熱解析プログラムの作成

有限要素法は，解析を行う対象物を有限個の要素に分割し，要素毎に定められた節 点変数に関する方程式を作成し，それを組み合わせて対象物全体の方程式として解く，

数値計算による解析法である．近年の有限要素法では，分割の自由度が高い四面体要 素が使用されることが多いが，ここではモデルを単純形状に限定することと，モデル の要素分割において考えやすい六面体要素を採用することにした．

図 6-3：6面体20節点アイソパラメトリック要素

解析対象となるモデルが置かれたグローバル座標を，右手系のxyz直交座標とする．6 面体要素の各辺は直線または曲線とし，各頂点と各辺の中点に節点（node）を設け，

20 個の節点とする．6 面体要素の中心を原点とし，要素内部で1に正規化されたロ ーカル座標を 座標とする．図 6-3に6面体20節点アイソパラメトリック要素と，

そのローカル節点（node）番号および面（face）の番号を示す．

このシミュレーションにおいては，矩形モデルと円板モデルの2種類を扱う．有限 要素法の原理に基づき，隣り合う要素は節点を共有する．したがって，それぞれの節 点には，ユニークなグローバル節点番号が付与される．矩形モデルにおいては，ちょ うど矩形の積み木を隙間無く積み重ねていくように，図 6-3に示す6面体要素を積み 重ね，目的とする大きさの矩形を作る．一方円板モデルにおいて，円板の中心線を含 む要素については図 6-4に示すような少々変則的形状となるが，面および節点の数に 変わりはない．さらにこれよりひとつ外側の要素との結合は，隣り合う要素の接合面 の節点は共有しなければならないから，図 6-5に示す関係になる．それぞれのモデル は，光照射する光軸に対称であるから，シミュレーション計算は1/4のみ行えば十分 である．これに基づくそれぞれのモデルの要素分割を図 6-6 (a) および (b) に示す．

(a) の矩形モデルは，モデルの1/4の基板を縦10分割，横20分割，厚み5分割に，(b) の円板モデルは，モデルの1/4の基板を半径方向10分割，θ方向12分割し，それぞ れ最上部に面方向に基板と同じ分割をした薄膜があるものとする．

図 6-4：円板の中心線を含む6面体20節点要素

図 6-5：円板の中心線を含む要素とひとつ外側の要素との結合

(a) 矩形モデル

(b) 円板モデル

図 6-6：熱伝導モデルの要素分割

後述する連立方程式を解くマトリクス計算において，ひとつの要素内のグローバル 節点番号の最大値と最小値の差が大きいと計算量が増大するため，グローバル節点番 号の付与には注意が必要である．

ひとつの要素における，各節点の形状関数を^{N i}_i

(

^{=1, 2,, 20}

)

^{と定め， 座標}

で表すと，

( )( )( )( )

1

1 1 1 1 2

N =8 - - + - - + -  

(6.2)

(

²

) ^{( )( )}

2

1 1 1 1

N =4 - - +

(6.3)

( )( )( )( )

3

1 1 1 1 2

N =8 + - +    +

(6.4)

( ) (

²

) ( )

4

1 1 1 1

N =4 + - +

(6.5)

( )( )( )( )

5

1 1 1 1 2

N =8 + + +   + +

(6.6)

(

²

) ^{( )( )}

6

1 1 1 1

N =4 - + +

(6.7)

( )( )( )( )

7

1 1 1 1 2

N =8 - + + - + + -  

(6.8)

( ) (

²

) ^{( )}

8

1 1 1 1

N =4 - - +

(6.9)

( )( ) (

²

)

9

1 1 1 1

N =4 - - -

(6.10)

( )( ) (

²

)

10

1 1 1 1

N =4 + - -

(6.11)

( )( ) (

²

)

11

1 1 1 1

N =4 + + -

(6.12)

( )( ) (

²

)

12

1 1 1 1

N =4 - + -

(6.13)

( )( )( )( )

13

1 1 1 1 2

N =8 - + - - - - -  

(6.14)

(

²

) ^{( )( )}

14

1 1 1 1

N =4 - - -

(6.15)

( )( )( )( )

15

1 1 1 1 2

N =8 + - -   

(6.16)

( ) (

²

) ( )

16

1 1 1 1

N =4 + - -

(6.17)

( )( )( )( )

17

1 1 1 1 2

N =8 + + -   +

(6.18)

(

²

) ^{( )( )}

18

1 1 1 1

N =4 - + -

(6.19)

( )( )( )( )

19

1 1 1 1 2

N =8 - + - - + - -  

(6.20)

( ) (

²

) ^{( )}

20

1 1 1 1

N =4 - - -

(6.21) となる．各節点の変数の値u_iがわかっているとき，形状関数^N_i

(

^{  , ,}

)

^{を用いると，}

要素内部の任意の点における変数値u

(

  , ,

)

^は，

( ) ( )

20

1

, , _i , , _i

i

u    N    u

=

=

å

_(6.22)

により与えられる．

発熱項を除く三次元熱伝導方程式は，

2 2 2

2 2 2

T T T T

C t x y z

 ^¶¶ =^æççççè^¶¶ +^¶¶ +^{¶ ÷}¶ ^ö÷÷÷ø (6.23)

：密度，C：比熱，T：温度，：熱伝導率，t：時間，x y z, , ：座標値 となる．これを有限要素法により定式化すると，

[ ]{ } [ ]

