標数 p の完全体上の変形環

k^を標数p^{の完全体とし，}G0をk^上のp可除群とする．剰余体がk^{となる局所} Artin W(k)^代数R^{に対して，}G0のR^上の変形(GR,GR⊗Rk∼=G0)^{のなす集合を} 対応させる関手F ^{を考える．}

定理 A.37^（Illusie^{） 剰余体が}k^{となる局所}Artin W(k)代数のなす圏から集合の 圏への G0 の変形関手F は表現可能（pro-representable）である．すなわち，ある W(k)^代数R^univが存在して，任意の剰余体がk^{となる局所}ArtinW(k)^代数R^に 対して，

F(R) = Hom_W(k)(R^univ, R)

が成り立つ．さらに R^{univ は} (dimG0)(dimG0^∨) ^{変数形式的羃級数環} W(k)[[tij]]

(1≤i≤dimG0,1≤j≤dimG0^∨)^{と同型である．}

証明は余接複体の理論を用いてIllusie^{により与えられた（}[Ill85, 4.8]^{）．なお変} 形理論の観点からみて自然な同型R^univ ∼=W(k)[[tij]]^{をとることができる（}[Ill85, 4.8.2]^）．

以下ではFaltings ^による R^univ のより具体的な表示を述べる．議論の詳細は

[Fal99, § 7]^および[Moo98, § 4.1-4.4]^{を参照せよ．}

簡単のためW =W(k)^とおく．Cris(Speck/Σ, I, γ)^上のDieudonné^{クリスタル} D(G0)^{を考える．また}Mk := D(G0)(k),MW := D(G0)(W)^{とおく．クリスタルの} 性質よりMW ⊗W k=Mk となる．

ω_G0 ⊂ D(G0)Speck はMk の部分ベクトル空間Fil¹_k ^{を定める．}Mk = Fil¹_k⊕Nk

となる部分ベクトル空間Nk ⊂ Mk を固定する．また W 加群の直和分解MW = Fil¹_W ⊕NW で，Fil¹_W⊗Wk= Fil¹_k,NW ⊗W k=Nkとなるものをとる．

W ^{上の代数群}GL(MW)^{を考える．}NW ⊂MW の固定部分群はGL(MW)^の放物 型部分群となる．これをP^{◦とおく．}P^{◦の冪単部分群を}U^{◦とかき，}U^{◦の単位元で} の完備化をUˆ^{◦とおく．}

このとき次が成り立つ．

• Uˆ^◦上へのG0の変形が自然に定まる．

• ^変形環R^{univの普遍性より定まる射}R^univ→Γ( ˆU^◦,OUˆ^◦)^{は同型である．}

議論の詳細については[Moo98, 4.5]^{を参照せよ．以下では} Γ( ˆU^◦,OUˆ^◦)^をR^univ とかくことにする．またR^{univ上の普遍変形を}GR^univ とおく．

注意 A.38 なお上の事実の証明や第5.2^小節のStep 4^{の議論では}W ^{上形式的に滑} らかな完備局所環R^上でもDieudonnéクリスタルを考え，それをR^{加群と付加構} 造（接続，Frobenius，フィルトレーション）で記述することが重要になる．本稿で はこれに関する議論は全く触れずに導かれる結果のみを述べている．詳細については [Moo98, 4.1-4.5]^および[Kis10, 1.5]^{を参照されたい．}

練習 A.39 Grothendieck–Messing^{理論が使える状況で} Hom Γ( ˆU^◦,OUˆ^◦), R が R^上へのG0の変形全体と対応することを確かめてみよう．

R ^{を剰余体が} k ^{となる局所} Artin W ^{代数とする．また} Speck ,→ SpecR ^に

（冪零）PD構造が与えられているとする（特に Dieudonné ^{クリスタルの理論や} Grothendieck–Messingの理論を適用できる）．MR := D(G0)(R) ^とおくとMR = MW ⊗W R^{が成り立つ．}Fil¹_R := Fil¹_W ⊗WR,NR :=NW ⊗W R^とおく．

このとき次の集合の間に自然な対応があることを示せ．

(1) G0のR^{上への変形全体．}

(2) ^自由R^部分加群Fil¹⊂MR であって，Fil¹⊗Rk= Fil¹_k ^かつMR/Fil^1も自 由R^{加群になるもの全体．}

(3) {f ∈HomR(Fil¹_R, NR)|f⊗Rk= 0}. (4) HomW Γ( ˆU^◦,OUˆ^◦), R

．

ヒント：(2)^と(3)の対応の構成は以下の通り．(2)^のFil^{1が与えられたとする．}

Fil¹ ,→MR = Fil¹_R⊕NR ↠ Fil¹_Rは同型であることがわかる．よって，これの逆写 像Fil¹_R→Fil^1とFil¹,→MR = Fil¹_R⊕NR↠NRの合成は(3)^{の条件を満たす．逆} に(3)^のf: Fil¹_R →NRが与えられたとき，(id_Fil¹

