特性多様体

ここでは,線型偏微分方程式系の特性多様体(cf. 3.4節)を計算するアルゴリズムを与え るのが目標である. 4.3節と同様に N²ⁿ の項順序 ≺W であって

(α, β)≺W (α⁰, β⁰) =⇒ |β| ≤ |β⁰|

を満たすものを一つ固定する. 更にN²ⁿ× {1, . . . , r} の全順序 ≺W を (α, β, i)≺W (α⁰, β⁰, j) ⇐⇒ |β|<|β⁰|

or (|β|=|β⁰|, i < j)

or (|β|=|β⁰|, i=j, (α, β)≺W (α⁰, β⁰))

で定義して W-順序と呼ぶ. この順序に関する P~ ∈ (A_n)^r のleading exponent と leading point をそれぞれ lexp(P~), lp(P~)で表わそう.

106

定理 5.2.1. Pij ∈An として, 線型偏微分方程式系 M :

∑r j=1

P_iju_j = 0 (i= 1, . . . , s)

を考える. P~_i := (P_i1, . . . , P_ir) ∈ (A_n)^r とおいて, G を (A_n)^r の左部分 A_n-加群 N :=

A_nP~₁+· · ·+A_nP~_s のW-順序に関するグレブナ基底として,ν = 1, . . . , r に対して G_ν :=

{P~ ∈G|lp(P~) = ν}とおくと, M の特性多様体Char(M) は Char(M) =

∪r ν=1

{(x, ξ)∈C²ⁿ|σ(P~)_ν(x, ξ) = 0 for any P~ ∈G_ν}

で定義されるC²ⁿ の代数的集合である. ここで, σ(P~)_ν は σ(P~)の第 ν 成分を表わす.

証明: D^r の左D-部分加群(の層) N を

N :=DP~₁+· · ·+DP~_s で定義する. k≥0 に対して

Mk := D(k)u₁+· · ·+D(k)u_r, Nk := D(k)^r∩ N,

gr(N) :=

⊕∞ k=0

(Nk/Nk−1), µ(gr(N)) := OC²ⁿ ⊗_O[ξ]gr(N)

とおく. 3.4節の議論から,µ(gr(N))は (OC²ⁿ)^r の部分 OC²ⁿ-加群とみなせて, Char(M) ={p^∗ = (x, ξ)∈C²ⁿ|µ(gr(N))_p∗ 6= ((OC²ⁿ)_p∗)^r} が成立する. また, gr(N)の部分 O[ξ]-加群の層 L^(ν) を

L^(ν) :={(f₁, . . . , f_r)∈gr(N)|f_µ= 0 for µ > ν}

で定義すると, L^(ν)/L^(ν−1) は(第 ν 成分に着目することにより)O[ξ]のイデアル(の層)と みなすことができる. 従ってp^∗ ∈T^∗Cⁿ=C²ⁿ に対して

p^∗ 6∈Char(M) ⇐⇒ µ(gr(N))_p∗ = ((OC²ⁿ)_p∗)^r

⇐⇒ µ(L^(ν)/L^(ν−1))p^∗ = (OC²ⁿ)p^∗ (∀ν = 1, . . . , r)

である. 実際この条件は,各 ν に対して (f_ν,1, . . . , f_ν,ν−1,1,0, . . . ,0)という形の µ(gr(N)) の元が存在することと同値であることに注意すればよい. さて, 以下では L^(ν)/L^(ν−1) が {σ(P~)_ν |P~ ∈G_ν} で生成されることを示そう.

まず定理4.3.3によって, gr(N)はO[ξ]上σ(G) := {σ(P~)|P~ ∈G}で生成される. 従っ て G={P~₁, . . . , ~P_t} として,f~∈(Nm/Nm−1)∩ L^(ν) とすると, 適当なq_i ∈ O[ξ] によって

f~=

∑t i=1

q_iσ(P~_i) (2.1)

