ホロノミー系の特異点とランク

Q~₅ = (µ∂_x²∂_y +µ∂_y³+µ∂_y∂_z²−∂_t²∂_y,−µ∂_x³−µ∂_x∂_y²−µ∂_x∂_z²+∂_t²∂_x,0),

Q~₆ = (−λµ∂_x³∂_y −2µ²∂_x³∂_y−λµ∂_x∂_y³−2µ²∂_x∂_y³−λµ∂_x∂_y∂_z²−2µ²∂_x∂_y∂_z²+λ∂_t²∂_x∂_y +2µ∂_t²∂_x∂_y, −λµ∂_x²∂_y²−2µ²∂_x²∂_y²−λµ∂_x²∂_z²−2µ²∂_x²∂_z²+µ∂_t²∂_x²−λµ∂_y⁴−2µ²∂_y⁴

−2λµ∂_y²∂_z²−4µ²∂_y²∂_z²+λ∂_t²∂_y²+ 3µ∂_t²∂_y²−µλ∂_z⁴−2µ²∂_z⁴+λ∂_t²∂_z²+ 3µ∂_t²∂_z²−∂_t⁴,0), Q~7 = (λµ∂_x⁴+ 2µ²∂⁴_x+ 2λµ∂_x²∂_y²+ 4µ²∂_x²∂_y²+ 2λµ∂_x²∂_z²+ 4µ²∂_x²∂_z²−λ∂_t²∂_x²

−3µ∂_t²∂_x²+λµ∂_y⁴+ 2µ²∂_y⁴+ 2λµ∂_y²∂_z²+ 4µ²∂_y²∂_z²−λ∂_t²∂_y²−3µ∂_t²∂_y² +λµ∂_z⁴+ 2µ²∂_z⁴−λ∂_t²∂_z²−3µ∂_t²∂_z²+∂_t⁴, 0,0)

である. Q~_i (i= 1, . . . ,7)の leading point はそれぞれ 3,3,3,3,2,2,1であるから,特性多 様体V は

V = {(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(Q~7)1(τ, ξ, η, ζ) = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(Q~₅)₂ =σ(Q~₆)₂ = 0}

∪{(t, x, y, z, τ, ξ, η, ζ)|σ(Q~₁)₃ =σ(Q~₂)₃ =σ(Q~₃)₃ =σ(Q~₄)₃ = 0}

= {(τ²−µ(ξ²+η²+ζ²))(τ²−(λ+ 2µ)(ξ²+η²+ζ²)) = 0}

∪{(τ²−µξ²−µη²−µζ²)(τ²−(λ+ 2µ)η²−(λ+ 2µ)ζ²)

=ξ(τ²−µξ²−µη²−µζ²) = 0}

∪{τ²−µξ²−µη²−(λ+ 2µ)ζ² =ηζ =ξζ =ζ(τ² −(λ+ 2µ)ζ²) = 0}

= {(τ²−µ(ξ²+η²+ζ²))(τ²−(λ+ 2µ)(ξ²+η²+ζ²)) = 0}

となる. これは, 変位が速度 ^√µ/ρ 及び^√(λ+ 2µ)/ρ で伝わることを意味する.

とおく. 各 i= 1, . . . , nに対して, C[x]のイデアル Ji を

J_i :={f(x)∈C[x]|f(x)ξ_i^k ∈I for some k∈N} で定義すると,

π(V) =

∪n i=1

{x∈Cⁿ|f(x) = 0 for any f ∈J_i} が成立する.