R ⊕f)(Fil¹_R)⊂Fil¹_R⊕NR=MR

は(2)^{の条件を満たす．}

付録 B Breuil–Kisin ^加群

本付録では第 5 ^{節の証明で必要となる} Breuil–Kisin 加群の定義とその性質を [Kis06]^，[Kis10, §1]に沿って簡単に説明する．

p^進Hodge理論の表現論的な立場ではQp やその有限拡大体の絶対Galois^群の p進表現を理解することが大きな目標の1^{つである．}Fontaine^{はエタールコホモロ} ジーを用いて幾何学的に構成されるp進表現を捉えるため周期環Bcris,BdR を構成 し，クリスタリン表現，de Rham^{表現という}p進表現のクラスを定義した．例え ば，よい還元をもつ代数多様体のエタールコモロジーや，よい還元をもつp^可除群の Tate加群から得られるp進表現はクリスタリン表現になる．また，クリスタリン表 現に対してその不変量としてフィルトレーション付きϕ加群が定義され，さらにクリ スタリン表現のなす圏と，弱許容という性質を満たすフィルトレーション付きϕ^加 群のなす圏とが圏同値になる．

この付録で扱うBreuil–Kisin加群とはクリスタリン表現のGalois^{作用で安定な} Zp格子を記述する理論であり^*36，整p^進Hodge理論の基礎理論になっている．例 えば応用としてよい還元をもつp^可除群をBreuil–Kisin加群で記述することができ る（定理B.6^）．

なお本稿では周期環やクリスタリン表現，de Rham表現の基本性質について割愛 せざるを得なかった．これらについては日本語による解説（[^辻]^，[^中村]^{）もあるの} で，本付録を読む際には上記の文献を参照していただきたい．またBreuil–Kisin^加 群が導入された論文[Kis06]については[望月]で詳しく解説されている．

k^を標数p^{の完全体とする．}W :=W(k)^をk^のWittベクトルのなす環とし，そ の商体をL0とおく．L^をL0の有限完全分岐拡大体とする．L^の素元π^を1^つ固定 する．π^のL0上の最小多項式（Eisenstein^{多項式）を}E(u)∈W[u]^とおく．

定義 B.1 S:=W[[u]]^{とおく．さらに}S^上のFrobenius^射ϕ^をW ^{上には通常の} Frobenius^{射であり，}ϕ(u) =u^pとなるものとして定める．

S^上のBreuil–Kisin^{加群とは，有限自由}S^加群M^とS^同型 1⊗ϕ:ϕ^∗(M)[1/E(u)]−→^∼= M[1/E(u)]

の組 (S,1⊗ϕ) ^{をいう．ここで} ϕ^∗(M) := S⊗ϕ,S M^，M[1/E(u)] := M ⊗S

S[1/E(u)]^{とおいた．}

Breuil–Kisin加群の間の射はS^{準同型であって，}1⊗ϕと可換なものとして定め る．S^上のBreuil–Kisin^{加群のなす圏を}Mod^ϕ_/S^とおく．

*36より一般に半安定表現についてもBreuil–Kisin加群で捉えることができるが，本稿では省略する．

Breuil–Kisin^加群(S,1⊗ϕ)^{について，}ϕ^∗(M)のフィルトレーションを Filⁱϕ^∗(M) := (1⊗ϕ)⁻¹ E(u)ⁱM

∩ϕ^∗(M)

で定める．

注意 B.2 Breuil–Kisin^加群は[Kis06]において導入された．なお[Kis06]^の定義で はS^準同型1⊗ϕ:ϕ^∗M→M^{であって，}Coker(1⊗ϕ)がE(u)の冪で消えるもの のみを考えている．本稿で与えた定義は[Kis10, 1.2]^による．

注意 B.3 Breuil–Kisin^加群(M,1⊗ϕ)^に対しS^同型1⊗ϕ:ϕ^∗(M)[1/E(u)]−→^∼= M[1/E(u)]^{を環準同型}S→ W, u7→0により底変換することでL0= FracW ^上の 同型

ϕ^∗(M/uM)[1/p]−→^∼= (M/uM)[1/p] (B.1) を得る．この同型により (M/uM)[1/p]^は（L0 上の）ϕ加群とみなせる．同様に (B.1)^をさらにW ^のFrobeniusで底変換した射を考えることで，ϕ^∗(M/uM)[1/p]

もϕ^{加群となる．さらに}(B.1)^はϕ^加群ϕ^∗(M/uM)[1/p]^と(M/uM)[1/p]^の間の 同型となる．

次にクリスタリン表現とde Rham表現の定義を思い出そう．簡単のためL^の絶対 Galois^群をGalLとかくことにする．Bcris,BdRをFontaine^{の定義した}L^に伴う周 期環とする．BdRはGalLが作用する体で，降下フィルトレーションをもつ．また BcrisはGalLが作用するBdRの部分環で，BdRから定まるフィルトレーションをも ち，さらにGalL作用と可換なFrobenius射をもつ（より詳しい説明は[^辻]^，[^中村] をみよ）．

