特性多様体

(2) すべての k∈Z について Mk⊂ Mk+1 かつある `∈Z に対して M` = 0;

(3) すべての k, `∈Z に対してD(`)Mk ⊂ Mk+`;

(4) ^∪_k∈ZMk=Mすなわち, すべての p∈X に対して^∪_k∈Z(Mk)_p =Mp; (5) あるk₀ ∈Z があって, すべての k ≥k₀ に対してMk =D(k−k₀)Mk0. このとき各 Mk/Mk−1 は自然に O-加群の構造を持つ. gr(M) を直和

gr(M) := ^⊕

k∈Z

Mk/Mk−1

で定義すると, gr(M) は D の M への作用から導かれるO[ξ]'^⊕k≥0D(k)/D(k−1) の 作用でO[ξ]-加群となる. こうして定義されるO[ξ]-加群 gr(M)のことをMの filtration {Mk} に付随する graded module と呼ぶ.

M0 を M= DM0 を満たすような M の局所有限生成 O-部分加群とすると, Mk :=

D(k)M0 とおけば{Mk} が good filtration であることは明らかであろう. なお, 上の条 件 (5) において k₁ ≥k₀ ならば k ≥k₁ のとき

Mk=D(k−k₀)Mk0 =D(k−k₁)D(k₁−k₀)Mk0 =D(k−k₁)Mk1

であるから k₀ を k₁ にとりかえても (5) が成り立つことに注意しておく.

補題 3.4.3. {Mk} と {M⁰k} を X 上の連接 D-加群 M の２つのgood filtration とする と,任意の p∈X に対して, pのある開近傍 U とある`∈N が存在して, すべてのk ∈Z に対して U 上で

Mk−` ⊂ M<sup>0</sup>k⊂ Mk+`

が成立する.

証明: 定義 3.4.2 の (5) から, すべての k ≥ k₀ に対してMk = D(k −k₀)Mk0 かつ M⁰_k =D(k−k₀)M⁰_k0 が成り立つような k₀ ∈N をとれる. 任意の p∈X に対して, p の 近傍U と u1, . . . , ur ∈ Mk0(U)が存在して U 上で

Mk0 =Ou₁+· · ·+Ou_r

が成立する. 同様にして v₁, . . . , v_s ∈ M⁰_k0(U)が存在して U 上で M⁰k0 =Ov₁+· · ·+Ov_s

が成立しているとしてよい.

M⁰k0 ⊂ M = ^∪

k≥k0

Mk = ^∪

k≥k0

D(k−k0)Mk0 =Du1+· · ·+Dur

であるから,必要ならpの開近傍U を小さく取り直すことにより,P_ij ∈ D(U)が存在して v_i =

∑r j=1

P_iju_j (i= 1, . . . , s)

60

が成立する. 従ってPij 達の階数の最大値を ` とおけば M<sup>0</sup>k0 ⊂ D(`)Mk0 =Mk0+`

である. 定義によってM⁰k1 = 0なる k₁ ≤k₀ がある. このときすべての k∈ Z に対して M⁰k ⊂ M`+k0−k1+k が成立する. 実際, k≥k₀ のときは

M⁰_k =D(k−k₀)M⁰_k0 ⊂ D(k−k₀)M`+k0 =M`+k⊂ M`+k0−k1+k, k1 < k < k0 のときは

M⁰k ⊂ M⁰k0 ⊂ M`+k0 ⊂ M`+k0−k1+k,

k ≤ k1 のときは M⁰k = 0 であるから明らか. 従って `+k0−k1 を改めて ` とすればよ い. Mk と M⁰k を取り替えて同じ議論をすれば補題の主張が示される. 2

定理 3.4.4. M を X 上定義された連接 D-加群, {Mk} と {M⁰k} をM の２つの good filtration として

gr(M) := ^⊕

k∈Z

Mk/Mk−1, gr⁰(M) := ^⊕

k∈Z

M⁰k/M⁰k−1

とおくと,

Supp(µ(gr(M))) = Supp(µ(gr⁰(M))) = Char(M) が成立する.