と書ける. ここで µ:= max{lp(P~_i)|q_i 6= 0}として,

G_≤µ:={σ(P~)|P~ ∈G, lp(P~)≤µ}, σ(G_≤µ) :={σ(P~)|P~ ∈G_≤µ}

とおこう. P~₁, . . . , ~P_t の順番を適当に入れ替えることにより G_≤µ = {P~₁, . . . , ~P<sub>`</sub>} (` ≤ t) としてよい. W-順序の定義から, σ(G_≤µ) は C[x, ξ]^r において, W-順序に関するグレブナ 基底であることがわかる. すなわち, 1≤i < j ≤` に対して

sp(σ(P~_i), σ(P~_j)) =s_ijσ(P~_i)−s_jiσ(P~_j) =

∑` k=1

q_ijkσ(P~_k) (2.2) かつ

lexp_W(~q_ijkσ(P~_k))W lexp_W(σ(P~_i))∨lexp_W(σ(P~_j)) (k = 1, . . . , `)

を満たす q_ijk ∈ C[x, ξ] と単項式 s_ij, s_ji が存在する. 特に (2.2) の第 µ 成分を見れば, σ(G_µ) の第 µ成分のなす集合はC[x, ξ]におけるグレブナ基底であることがわかる. ここ で Gµ={P~1, . . . , ~Pλ} (λ≤`) と仮定してよい. 1≤i < j ≤λ に対して

~v_ij := (0, . . . ,s⁽ⁱ⁾_ij, . . . ,−^(j)s_ji, . . . ,0)−(q_ij1, . . . , q_ijλ)∈C[x, ξ]^λ とおき,O[ξ]-準同型 ϕ, ψ を

ϕ(f1, . . . , fλ) := f1·(σ(P~1))µ+· · ·+fλ ·(σ(P~λ))µ, ψ((f_ij)_i<j) := ^∑

i<j

f_ij ·(~v_ij)_µ

で定義すれば, 定理4.3.3の証明と同様に O[ξ] の C[x, ξ] 上の平坦性から, O[ξ]-加群の完 全系列

0−→ O[ξ]^λ(λ−1)/2 −→ O^ψ [ξ]^λ −→ O^ϕ [ξ]−→0 を得る. さて (2.1)と µの定義から

f~=

∑` i=1

q_iσ(P~_i) (2.3)

が成立している. ここでµ > ν と仮定すると, f~∈ L^(ν) から(2.3) の両辺の第 µ 成分は0 でなければならないから,上の完全系列によって,適当な g_ij ∈ O[ξ]が(考えている点の近 傍で)存在して

(q₁, . . . , q_λ) = ^∑

1≤i<j≤λ

g_ij~v_ij (2.4)

が成立する. (2.3), (2.4)によって f~ =

∑` k=1

q_kσ(P~_k)

=

∑λ k=1

qkσ(P~k) +

∑` k=λ+1

qkσ(P~k)

= ^∑

1≤i<j≤λ

g_ij~v_ij ·(σ(P~₁), . . . , σ(P~_`)) +

∑` k=λ+1

q_kσ(P~_k)

=

∑` k=λ+1

q_kσ(P~_k)

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を得る. ここで最後の行は P~_k ∈G_≤µ−1 なるk に関する和に他ならない. µ−1> ν なら ば,µ−1を改めてµとして,以上の議論を繰り返せば, 結局 f~がσ(G_≤ν) の O[ξ]-係数の １次結合で表わされることがわかる. その１次結合の第 ν 成分に着目すれば,このことは L^(ν)/L^(ν−1) が σ(G_ν) で生成されることを意味する. 故に

p^∗ = (p, ξ)6∈Char(M) ⇐⇒ ∀ν = 1, . . . , r  (σ(P~)(p, ξ)6= 0 for some P~ ∈Gν) を得るから定理が証明できた. 2

例 5.2.2. 変数をx₁, . . . , x₄ の代わりに t, x, y, z として, ∂₁, . . . の代わりに ∂_t, . . . などと 表わすことにする. 電場を E,~ 磁場をH~ で表わすと,真空中の Maxwell の方程式は

divE~ = divH~ = 0, rotE~ +µ∂tH~ = 0, rotH~ −ε∂_tE~ = 0

で与えられる. ただしε, µ は正の定数とする(それぞれ, 真空の誘電率, 透磁率を表わす).