_{e e e}

{ }

^e

{ }

_e

t

+ ¶ =

¶

K T C T F

(6.24)

[ ]

K_e

：要素の熱伝導マトリクス

{ }

T_e

：要素節点の温度ベクトル

[ ]

C_e

：要素の熱容量マトリクス

{ }

Fe

：境界条件で決定される右辺ベクトル

となり，要素の熱伝導マトリクス

[ ]

^K_e ^は，

[ ] [ ] [ ]

^t

[ ] [ ]

^t

[ ] [ ]

^t

e V

x x y y z z dV

^{æçç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ö÷÷}

=

ò

çç ¶çè ^N ¶^N + ¶^N ¶^N + ¶^N ¶ ÷^N ÷÷ø K

(6.25) 要素の熱容量マトリクス

[ ]

^C_e ^は，

[ ]

e

[ ] [ ]

^t

V

C dV



=

ò

C N N

(6.26) で与えられる．これらを局所座標に変換すると，

[ ] [ ] [ ]

^t

[ ] [ ]

^t

[ ] [ ]

^t

e V

d d d

x x y y z z

^{æçç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ö÷÷}   

=

ò

çç ¶çè ^N ¶^N + ¶^N ¶^N + ¶^N ¶ ÷^N ÷÷ø

K J

(6.27)

[ ]

e

[ ] [ ]

^t

V

C d d d

   

=

ò

C N N J

(6.28) J ：Jacobianマトリクスの値（^det

[ ]

^{J ）}

となる．ここで，JacobianマトリクスJは，

1 2

20 1 1 1

1 2

2 2 2

1

1 2

i i i

i i i

i i i

i i i

i

i i i

i i i

N N N N N

x y z

x y z

N N N N N

x y z x y z

N N N N N

x y z

    

    

 

  

=

é¶ ¶ ¶ ù é¶ ¶ ù

ê ú ê ú

ê ¶ ¶ ¶ ú ê ¶ ¶ úé ù

ê ú ê ú

ê ú

ê¶ ¶ ¶ ú ê¶ ¶ úê ú

ê ú ê ú

= êêê궶 ¶¶ ¶¶ úúúú=êêê궶 ¶¶ úúúúêêë úúû

ê¶ ¶ ¶ ú êë¶ ¶ úû

ë û

å





  

 J

(6.29)

である．

境界条件を次に示す．

 温度固定境界

境界の温度を一定温度に固定するものであり，境界に属する各節点に任意の固 定温度を設定する．

 熱流束境界

境界から外部へ，常に一定の熱量qが流出するものとする．流出する熱量qは，

単位時間，単位面積当たりとし，単位はJ m⋅ ^-2⋅s^-1またはW m⋅ ^-2である．従って，

要素の面から流入する熱量は，

Q= -

ò

q dA _(6.30)

である．但し，dAは積分面積である．

 熱伝達境界

熱伝達境界における単位面積当たりの流出熱量qは，

(

c

)

q= T T

(6.31) となる．但し，は熱伝達係数，Tは境界面温度，T_Cは外部温度とする．

従って，熱伝達境界から流入する熱量Qは，

(

_c

)

_c

Q= -

ò

q dA= -

ò

 T T dA- = -

ò

T dA+

ò

T dA _(6.32) で表される．

 熱放射境界

熱放射源である構造体から外部放射源に対し，熱を放射する境界をいう．熱放 射境界における単位面積当たりの流出熱量qは，

(

⁴ _c⁴

)

q=kF T -T

(6.33) となる．但し，は放射率，kはボルツマン定数5.67 10 W´ ^-8 ⋅m^-2⋅K^-4，Fは形

状係数

( )

^{m2 ，Tは境界の温度}

( )

^{K ，}Tcは外部放射源温度

( )

^{K とする．}

ここでは式 (6.33) の係数部分をまとめて，

[_{W K} ⁴] Cr =kF ⋅

(6.34) を放射係数として使用する．従って，熱伝達境界から流入する熱量Qは，

(

^{4 4}

) (

^{2 2}

) ( )( )

r c r c c c

Q= -

ò

q dA= -

ò

C T -T dA= -

ò

C T +T T+T T T dA

(6.35) となって，Tの 4 次式となるため解けない．そこで未知数Tに 1 ステップ前の既

知のTを用い，係数_rを，

(

^{2 2}

)(

²

)

r C Tr Tc T Tc

 = + +

(6.36) とおいて，(6.35)式に代入し，

( )

r c r r c

Q= -

ò

 T T dA- = -

ò

 T dA+

ò

 T dA _(6.37) として近似計算を行う．

 内部発熱

内部発熱は，要素内部の単位体積・単位時間当たりの発熱量q_Iを設定する．要 素における発熱量は，

Q=

ò

q dVI _(6.38)

となる．但し，dV は体積積分である．

以上のアルゴリズムに従い，三次元有限要素法による熱解析プログラムを作成した．

開発環境はWindows XPをOSとしたPCで，Microsoft Visual C++とDirect X 9.0 SDK を使用した．有限要素法のマトリクス計算のソルバーとして，ICCG（Incomplete Cholesky Conjugate Gradient）法[1]を採用した．ICCG法の詳細については，ここでは 省略する．

図 6-7に開発した熱解析プログラムのメインダイアログを示す．

図 6-7：開発した熱解析プログラムのメインダイアログ

ドキュメント内 カルコゲナイドガラスの光誘起体積変化と光黒化 : その場同時観察 (ページ 64-73)