ ^X ^名 ^， ^Y ^{二二二} @ x ^名 ^Y

固4.1.1 確率順序の関係図

確率順序の関係の証明付録5に示す．

4.1.2 作業者Aに関する最適配置法則

作業者Aを最初の工程に配置することが，作業者Aが作業者Cより前工程に配置されるという範囲内で最適となる法則を解析的に示し，最適配置法則を提案す

る．

本項では，特殊作業者の位置を示すii'i2'ちを，便宜上，それぞれiA'ic,'ic,

と表す．また， 1<ii2 ＜もと仮定しているので，り＜i(，＜i(，となることに注意する．

定理4‑1

叫がKに対して非減少で， TBShr乃を満たすとき，枷VA,ic,,icJltsiA<ic, ‑1) の中で最も期待費用が低い配置は冗(1,ic,,ic,)である．

ただし， TB名乃は作業者Bの作業時間乃がHazardRate Orderにおいて作業者Aの作業時間乃より小さいことと表す．

定理4‑1の証明

定理4‑1の条件TB名乃から，確率順序の相関関係について，

T 8 s . " T A T B s , 9 I r / T A

が成立する．

まず， TB名乃について，確率順序の定義から，ツに対して，

｛乃＞

｝名

｛九＞ z }

が成立する．

したがって，

Q B ( Z )

三仏

( z )

が成立する．

TB 三9999•IT;，について，確率順序の定義から， vz に対して，

が成立する．

したがって，

が成立する．

E [ T A ‑ Z I T A >Z]=~ 「 ⁽ ^x ^‑ ^z ⁾ ^f ^, ^, ^（ ^x ^V ^{x T} ^L ^, ¹ ⁽ ^z ⁾

叫T A >z }

^＝

Q , , ( z ) E [ T B

―

Z I T R > Z ] = 』 ⁽ ^x ^‑ ^Z に ( x ) d x n u ( z )

叫 T B > Z }

＝

QAZ)

T

ら

( z ) T L A ( z ) Q 8 ( Z ) ‑Q

こ

, , ( z )

(4.4)式と（4.5)式が成立するから，定理 3‑1の証明より，ビと巧に対して，

(4.4)

(4.5)

E[Tc(n;Z，冗（1）〗Z=z]~E[Tc(n;Z，冗⑲Z=z]

⁽⁴^.⁶⁾

が成立する．（4.4)式と(4.5)式は第3章で目標作業時間が一定の場合の定理の条件と同じである．だから，（4.6)式が成立する．

したがって，

z

^{が連続の場合}

g ( z )

を目標作業時間

z

^{の確率密度関数とする}

と，

が成立する．

E l T C ( n ; Z , 1 t ( I , i , ，人）） l

= E [ E [ r c ( n ; Z , 1 t ( I , i c , , i c , ) ) ] z l

=f。~ E [ r c ( n ; Z , 1 t ( I , i c , ' i c , ) ) z = z ] . g ( z ) d z

寸 E [ r c ( n ; Z 叫， i c , , i c , ) ) z= g ・ ] z ( z ) d z

= E [ E [ r c ( n ; Z , 1 t ぃ（ i c , ,i c , ) ) ] z ]

= E [ r c ( n ; Z , 1 t V A , i c , , i c , ) ) ]

z

^{が離散の場合では，}

E [ T C ( n ; Z

^，^冗^（l^，

i ( , , i ( 2 ) ） l

= E [ E [ r c ( n ; Z

，冗（

,i 1 c , , i c , ) ) ] z ]

= t ( r c ( n ; Z 吋， 1 , i c , , i c , ) ) ・ P , { z = z } ) :

;

t ( r c ( n ; Z 叫， i c , ,i c , ) ) ・

{ z = z } )

= E [ E [ r c ( n ; Z 叫， i c , , i c , ) ) ] z ]

= E [ T C ( n ; Z m ( i A , i (

^，^，

i ( 2 )