証明: i= 1, . . . , n に対して

V_i :={(x, ξ)∈V |ξ_i = 1}

とおくと, V は ξ について斉次だから π(V) = ^∪n_i=1π(V_i) である. 一方, I の元に ξ_i = 1 を代入したものの全体I_i は, 2n−1 変数多項式環

R_i :=C[x, ξ₁, . . . , ξ_i−1, ξ_i+1, . . . , ξ_n]

のイデアルであって, J_i = I_i∩C[x] が成立する. 実際, J_i ⊂I_i ∩C[x] は明らかであるか ら,f(x)∈I_i∩C[x]とすると,ある g(x, ξ)∈I が存在してf = subst(g, ξ_i,1) が成り立つ. g を ξ に関する斉次成分に分解して

g(x, ξ) =

∑m k=0

g_k(x, ξ) (g_k は ξ についてk 次斉次)

と書くと, I が ξ について斉次イデアルであることから, 各斉次成分 g_k は I に属する. 従って,

g^h(x, ξ) :=

∑m k=0

ξ_i^m−kg_k(x, ξ) は I の元でξ について m 次斉次である. そこで

h(x, ξ) :=f(x)ξ_i^m−g^h(x, ξ)

とおくと,h は ξ について斉次で,ξ_i = 1 を代入すると 0となるから, h(x, ξ) =q(x, ξ)(ξ_i−1)

を満たす q(x, ξ)∈ C[x, ξ] が存在する. q(x, ξ) を ξ に関する斉次成分に分解すれば, h の 斉次性から q =h = 0でなければならないことがわかる. 従って f(x)ξ_i^m =g^h ∈ I, すな わちf ∈J_i である. このことと定義から

W_i := {x∈Cⁿ |f(x) = 0 for any f ∈J_i}

= {x∈Cⁿ |f(x) = 0 for any f ∈I_i∩C[x]}

⊃ π(V_i)

は明らかであるが, 更に消去法(終結式)の理論を用いると,W_i は π(V_i)のZariski closure, すなわちπ(Vi) を含む最小の代数的集合であることがわかる([CLO]参照). 従って W :=

∪_n

i=1W_i はπ(V) =^∪n_i=1π(V_i)のZariski closureである. 一方,斉次性からV はCⁿ×Pⁿ⁻¹ の代数的集合とみなせる(Pⁿ⁻¹ は n−1 次元複素射影空間)から, π(V)はCⁿの代数的集 合である(例えば [Mum] 参照). 従って W =π(V)が成立する. 2

N²ⁿ の全順序 ≺W は前節と同様とする. 112

命題 5.3.2. 命題5.3.1と同じ仮定のもとで, {f1, . . . , fm} を I の生成元の集合であって, 各 f_i は ξ について斉次であるものとする. 各 i について, G_i を

{subst(f₁, ξ_i,1), . . . ,subst(f_m, ξ_i,1)}

が C[x, ξ]で生成するイデアルの順序 ≺W に関するグレブナ基底とすると,

π(V) =

∪n i=1

{x∈Cⁿ|f(x) = 0 for any f ∈G_i∩C[x]} である.

証明: 命題5.3.1 の記号で,J_i が G_i∩C[x]の生成する C[x] のイデアルであることを示 せばよい. I_i を命題5.3.1の証明中で定義されたものとすると, G_i は 2n−1 変数多項式環 Ri において, ≺W から誘導される順序に関する Ii のグレブナ基底であると言ってもよい.

G_i ={f₁(x), . . . , f_{`</sub>(x), f<sub>`+1}(x, ξ), . . . , f_s(x, ξ)}

かつ f<sub>`+1</sub>, . . . , f<sub>s</sub> は ξ について1次以上とする. f(x) ∈ J<sub>i</sub> とすると f ∈ I<sub>i</sub> だから f = <sup>∑s</sup><sub>k=1</sub>q<sub>k</sub>f<sub>k</sub> かつ, (q<sub>k</sub> 6= 0 ならば) lexp(q<sub>k</sub>f<sub>k</sub>) W lexp(f) なる q<sub>1</sub>, . . . , q<sub>s</sub> ∈ C[x, ξ] が 存在する. このことと ≺W の定義から,q<sub>k</sub>f<sub>k</sub> は ξ について 0次でなければならないから, k > `のとき q_k = 0 でなければならない. これで,J_i は G_i∩C[x] の生成する C[x] のイ デアルであることが示された. 2

以上の２つの命題と定理5.2.1を合せれば, 特異点集合を計算するアルゴリズムが得ら れる:

定理 5.3.3. P_ij ∈A_n として, 線型偏微分方程式系 M :