証明: 補題3.4.3によりある `∈N があって, すべてのk ∈Z に対して Mk−` ⊂ M⁰k⊂ Mk+`

が成立するとしてよい. ^⊕_k∈ZMk+`/Mk+`−1 =^⊕_k∈ZMk/Mk−1 であるから,{Mk}の添 字をずらすことにより, すべての k ∈Z について

Mk−` ⊂ M⁰_k ⊂ Mk

が成立すると仮定しても一般性を失わない. このとき, 定理の主張を ` に関する帰納法で 証明しよう.

(1) ` = 1 のとき: 各 k ∈Z について, O-加群の２つの完全系列 0−→ M⁰k/Mk−1 −→ Mk/Mk−1 −→ Mk/M⁰k−→0, 0−→ Mk−1/M⁰k−1 −→ M⁰k/M⁰k−1 −→ M⁰k/Mk−1 −→0 が自然に定義される. ここで

L :=^⊕

k∈Z

M⁰k/Mk−1, N := ^⊕

k∈Z

Mk/M⁰k

とおくと,M⁰k−1 ⊂ Mk−1 かつMk−1 ⊂ M⁰k だからL,N は自然なO[ξ]-加群の構造を持 つ. 従って上の完全系列からO[ξ]-加群の完全系列

0−→ L −→gr(M)−→ N −→0, 0−→ N −→gr⁰(M)−→ L −→0 を得る. OT^∗X は π⁻¹O[ξ] 上平坦であるから,

0−→µ(L)−→µ(gr(M))−→µ(N)−→0, 0−→µ(N)−→µ(gr⁰(M))−→µ(L)−→0 は OT^∗X-加群の完全系列である. これから

Supp(µ(gr(M))) = Supp(µ(L))∪Supp(µ(N)) = Supp(µ(gr⁰(M))) を得る.

(2) `≥2のとき: M⁰⁰_k:=Mk−1+M⁰_k とおくと{M⁰⁰_k}は Mのgood filtrationである. 定義からすべての整数k に対して

Mk−1 ⊂ M⁰⁰k ⊂ Mk, M⁰⁰k−`+1 ⊂ M⁰k⊂ M⁰⁰k

が成り立つことがわかる. gr⁰⁰(M) :=^⊕_k∈ZM⁰⁰_k/M⁰⁰_k−1 とおくと, 帰納法の仮定から Supp(µ(gr(M))) = Supp(µ(gr⁰⁰(M))) = Supp(µ(gr⁰(M)))

を得る. 2

例 3.4.5. O を Cⁿ 上の D-加群とみなす. M0 :=O とすれば Mk :=D(k)O =O であ るから{Mk} は O の good filtration で, このfiltration に付随するgraded module は

gr(O) =O =O[ξ]/(O[ξ]ξ₁+· · ·+O[ξ]ξ_n) であるから

µ(gr(O)) =OT^∗X/(OT^∗Xξ1+· · ·+OT^∗Xξn) となり,従って

Char(O) = Supp(µ(O)) = {(x, ξ)∈T^∗X |ξ₁ =. . .=ξ_n= 0} である.

次の２つの補題の証明は省略する. 例えば, [Kash1] を参照のこと.

補題 3.4.6. M0 を連接 D-加群 Mの局所有限生成の O-部分加群とすると, M0 は連接 O-加群である.

補題 3.4.7. M を連接 D-加群で {Mk} は定義3.4.2 の (1)—(4) をみたすものとして gr(M) := ^⊕_k∈ZMk/Mk−1 とおくと, gr(M) が連接 O[ξ]-加群であるための必要十分条 件は{Mk} が定義3.4.2 の (5) も満たすことである.

62

定理 3.4.8.

0−→ L −→ M−→ N −→^ϕ 0

を連接D-加群の完全系列とするとChar(M) = Char(L)∪Char(N) が成立する.