］）

(4.7)

(4.8)

が成立するただし，

P , { z

z }

は確率変数

Z

が実現値

z

となる確率質量関数を表す．

叫 ( i

^＇

9 , i ( ' 2 )

が局所最適配置であることが証明される．

よって，定理4‑]が証明される．

4.1.3 作業者Cに関する最適配置法則

（定理4‑]の証明終了）

一人目の作業者 C]を最初の工程に配置することが，作業者 C]が作業者 A または作業者

C 2

より前工程に配置されるという範囲内で最適配置となる法則を解析

的に示し，最適配置法則として提案する．

本節の定理4‑2では，特殊作業者の位置を示す ii' i2 > i3を，便宜上，それぞれ i￠, iA, i(^＇²と表す．また， ,i＜も<i3と仮定しているので，

に注意する．定理4‑3では，特殊作業者の位置を示すi,,

i(，くり＜いとなること i2, i,を，便宜上，それぞれic,, iぃりと表す

ことに注意する．

また 1i＜も＜もと仮定しているので， i('，<ir, ＜りとなる

定理4‑2

心が Kに対して非減少で， T戸弘刀を満たすとき，

の中で最も期待費用が低い配置は冗(1,iA,iC,)である．

訊，，iA,icJ11

:;;ic, 印—1}

ただし， TB三^h^r乃は作業者Bの作業時間乃がHazardRate Orderにおいて作業者 Cの作業時間刀より小さいことと表す．

定理4‑3

Cいが Kに対して非減少で， TB三hr刀を満たすとき，

の中で最も期待費用が低い配置は吋l,ic,'り）である．

｛哄，

^l^ら

' 1 ; l ) ￨

豆く

lら ―

} 1

ただし， T戸弘刀は作業者Bの作業時間乃が HazardRate Orderにおいて作業者 Cの作業時間乃より小さいことと表す．

付録6に示す．

定理4‑2の証明

定理4‑3の証明定理4‑2の証明と同じ方法を使うため，省略する．

目標作業時間が一定の場合の定理と比べると，目標作業時間が可変な定理では， 3グループの作業者所有する作業時間が確率順序における大小関係さえ分かれば，最適配置が決まる．定理4‑2と定理4‑3から，確率順序の定理を応用すれば，目標作業時間が可変の場合でも目標作業時間が一定の場合と同じ方法で最適配置を算出することが可能であることを示した．

本節では，目標作業時間が可変の場合，作業者Aが1人，作業者Cが2人，作業者 Bがn‑3人の場合，一番遅い作業者が第一工程に配置されることが局所最適配置であることは示したが，全範囲の最適配置は示されていない．そこで， 4.2

節において数値実験の範囲内ではあるが，全範囲の最適配置についても考察を記す．

4.2 数値考察

本節では， 4.1節で提案した一部の最適配置法則以外の初心者に関する最適配置法則を，各作業者の作業時間が指数分布に従うと仮定した数値実験を通じて考察する．また，熟練者に関する最適配置法則が提案できていないため数値的な考察を行う．

本実験では，目標作業時間が離散と連続分布に従う場合に分けて，実験を行う．

目標作業時間が離散の場合では，

Jz(z)=

P , . { z

= z}=j

0.1, z=I 0.2, z=2 0.3, z=3 0.4, z

=

が従うと仮定する．ここで，工程数nの生産ラインにおける期待費用 TCは TC=nC

ふ

[z]+Ez[.r(n;Z，冗（iA,i/J，ic))]