∑r j=1

P_iju_j = 0 (i= 1, . . . , s)

を考える. P~_i := (P_i1, . . . , P_ir) ∈ (A_n)^r とおいて, G を (A_n)^r の左部分 A_n-加群 N :=

A_nP~₁+· · ·+A_nP~_s のW-順序に関するグレブナ基底として,ν = 1, . . . , r に対して G_ν :=

{σ(P~)_ν ∈ G| lp(P~) = ν} とおく. 更に G_ν の各元に ξ_i = 1 を代入した多項式の生成す る C[x, ξ] のイデアルの順序 ≺W に関するグレブナ基底を G_νi とおく. このとき M の singular locus (特異点集合) Sing(M) は

Sing(M) =

∪r ν=1

∪n i=1

{x∈Cⁿ |f(x) = 0 for any f ∈G_νi ∩C[x]}

で与えられる. 特に, Sing(M)6=Cⁿであるための条件は,すべてのν, iについて,G_νi∩C[x]

が空集合でないことである. 証明:

V_ν :={(x, ξ)|f(x, ξ) = 0 for any f ∈G_ν}

とおくと,定理5.2.1によって

V := Char(M) =

∪r ν=1

Vν

である. 一方,命題5.3.2から π(V_ν) =

∪n i=1

{x∈Cⁿ |f(x) = 0 for any f ∈G_νi∩C[x]} であるから, 定理の結論を得る. 2

次に Mのランク(cf. 4.6節)を計算するアルゴリズムを与えよう. MはCⁿ\Sing(M) 上でホロノミー系であることに注意する.

定理 5.3.4. Mは定理5.3.3と同様とする. N²ⁿ の項順序 ≺W を命題4.3.4で定義された ものとして,P~₁, . . . , ~P_s の生成する(A_n)^r の左部分A_n-加群の順序≺W に関するグレブナ 基底をG として

m :=](Nⁿ× {1, . . . , r} \mono($(E_W(G)))) とおく. ただし

$:N²ⁿ× {1, . . . , r} −→Nⁿ× {1, . . . , r}

は $(α, β, ν) = (β, ν) で定義され,] は集合の元の個数を表わす. このときもしm が有限

ならば, M は Cⁿ\Sing(M) においてホロノミー系であって, そのランク, すなわち, そ

こでのM の正則解の次元は m に等しい.

証明: ≺R を 4.3節で定義された Nⁿ× {1, . . . , r} の項順序とする. U :={x∈Cⁿ|lcoefR(P~)(x)6= 0 for any P~ ∈G}

とおくと, 各 P~ ∈G に対して lcoef_R(P~) は x の多項式だから, U は Cⁿ の空でない開集 合である. 任意の p∈ U に対して M の p における茎Mp は, Op-加群としては, (Op)^m と同型であることを示そう.

平行移動することによって, p = 0 としても一般性を失わない. G が (A_n)^r における

≺W に関するグレブナ基底であることから, 命題4.3.4, 4.3.5, 4.3.6 によって,G は左D0 -加群

N0 :=D0P~₁ +· · ·+D0P~_s ⊂(D0)^r

の順序 ≺D (4.2節を参照)に関するグレブナ基底であることがわかる. 仮定から, すべて の P~ ∈G に対してlexp_R(P~)(0)6= 0 だから,ある Nⁿ× {1, . . . , r}のモノイデアル E₀ が 存在して,

E_D(N) = $⁻¹(E₀) となっている. 更に

S0 :=Nⁿ× {1, . . . , r} \E0

114

とおけば, m=]S0 である. さて,r 次元単位ベクトルのM の茎 M0 = (D0)^r/N0 におけ る剰余類を u₁, . . . , u_r として,O0-準同型ψ を

(O0)^m 3(f_αi)_(α,i)∈S0 7−→ψ((f_αi)) := ^∑

(α,i)∈S0

f_αi(x)∂^αu_i ∈ M0

で定義しよう. 任意の M0 の元v は,適当な Q1, . . . , Qr ∈ D0 によって v =Q₁u₁+· · ·+Q_ru_r

と書けるが, G={P~₁, . . . , ~P_s} とおけば,定理4.2.10(割算定理)によって (Q₁, . . . , Q_r) =U₁P~₁+· · ·+U_sP~_s+ (R₁, . . . , R_r)