証明: L は Mの D-部分加群とみなせる. {Mk} を Mの good filtration として Lk :=Mk∩ L, Nk :=ϕ(Mk)

とおくと, Mk =D(k−k₀)Mk0 ならば Nk =ϕ(D(k−k₀)Mk0) =D(k−k₀)Nk0 が成り 立つから,{Nk} は N の good filtration である. 各整数k について定義から

0−→ Lk−→ Mk

−→ Nϕ k −→0 (4.1)

は O-加群の完全系列である. 従って補題3.4.6 により Mk と Nk は連接 O-加群だから,

命題3.2.9 により Lk も連接 O-加群, 特に局所有限生成である. (4.1) からそれぞれの filtration に付随するgraded moduleをとって, O[ξ]-加群の完全系列

0−→gr(L)−→gr(M)−→gr(N)−→0

を得る. {Mk} , {Nk} は good filtration だから, 補題3.4.7 と命題3.2.9 により {Lk} も good filtration であることがわかる. 従ってOT^∗X-加群の完全系列

0−→µ(gr(L))−→µ(gr(M))−→µ(gr(N))−→0 と定理3.4.4 から結論を得る. 2

次に, 特性多様体のもう少し具体的な表示を導こう. M を X 上の連接 D-加群とする と, p∈X の開近傍 U でD-加群の完全系列

0←− M←− D^{ϕ r}

が存在する. このとき Mk :=ϕ(D(k)^r) とおくと {Mk} はMの good filtration である. N :=Ker ϕ, Nk :=Ker ϕ∩ D(k)^r

とおくと,

0←− M ←− D^{ϕ r} ←− N ←−0

は D-加群の完全系列だからN は U 上の連接 D-加群であって, 定理3.4.8 の証明からわ かるように{Nk} はN の good filtration である. これらの filtration に付随するgraded module をとれば OT^∗X-加群の完全系列

0←−µ(gr(M))←−(OT^∗X)^r ←−µ(gr(N))←−0 を得る. 従って µ(gr(N))を (OT^∗X)^r の部分加群とみなしたとき,

Char(M)∩T^∗U ={p^∗ = (x, ξ)∈T^∗U |µ(gr(N))p^∗ 6= (OT^∗U)^r_p∗} を得る. 特に r= 1 のときは

µ(gr(N))_p∗ 6= (OT^∗U)_p∗ ⇐⇒ ∀f ∈gr(N)_p∗, f(x, ξ) = 0

⇐⇒ ∀P ∈ Np^∗, σ(P)(x, ξ) = 0 であるから, 次の命題が証明できた.

命題 3.4.9. M をある u ∈ M(X) によって M =Du となっているような連接 D-加群 として,D の左イデアルの層 I をI(U) :={P ∈ D(U)|P u= 0}で定義すると,

Char(M) = {(x, ξ)∈T^∗X |任意のP ∈ Ix に対して σ(P)(x, ξ) = 0} が成立する.

定理 3.4.10. M を X 上の連接 D-加群とすると, その特性多様体 Char(M) はT^∗X の 斉次な解析的部分集合である. すなわち (x, ξ)∈Char(M) ならば, すべての c∈C\ {0} に対して (x, cξ)∈ Char(M) であり, Char(M) は局所的には (x, ξ) の有限個の正則関数 の共通零点である.

証明: Mの生成元の個数 rについての帰納法で証明しよう. まずr= 1とする. M=Du なるu∈ M をとって

I :={P ∈ D |P u= 0}, Ik :=I ∩ D(k)

とおけば, 前の議論からわかるように {Ik} は I のgood filtration であって, graded ideal gr(I) は局所有限生成だから, 有限個の P₁, . . . , P_s ∈ I が存在して, gr(I) は O[ξ] 上 σ(P₁), . . . , σ(P_s) で生成される. 従って命題 3.4.9 により

Char(M) ={(x, ξ)|σ(P₁)(x, ξ) = . . .=σ(P_s)(x, ξ) = 0} が成り立つから, Char(M)は T^∗X の斉次な解析的部分集合である.

r >1 のときは,M の U における生成元u₁, . . . , u_r をとって, N :=Du₁+· · ·+Du_r−1 ⊂ M

とおくと,N は連接D-加群 Mの D-部分加群だから連接である. そこでL :=M/N と おけば,

0−→ N −→ M −→ L −→0

は連接 D-加群の完全系列である. L = D[ur] ([ur] は ur の M/N における剰余類を 表わす) であるから, L と N に対しては帰納法の仮定が使えて, 定理 3.4.8 によって Char(M) = Char(L)∪Char(N)も斉次な解析的部分集合であることがわかる. 2