=n·C, ・匹 •P, ^{ ^z

⁼^z^}^）＋言^(J(n;Z^，^冗^（ⁱ^A^,

^い

⁾⁾^•P,

^{ ^z

⁼^z^}⁾

‑

＝l

と表される．

目標作業時間が連続の場合では，

f2(z)＝ μze

― μ , ,

が従うと仮定する． μzは指数分布の係数である．ここで，工程数nの生産ラインにおける期待費用 TCは

TC=nC

ふ

[z]＋紀[J(n;Z，冗（iA,i砂））］ l 99" 9

=nC, —＋ここ

叫

いー，

^C^!^，^k^‑^l⁾⁾ ，μz(c

州＋

C.I

）

C μz u 2K 2μ99(J

互門

¹^+μz]＋乳凡，（μ，,＋μz)

+ac、一~l

と表されるまた，各作業者の作業時間が指数分布に従うと仮定する．具体的には，第 3章の 3.2節を参考されたい．

4.2.1項では，初心者が 1人，熟練者が 2人，一般者がn‑3人の場合における数値的な考察を記す． 4.2.2項では，初心者が 2人，熟練者が 1人，一般者がn‑3人の場合における数値的な考察を記す．

4.2.1 初心者Aが 1人，熟練者 Cが2人，一般者Bが11‑3人の場合における数値的考察

本場合では，定理4‑1を提案した最適配置法則の範囲以外の初心者Aまたは，

熟練者Cに関する最適配置法則を，数値実験を通じて考察する．

目標作業時間が離散分布に従うと仮定する時，初心者Aが1人，熟練者Cが2 人，一般者Bがn‑3人居る場合において，工程数が 9及び 10工程のシステムを対象に作業者の加工率を変えながら，初心者Aと熟練者Cに着目して以下の数値実験を行う（表4.2.1,表4.2.2及び表4.2.3)．具体的に，以下の三つの場合にそれぞれ各作業者の加工率が変動させる．

表4.2.1に，初心者Aの加工率μ,1を0.1として固定，熟練者 Cの加工率μ(．を 1.0として固定，一般者 Bの加工率μHを0.2から 0.9までの間で変動させた場合の数値実験の結果を示す．表 4.2.2に， μAを0.1として固定， μBを0.2として固定，μ(を 0.3から 1.0までの間で変動させた場合の数値実験の結果を示す．そして，表4.2.3に， μBを0.9として固定，μ(を 1.0として固定， μAを0.1から 0.8までの間で変動させた場合の数値実験の結果を示す．

表4.2.1, 表4.2.2及び表4.2.3から，定理4‑1で提案した最適配置法則，初心者 Aの最適配置は第l工程であることが確認できた．

表4.2.1から，一般者 Bの加工率が大きくなっているが，配置される工程はほとんど変わっていないことが分かる．一般者の加工率が大きくなっていくと，ニ人の熟練者Cの配置は中央工程のままである．連続遅れが防ぐために，期待費用を抑えるためであると考えられる．

表4.2.2から，熟練者Cの加工率が大きくなにつれ，熟練者Cの配置は最後の工程から中央工程へと移る．初心者，一般者ともに加工率が小さく，熟練者Cの加工率が大きくなっていくと，熟練者を中央工程に配置することにより，連続遅れが防ぐために，期待費用を抑えるためであると考えられる．

表4.2.3から，初心者Aの加工率が大きくなっているが，配置される工程はほとんど変わっていないことが分かる．表4.2.1で述べた結果と同様である．それをまとめて，初心者，一般者と熟練者の加工率が近い時に，加工率が大きな熟練者を中央工程に配置することにより，連続遅れを防ぎ，期待費用を低く抑えるためであると考えられる．

表4.2.1 初心者 (1人）及び熟練者 (2人）の加工率を固定し，一般者 (11‑3 人）の加工率を変動させた場合における数値実験による最適配置 (Z離散）

μA μB μ(. 9工程 10工程 0.1 0.2 1.0 ABBBCCBBB ABBBCBCBBB 0.1 0.3 1.0 ABBBCCBBB ABBBCBCBBB 0.1 0.4 1.0 ABBBCCBBB ABBBCBCBBB 0.1 0.5 1.0 ABBBCCBBB ABBBCBCBBB 0.1 0.6 1.0 ABBCBCBBB ABBBCCBBBB 0.1 0.7 1.0 ABBCBCBBB ABBBCCBBBB 0.1 0.8 1.0 ABBCCBBBB ABBBCCBBBB 0.1 0.9 1.0 ABBCCBBBB ABBBCCBBBB