かつexps(R_i)⊂$⁻¹(S₀)をみたす U₁, . . . , U_s, R₁, . . . , R_r ∈ D0 が存在する. このとき v =R1u1+· · ·+Rrur

で, 条件から適当なf_αi ∈ O0 によって

(R₁, . . . , R_r) = ^∑

(α,i)∈S0

f_αi(x)∂^α~e_i

と書けるから, ψ は全射である. また. ψ((fαi)) = 0 とすると, 定義から P~ := ^∑

(α,i)∈S0

f_αi(x)∂^α~e_i ∈ N0

であるが, 一方 lexp_D(P~)6∈ $⁻¹(E₀) = E_D(N) であるから, P~ = 0 でなければならない.

以上によってψ は同型であるから, O0-加群として, M0 は (O)^m に同型である.

さて Y := {0} とおくと, 接方程式系の茎 (MY)0 = M0/x1M0+· · ·+xnM0 は M0

の O0-加群としての構造だけから定まるから

(MY)₀ '(O0/x₁O0+· · ·+x_nO0)^m=C^m

を得る. これと 3章の結果から,M の 0 の近傍での正則関数解の全体は Hom_D(M,O)₀ ' Hom_C(MY,C) =C^m

となる. また, m が有限であることから, 各 ν = 1, . . . , r と i = 1, . . . , n に対して, lexp_D(P~) = (0;⁽¹⁾0, . . . ,

(ν)

k(ν, i), . . . ,⁽ⁿ⁾0 ; i)なる P~ ∈Gと k(ν, i)∈N が存在するから, 0 の 近傍では Char(M) ={(x, ξ)| ξ = 0} となる. 以上のことから M は U においてホロノ ミー系であって, ランクはm であることがわかった. 特に U ⊂Cⁿ\Sing(M)である. 2 例題として, Appell の2変数超幾何関数のみたす偏微分方程式系を考え, その特性多様 体, 特異点集合, ランクを計算しよう. 計算には Risa/Asir 上で下山武司氏が主に作成し た Weyl代数用グレブナ基底プログラムを用いた.

以下では n= 2 として x1, x2 のかわりに x, y を変数として,∂1, ∂2 のかわりに ∂x, ∂y と 書く. まず, Appell の2変数超幾何級数 F₁, . . . , F₄ の満たす方程式系 M1, . . . ,M4 は u を未知関数として,

Mi : Pi1u=Pi2u= 0 (i= 1, . . . ,4)

で定義される. ここでP_ij は α, α⁰, . . . を複素数の定数として,次で定義される Weyl 代数 A₂ の元である:

P₁₁ := x(1−x)∂_x²+y(1−x)∂_x∂_y +{γ−(α+β+ 1)x}∂_x−βy∂_y−αβ, P₁₂ := y(1−y)∂_y²+x(1−y)∂_x∂_y+{γ−(α+β⁰ + 1)y}∂_y −β⁰x∂_x−αβ⁰, P21 := x(1−x)∂_x²−xy∂x∂y +{γ−(α+β+ 1)x}∂x−βy∂y −αβ,

P₂₂ := y(1−y)∂_y²−xy∂_x∂_y+{γ⁰−(α+β⁰+ 1)y}∂_y −β⁰x∂_x−αβ⁰, P₃₁ := x(1−x)∂_x²+y∂_x∂_y+{γ−(α+β+ 1)x}∂_x−αβ,

P₃₂ := y(1−y)∂_y²+x∂_x∂_y +{γ−(α⁰+β⁰+ 1)y}∂_y−α⁰β⁰, P₄₁ := x(1−x)∂_x²−2xy∂_x∂_y−y²∂_y²+{γ−(α+β+ 1)x}∂_x

−(α+β+ 1)y∂_y −αβ,

P₄₂ := y(1−y)∂_y²−2xy∂_x∂_y −x²∂_x²+{γ⁰−(α+β+ 1)y}∂_y

−(α+β+ 1)x∂x−αβ.