(E, ~~ H) = (u₁, . . . , u₆) としてこれらを成分表示すれば, 定理5.2.1の記号で P~1 = (∂x, ∂y, ∂z,0,0,0),

P~₂ = (0,0,0, ∂_x, ∂_y, ∂_z), P~₃ = (0,−∂_z, ∂_y, µ∂_t,0,0), P~₄ = (∂_z,0,−∂_x,0, µ∂_t,0), P~₅ = (−∂_y, ∂_x,0,0,0, µ∂_t), P~₆ = (−ε∂_t,0,0,0,−∂_z, ∂_y), P~₇ = (0,−ε∂_t,0, ∂_z,0,−∂_x), P~8 = (0,0,−ε∂t,−∂y, ∂x,0)

となる. これらが(A₄)⁶ で生成する左 A₄-加群の(∂ についての全次数-辞書式順序から誘 導されるW-順序に関する)グレブナ基底 Gを求めると G={P~_i |i= 1, . . . ,13},ただし

P~9 = (εµ∂_t²−∂_x²−∂²_y −∂_z²,0,0,0,0,0), P~₁₀ = (0, εµ∂_t²−∂_x²−∂_y²−∂_z²,0,0,0,0), P~₁₁ = (ε∂_z∂_t,0,0, ∂_y∂_x, ∂_y²+∂_z²,0),

P~₁₂ = (∂_z∂_x, ∂_z∂_y, εµ∂_t² −∂_x²−∂_y²,0,0,0), P~₁₃ = (0, ε∂_z∂_t,−ε∂_y∂_t,−∂_x²−∂_y²−∂_z²,0,0)

となる. (各P~_i は定数係数, すなわちC[∂]⁶ の元であるから, 実際にはこれは,多項式環上 の加群のグレブナ基底アルゴリズム(アルゴリズム1.2.17)で計算できる. 上の定理から,

特性多様体 V は

V = {(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(P~₉)₁(τ, ξ, η, ζ) = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(P~₁₀)₂ = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(P~₁)₃ =σ(P~₁₂)₃ = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(P~3)4 =σ(P~13)4 = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(P~₄)₅ =σ(P~₈)₅ =σ(P~₁₁)₅ = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(P~₂)₆ =σ(P~₅)₆ =σ(P~₆)₆ =σ(P~₇)₆ = 0}

= {εµτ²−ξ²−η²−ζ² = 0} ∪ {εµτ²−ξ²−η²−ζ² = 0}

∪{ζ =εµτ²−ξ²−η² = 0} ∪ {τ =ξ²+η²+ζ² = 0}

∪{τ =ξ=η²+ζ² = 0} ∪ {τ =ξ=η=ζ = 0}

= {(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|εµτ²−ξ²−η²−ζ² = 0}

となる(t, x, y, z の双対変数をτ, ξ, η, ζ とおいた). これは, 電磁波が速度1/√

εµ で伝播す

ることを意味する.

例 5.2.3. 変数は上の例と同じとして, 変位 ~u= (u_x, u_y, u_z) を未知関数として, 等方弾性 体における波動方程式

ρ∂_t²u_x = (λ+µ)∂_xdiv~u+µ∆u_x, ρ∂t2

uy = (λ+µ)∂ydiv~u+µ∆uy, ρ∂_t²u_z = (λ+µ)∂_zdiv~u+µ∆u_z

を考えよう. ここで,ρ, λ, µは正の定数(ρは密度を表わし, λ, µはLam´e係数と呼ばれる) で,

div~u:=∂xux+∂yuy+∂zuz, ∆ :=∂x2

+∂y2

+∂z2

である. これを定理5.2.1の形に書けば

P~₁ := (ρ∂_t²−(λ+ 2µ)∂_x²−µ∂_y²−µ∂_z², −(λ+µ)∂_x∂_y, −(λ+µ)∂_x∂_z), P~2 := (−(λ+µ)∂x∂y, ρ∂t2−(λ+ 2µ)∂y2−µ∂x2 −µ∂z2

, −(λ+µ)∂y∂z), P~₃ := (−(λ+µ)∂_x∂_z, −(λ+µ)∂_y∂_z, ρ∂_t²−(λ+ 2µ)∂_z²−µ∂_x²−µ∂_y²)

となる. ここでλ/ρと µ/ρ を改めてλ, µとおけばρ= 1 としても一般性を失わない．例 5.2.2 と同じ順序でのグレブナ基底はG={Q~_i |i= 1, . . . ,7} である. ただし