表4.2.2 初心者 (1人）及び一般者 (11‑3人）の加工率を固定し，熟練者 (2 人）の加工率を変動させた場合における数値実験による最適配置 (Z離散）

μA μB

ぐ μ

9工程 10工程

0.1 0.2 0.3 ABBBBBBCC ABBBBBBBCC 0.1 0.2 0.4 ABBBBBBCC ABBBBBBBCC 0.1 0.2 0.5 ABBBBBBCC ABBBBBBBCC 0.1 0.2 0.6 ABBBBCCBB ABBBBBCCBB 0.1 0.2 0.7 ABBBBCCBB ABBBBCCBBB 0.1 0.2 0.8 ABBBCCBBB ABBBBCCBBB 0.1 0.2 0.9 ABBBCCBBB ABBBBCCBBB 0.1 0.2 1.0 ABBBCCBBB ABBBCBCBBB

表4.2.3 一般者 (n‑3人）及び熟練者 (2人）の加工率を固定し，初心者 (1 人）の加工率を変動させた場合における数値実験による最適配置 (Z離散）

μA μII

・（ μ

⁹工程 10工程

0.1 0.9 1.0 ABBCCBBBB ABBBCCBBBB 0.2 0.9 1.0 ABBCCBBBB ABBBCCBBBB 0.3 0.9 1.0 ABBCCBBBB ABBBCCBBBB 0.4 0.9 1.0 ABBBCCBBB ABBBCCBBBB 0.5 0.9 1.0 ABBBCCBBB ABBBCCBBBB 0.6 0.9 1.0 ABBBCCBBB ABBBCCBBBB 0.7 0.9 1.0 ABBBCCBBB ABBBCCBBBB 0.8 0.9 1.0 ABBBCCBBB ABBBCCBBBB 目標作業時間が連続分布に従うと仮定する時，工程数が 8工程のシステムを対象に作業者の加工率と μzを変えながら，初心者Aと熟練者 Cに着目して以下の数値実験を行う（表 4.2.4,表 4.2.5及び表 4.2.6)．表 4.2.4,表4.2.5及び表 4.2.6

に，作業者の加工率が表4.2.1,表4.2.2及び表4.2.3と同じ変動させ， μzは0.1から1.0までの間で変動させた場合の数値実験の結果を示す．

表4.2.4, 表4.2.5及び表4.2.6から，定理4‑1で提案した最適配置法則，初心者 Aの最適配置は第 1工程であることが確認できた．

表4.2.4から，一般者Bの加工率と μzが小さいときは，初心者及び一般者によって生じた連続した工程の遅れを防ぎ，期待費用を低く抑えるため，加工率が大きな熟練者をバランス良く配置するが，一般者 Bの加工率とμzが大きくなっていくと，熟練者がバランスをとる必要がなくなるため，最適配置が変わってない．

表4.2.5から，熟練者 Cの加工率が大きくなにつれ，初心者，一般者ともに加工率及びμzが小さいときは，連続遅れが防ぐために，一人目の熟練者Cの配置は最後の工程から中央工程へと移る． μzが大きくなっていっても，最適配置が変わ

ってない．

表4.2.6から，熟練者Cの加工率とμzが大きくなるにつれ，最適配置が変わってない．

ドキュメント内目次 (ページ 37-52)

目標作業時間が可変の場合の最適配置法則

z

[ z] +

ぷ ） ］ ＝ 亙

叫

ぷ ） ］ ＝

X E ( ‑ o c , , o c , )

（

）

叫

‑ l r

( ‑ の 心 ）

t F ( t )