N⁴ の項順序 ≺W を命題4.3.4で定義されたものとする. (1) M1:

I1 :=P11A2+P12A2 の順序≺W に関する(極小)グレブナ基底は G={P₁₁, P₁₃, P₁₄, P₁₅},

ただし,

P₁₃ := y(y−1)(x−y)∂_y²+β⁰x(x−1)∂_x

+(((α−β+β⁰+ 1)y+β−γ)x+ (−α−β⁰−1)y² +γy)∂_y+αβ⁰(x−y), P14 := (x−y)∂y∂x−β⁰∂x+β∂y,

P₁₅ := (x−y²)∂_y∂_x−(y−1)y∂_y²+β⁰(−x−y)∂_x +((−α+β−β⁰−1)y+γ)∂_y−aβ⁰

である. ただし α−γ+ 16= 0 とする. 命題5.3.2の記号で G₁ ∩C[x, y] = {x(x−1)(x−y)}, G₂ ∩C[x, y] = {y(y−1)(x−y)} であるから, 特異点集合は

Sing(M1) = {(x, y)∈C² |xy(x−1)(y−1)(x−y) = 0} 116

である. また,

E_W(G) = {(2,0,2,0), (1,2,0,2), (1,0,1,1), (0,2,1,1)} より, M1 のランクは

m=](N²\mono({(2,0),(1,1),(0,2)})) = 3 である. 特性多様体は

Char(M1) = {σ(P₁₁) =σ(P₁₃) = σ(P₁₄) = σ(P₁₅) = 0}

= {(x, y, ξ, η)|x=y = 0} ∪ {x−1 =y−1 = 0}

∪{x=η= 0} ∪ {x−1 =η= 0} ∪ {y=ξ = 0}

∪{y−1 =ξ = 0} ∪ {x−y=ξ+η= 0} ∪ {ξ =η = 0} となるから, 特にM1 は C² 全体でホロノミー系であることもわかる.

(2) M2: I2 :=P21A2+P22A2 の順序 ≺W に関する(極小)グレブナ基底は G={P₂₁, P₂₂, P₂₃, P₂₄},

ただし,

P₂₃ := y(y−1)(−x−y+ 1)∂_y³ +x²β⁰(−x+ 1)∂_x²

+x(((β−β⁰)y−β⁰+γ⁰−1)x+ (α−γ+ 1)y+β⁰−γ⁰+ 1)∂_y∂_x +((βy²+ (−α−β⁰−3)y+γ⁰+ 1)x+ (−α−β⁰ −3)y²

+(α+β⁰+γ⁰+ 4)y−γ⁰−1)∂_y²

+xβ⁰(α+ 1)(−x+ 1)∂x+ (α+ 1)((βy−β⁰−1)x+ (−β⁰−1)y+β⁰+ 1)∂y, P₂₄ := (y−1)y∂_y²∂_x−(y−1)y∂_y³+xβ⁰(−x+ 1)∂_x²

+(((β−β⁰)y−β⁰+γ⁰−1)x+ (α+β⁰−γ+ 2)y−γ⁰)∂_y∂_x +(βy² + (−α−β⁰−3)y+γ⁰+ 1)∂_y²+β⁰(α+ 1)(−x+ 1)∂_x +(α+ 1)(βy−β⁰−1)∂_y

である. 命題5.3.2の記号で

G₁∩C[x, y] = {x(x−1)(x+y−1)}, G2∩C[x, y] = {y(y−1)(x+y−1)} であるから, 特異点集合は

Sing(M2) = {(x, y)∈C² |xy(x−1)(y−1)(x+y−1) = 0} である. また,

E_W(G) = {(2,0,2,0), (1,1,1,1), (1,2,0,3), (0,2,1,2)}

より, M2 のランクは 4である. 特性多様体は

Char(M2) = {σ(P₂₁) = σ(P₂₂) =σ(P₂₃) = σ(P₂₄) = 0}

= {(x, y, ξ, η)|x=y= 0} ∪ {x−1 =y = 0} ∪ {x=y−1 = 0}

∪{x=η = 0} ∪ {x−1 =η = 0} ∪ {y=ξ= 0}

∪{y−1 =ξ = 0} ∪ {x+y−1 =ξ−η= 0} ∪ {ξ =η = 0} となるから, 特にM2 は C² 全体でホロノミー系である.