Q~₁ = (−λ∂_x∂_z−µ∂_x∂_z,−λ∂_y∂_z−µ∂_y∂_z,−µ∂_x²−µ∂_y²−λ∂_z²−2µ∂_z²+∂_t²), Q~2 = (−λ∂x∂y−µ∂x∂y,−µ∂_x²−λ∂_y²−2µ∂_y²−µ∂_z²+∂_t²,−λ∂y∂z−µ∂y∂z), Q~₃ = (−λ∂_x² −2µ∂_x²−µ∂_y²−µ∂_z²+∂_t²,−λ∂_x∂_y −µ∂_x∂_y,−λ∂_x∂_z−µ∂_x∂_z), Q~₄ = (λµ∂_x³+ 2µ²∂³_x+λµ∂_x∂_y² + 2µ²∂_x∂_y²−λ²∂_x∂_z²−2λµ∂_x∂_z²−µ∂_t²∂_x,

λµ∂_x²∂_y+ 2µ²∂_x²∂_y+λµ∂_y³+ 2µ²∂_y³−λ²∂_y∂_z²−2λµ∂_y∂_z²−µ∂_t²∂_y,

−λ²∂_z³λ²−3λµ∂_z³−2µ²∂_z³+λ∂_t²∂_z+µ∂_t²∂_z), 110

Q~₅ = (µ∂_x²∂_y +µ∂_y³+µ∂_y∂_z²−∂_t²∂_y,−µ∂_x³−µ∂_x∂_y²−µ∂_x∂_z²+∂_t²∂_x,0),

Q~₆ = (−λµ∂_x³∂_y −2µ²∂_x³∂_y−λµ∂_x∂_y³−2µ²∂_x∂_y³−λµ∂_x∂_y∂_z²−2µ²∂_x∂_y∂_z²+λ∂_t²∂_x∂_y +2µ∂_t²∂_x∂_y, −λµ∂_x²∂_y²−2µ²∂_x²∂_y²−λµ∂_x²∂_z²−2µ²∂_x²∂_z²+µ∂_t²∂_x²−λµ∂_y⁴−2µ²∂_y⁴

−2λµ∂_y²∂_z²−4µ²∂_y²∂_z²+λ∂_t²∂_y²+ 3µ∂_t²∂_y²−µλ∂_z⁴−2µ²∂_z⁴+λ∂_t²∂_z²+ 3µ∂_t²∂_z²−∂_t⁴,0), Q~7 = (λµ∂_x⁴+ 2µ²∂⁴_x+ 2λµ∂_x²∂_y²+ 4µ²∂_x²∂_y²+ 2λµ∂_x²∂_z²+ 4µ²∂_x²∂_z²−λ∂_t²∂_x²

−3µ∂_t²∂_x²+λµ∂_y⁴+ 2µ²∂_y⁴+ 2λµ∂_y²∂_z²+ 4µ²∂_y²∂_z²−λ∂_t²∂_y²−3µ∂_t²∂_y² +λµ∂_z⁴+ 2µ²∂_z⁴−λ∂_t²∂_z²−3µ∂_t²∂_z²+∂_t⁴, 0,0)

である. Q~_i (i= 1, . . . ,7)の leading point はそれぞれ 3,3,3,3,2,2,1であるから,特性多 様体V は

V = {(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(Q~7)1(τ, ξ, η, ζ) = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(Q~₅)₂ =σ(Q~₆)₂ = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(Q~₁)₃ =σ(Q~₂)₃ =σ(Q~₃)₃ =σ(Q~₄)₃ = 0}

= {(τ²−µ(ξ²+η²+ζ²))(τ²−(λ+ 2µ)(ξ²+η²+ζ²)) = 0}

∪{(τ²−µξ²−µη²−µζ²)(τ²−(λ+ 2µ)η²−(λ+ 2µ)ζ²)

=ξ(τ²−µξ²−µη²−µζ²) = 0}

∪{τ²−µξ²−µη²−(λ+ 2µ)ζ² =ηζ =ξζ =ζ(τ² −(λ+ 2µ)ζ²) = 0}

= {(τ²−µ(ξ²+η²+ζ²))(τ²−(λ+ 2µ)(ξ²+η²+ζ²)) = 0}

となる. これは, 変位が速度 ^√µ/ρ 及び^√(λ+ 2µ)/ρ で伝わることを意味する.

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