E ( ‑ 0 0 , 0 0 )

F

となる．ただし，「＝ sup~ ：戸(t)> 0 }

Y ̀

1 ) = ニニコ X 名 ， Y 二 二 二 @ x 名 Y

T 8 s . " T A T B s , 9 I r / T A

｛ 乃 ＞

｝ 名

｛ 九 ＞ z }

Q B ( Z )

( z )

E [ T A ‑ Z I T A >Z]=~ 「 ( x ‑ z ) f , , （ x V x T L , 1 ( z )

叫T A >z }

Q , , ( z ) E [ T B

Z I T R > Z ] = 』 ( x ‑ Z に ( x ) d x n u ( z )

叫 T B > Z }

QAZ)

T

( z ) T L A ( z ) Q 8 ( Z ) ‑Q

, , ( z )

E[Tc(n;Z，冗（1）〗Z=z]~E[Tc(n;Z，冗⑲Z=z]

z

g ( z )

z

E l T C ( n ; Z , 1 t ( I , i , ， 人 ） ） l

= E [ E [ r c ( n ; Z , 1 t ( I , i c , , i c , ) ) ] z l

=f。~ E [ r c ( n ; Z , 1 t ( I , i c , ' i c , ) ) z = z ] . g ( z ) d z

寸 E [ r c ( n ; Z 叫 ， i c , , i c , ) ) z= g ・ ] z ( z ) d z

= E [ E [ r c ( n ; Z , 1 t ぃ （ i c , ,i c , ) ) ] z ]

= E [ r c ( n ; Z , 1 t V A , i c , , i c , ) ) ]

z

E [ T C ( n ; Z

i ( , , i ( 2 ) ） l

= E [ E [ r c ( n ; Z

,i 1 c , , i c , ) ) ] z ]

= t ( r c ( n ; Z 吋 ， 1 , i c , , i c , ) ) ・ P , { z = z } ) :

;

;

t ( r c ( n ; Z 叫 ， i c , ,i c , ) ) ・

{ z = z } )

= E [ E [ r c ( n ; Z 叫 ， i c , , i c , ) ) ] z ]

= E [ T C ( n ; Z m ( i A , i (

i ( 2 )

P , { z

z }

Z

z

叫 ( i

9 , i ( ' 2 )

C 2

:;;ic, 印—1}

｛ 哄 ，

' 1 ; l ) ￨

豆く

} 1

P , . { z

=

ふ

=n·C, ・匹 •P, { z

い

{ z

― μ , ,

ふ

叫

い ー ，

州 ＋

）

ぷ）］＝亙

ぷ）］＝

( ‑ の心）

1 ) = ニニコ ^X ^名 ^， ^Y ^{二二二} @ x ^名 ^Y

｛乃＞

｝名

｛九＞ z }

E [ T A ‑ Z I T A >Z]=~ 「 ⁽ ^x ^‑ ^z ⁾ ^f ^, ^, ^（ ^x ^V ^{x T} ^L ^, ¹ ⁽ ^z ⁾

Z I T R > Z ] = 』 ⁽ ^x ^‑ ^Z に ( x ) d x n u ( z )

E l T C ( n ; Z , 1 t ( I , i , ，人）） l

寸 E [ r c ( n ; Z 叫， i c , , i c , ) ) z= g ・ ] z ( z ) d z

= E [ E [ r c ( n ; Z , 1 t ぃ（ i c , ,i c , ) ) ] z ]

= t ( r c ( n ; Z 吋， 1 , i c , , i c , ) ) ・ P , { z = z } ) :

t ( r c ( n ; Z 叫， i c , ,i c , ) ) ・

= E [ E [ r c ( n ; Z 叫， i c , , i c , ) ) ] z ]

｛哄，

=n·C, ・匹 •P, ^{ ^z

^い

^{ ^z

いー，

州＋

互門

・（ μ