(3) M3: I3 :=P31A2+P32A2 の順序 ≺W に関する(極小)グレブナ基底は G={P₃₁, P₃₂, P₃₃, P₃₄},

ただし,

P₃₃ := y²(y−1)((y−1)x−y)∂_y³

+x(((α⁰ +β⁰+ 1)y+α+β−γ)x+ (−α⁰−β⁰−1)y)∂_y∂_x +y((−α⁰−β⁰−3)y+γ+ 1)((−y+ 1)x+y)∂_y²

+xα⁰β⁰(x−1)∂_x

+((((β⁰+ 1)α⁰+β⁰+ 1)y²+ ((−β⁰−1)α⁰−β⁰−1)y+βα)x +((−β⁰−1)α⁰−β⁰−1)y²)∂y,

P34 := y²∂y2

∂x−(y−1)²y²∂y3

+(((−α⁰ −β⁰ −1)y−α−β+γ)x+ (α⁰+β⁰ + 1)y)∂_y∂_x +y(y−1)((−α⁰ −β⁰ −3)y+γ+ 1)∂_y²

+α⁰β⁰(−x+ 1)∂_x

+(((−β⁰−1)α⁰−β⁰−1)y²+ ((β⁰+ 1)α⁰+β⁰+ 1)y−βα)∂_y である. 命題5.3.2の記号で

G₁∩C[x, y] = {x²(x−1)(xy−x−y)}, G₂∩C[x, y] = {y²(y−1)(xy−x−y)} であるから, 特異点集合は

Sing(M3) ={(x, y)∈C² |xy(x−1)(y−1)(xy−x−y) = 0} である. また,

E_W(G) = {(2,0,2,0), (1,0,1,1), (1,4,0,3), (0,2,1,2)} より, M3 のランクは 4である. 特性多様体は

Char(M3) = {σ(P₃₁) =σ(P₃₂) =σ(P₃₃) = σ(P₃₄) = 0}

= {(x, y, ξ, η)|x=y = 0} ∪ {x−1 =η = 0}

∪{x−1 =η= 0} ∪ {x=η= 0} ∪ {y=ξ = 0}

∪{xy−x−y=ξ−(y−1)²η= 0} ∪ {ξ =η = 0} 118

となるから, 特にM3 は C² 全体でホロノミー系である.

(4) M4: I4 :=P41A2+P42A2 の順序 ≺W に関する(極小)グレブナ基底は G={P₄₃, P₄₄, P₄₅, P₄₆},

ただし,

P₄₃ := −2xy∂_y∂_x+y(−x−y+ 1)∂_y²

+x(−α−β+γ−1)∂_x+ (−γ⁰x+ (−α−β−1)y+γ⁰)∂_y−αβ, P44 := x∂x2−y∂y2

+γ∂x−γ⁰∂y,

P₄₅ := y(x²+ (−2y−2)x+y²−2y+ 1)∂_y³ +2x²(−α−β+γ−1)∂_x²

+x((α+β−γ−2γ⁰+ 3)x+ (−α−β+ 3γ−3)y−α−β+γ+ 2γ⁰−3)∂_y∂_x +((γ⁰ + 1)x²+ ((α+β−3γ⁰−2)y−2γ⁰−2)x+ (α+β+ 3)y²

+(−α−β−γ⁰−4)y+γ⁰+ 1)∂_y² +2x((−β−1)α−β+γ−1)∂_x

+(((β+ 1)α+β−2γ⁰+ 1)x+ ((β+ 1)α+β+ 1)y+ (−β−1)α−β−1)∂y, P46 := −2(y−1)y∂y2

∂x+y(x−3y−1)∂y3

+2x(−α−β+γ−1)∂_x²

+((α+β−γ−2γ⁰+ 3)x+ (−2α−2β+ 4γ−6)y+ 2γ⁰)∂_y∂_x +((γ⁰ + 1)x+ (α+β−4γ⁰−3)y−γ⁰−1)∂_y²

+2((−β−1)α−β+γ−1)∂_x+ ((β+ 1)α+β−2γ⁰+ 1)∂_y である. 命題5.3.2の記号で

G₁∩C[x, y] = {x(x²−2xy+y²−2x−2y+ 1)}, G₂∩C[x, y] = {y(x²−2xy+y²−2x−2y+ 1)} であるから, 特異点集合は

Sing(M4) ={(x, y)∈C² |xy(x² −2xy+y²−2x−2y+ 1) = 0} である. また,

E_W(G) = {(1,1,1,1), (1,0,2,0), (2,1,0,3), (0,2,1,2)} より, M4 のランクは 4である. 特性多様体は

Char(M4) = {σ(P43) = σ(P44) =σ(P45) =σ(P46) = 0}

= {(x, y, ξ, η)|x=y= 0} ∪ {x=η= 0}

∪{y=ξ= 0} ∪ {ξ=η= 0}

∪{x²−2xy+y²−2x−2y+ 1 =−2xξ+ (−x−y+ 1)η= (2y−2)ξ+ (−x+ 3y+ 1)η = 0}

となるから, 特にM4 は C² 全体でホロノミー系である.

3変数の場合の例として, Lauricellaの超幾何級数FD の満たす線型偏微分方程式系MD

を考えよう. これは

MD : P₁u=P₂u=P₃u= 0 で定義される. ただし x₁ =x, x₂ =y, x₃ =z と書くと,

P₁ := x(1−x)∂_x²+y(1−x)∂_y∂_x+z(1−x)∂_z∂_x +(γ−(α+β₁+ 1)x)∂_x−β₁y∂_y −β₁z∂_z−αβ₁, P₂ = x(1−y)∂_y∂_x+y(1−y)∂_y²+z(1−y)∂_z∂_y

−β₂x∂_x(γ−(α+β₂+ 1)y)∂_y−β₂z∂_z−αβ₂, P₃ := x(1−z)∂_z∂_x+y(1−z)∂_z∂_y +z(1−z)∂_z²

−β3x∂x−β3y∂y+ (γ−(α+β3+ 1)z)∂z−αβ3

である(α, β₁, . . . は複素数の定数). α−γ+ 16= 0 のとき I :=P₁A₃+P₂A₃+P₃A₃ の W-順序に関する極小グレブナ基底G は 9 個の元からなり,

E_W(G) = {(1,1,2,0,0,2), (0,1,0,0,1,1), (1,0,2,0,1,1), (1,2,0,0,2,0), (1,0,0,1,0,1), (0,0,2,1,0,1), (1,0,0,1,1,0), (0,2,0,1,1,0), (2,0,0,2,0,0)}

であるから, MD のランクは 4である. また命題5.3.2の記号で G₁∩C[x, y, z] = {x(x−1)(−x+z)(−x+y)}, G₂∩C[x, y, z] = {y(y−1)(−y+z)(x−y)}, G₃∩C[x, y, z] = {z(z−1)(−y+z)(x−z)} であるから, 特異点集合は

Sing(MD) = {(x, y, x)∈C³ |xyz(x−1)(y−1)(z−1)(x−y)(y−z)(z−x) = 0} である.

問題 1. α, β を複素数の定数として C² における偏微分方程式系 (x∂x−α)u= (y∂y −β)u=∂_y²u= 0

のランク, 特性多様体, singular locus を計算せよ(必要ならα, β の値によって場合分けを 行なえ).

120

第 6 ^章 フックス型偏微分方程式系に対す

ドキュメント内 , 1993.,,., implement, ( )., 1970,,, I.N. Bernstein, ( D- ),., D-,., D-, ( ), ( ) (singular locus),, 3,. (Gröbner basis), 1960 B. Buchberger,.,,, impl (ページ 117-127)