定義 B.4 V ^をGalLの連続作用付き有限次元Qpベクトル空間とする．

(1) DdR(V) := (BdR⊗QpV)^{GalL とおく．}DdR(V)^は次元がdim_QpV ^以下のL ベクトル空間であり，さらにBdR から誘導されるフィルトレーションをも つ．dimLDdR(V) = dim_QpV ^{が成り立つとき}V ^はde Rham^{表現であると} いう．

(2) Dcris(V) := (Bcris⊗Qp V)^{GalL とおく．}Dcris(V)^は次元が dim_QpV ^以下の L0ベクトル空間であり，さらにBcrisから誘導されるFrobenius^{をもつ．また} Dcris(V)⊗L0L ⊂ DdR(V)^である．dimL0Dcris(V) = dim_QpV ^{が成り立つ}

ときV はクリスタリン表現であるという．なおクリスタリン表現はde Rham 表現である．このときDcris(V)⊗L0L=DdR(V)^となる．

GalLの連続作用付き有限自由Zp加群Λ^であってΛ⊗Qpがクリスタリン表現と なるもののなす圏をRep^cris_Gal^◦_L ^{とおく．例えば}OL上のp^可除群G^に対し，TpG^およ びTpG^{∨ は}Rep^cris_Gal^◦_L^{の対象となる．}

定理 B.5^（[Kis10, Theorem 1.2.1]^{） 忠実充満テンソル関手} M: Rep^cris_Gal^◦_L −→

Mod^ϕ_/S で以下の性質を満たすものが存在する：Λ∈Rep^cris_Gal^◦_L^とする．

(1) Frobenius^{作用を保つ自然な同型}

Dcris(Λ⊗Qp)∼= M(Λ)/uM(Λ) [1/p]

およびフィルトレーションを保つ自然な同型

DdR(Λ⊗Qp)∼=ϕ^∗M(Λ)⊗SL

がある．ただし2^{つ目の同型において}S→L^はu^をπ^{にうつすものであり，}

FilⁱDdR(Λ⊗Qp)^はFilⁱϕ^∗M(Λ)⊗SL^{に対応する．}

(2) ^{自然な同型}

O_‘Eur⊗ZpΛ−→ O^∼= _‘Eur⊗SM(Λ)

がある^*37．

p^{可除群の場合に}Breuil–Kisin^加群とDieudonnéクリスタルを比べよう．W ^代 数W[u, E(u)ⁿ/n!]n≥1⊂(FracW)[u]^のp^{進完備化を}S^とおく．S^はϕ(u) =u^pを 満たすFrobenius ϕ^{をもつ．また}Fil¹S := Ker(S → OL, u7→ π)^{とおく．このと} きFil^{1は自然な}PD^{構造をもつ．さらに}u7→u^によりS^はS^{代数となる．}

Mod^ϕ_/S の 充 満 部 分 圏 BT^ϕ_/S を 次 の 条 件 で 定 め る：BT^ϕ_/S ^{の 対 象 は} 1 ⊗ ϕ:ϕ^∗(M)[1/E(u)]−→^∼= M[1/E(u)]^が準同型ϕ^∗(M)→Mを誘導し，さらにその余 核がE(u)^{で消えるものとする．}

M∈BT^ϕ_/S^に対し

M(M) :=S⊗Sϕ^∗M

*37 O_E‘urはp^進Hodge^{理論にでてくる環で，}S_(p)^をp進完備化した環上忠実平坦かつ形式的エター ルである．特にS_(p)上忠実平坦である．定義は例えば[Kis06, 2.1.1]^，[^望月,^{設定その二}]^にある．

とおき，さらに

Fil¹M(M) :={x∈ M(M)|(idS⊗(1⊗ϕ))(x)∈(Fil¹S)⊗SM⊂S⊗SM}

とおく．またM(M)^にもFrobenius^{が誘導される．}

定理 B.6^（[Kis10, 1.4.2]^） p > 2^とする．OL 上のp ^可除群G ^に対しM(G) :=

M(TpG^∨(−1))^*38，D(G) :=D(G ⊗OLk)^{とおく．このとき}M^はOL上のp^可除群 のなす圏とBT^ϕ_/Sとの圏同値を誘導する．また自然なフィルトレーションを保つϕ 同変な同型

D(G)(S)−→ M^∼= (M(G))

が存在する．特に環準同型S →W;u 7→0でさらに係数拡大することによりϕ^同変 な同型

D(G)(W)−→^∼= ϕ^∗(M(G)/uM(G))

を得る．

注意 B.7 ^定理B.6^はp = 2 でも成り立つことが知られている．[Kim12, Lau14, Lau19, Liu13]^および[IIK18, §11.4]^{を参照せよ．}

謝辞 本稿は2015年度整数論サマースクール「志村多様体とその応用」における筆 者の講演「志村多様体の整モデル」に基づいている．原稿にコメントを下さった伊藤 哲史氏，越川皓永氏，時本一樹氏，松本雄也氏に感謝する．なお本稿の最終校正は筆 者がInstitute for Advanced Studyに所属している間に行われた．その際に筆者は National Science Foundation^の研究費DMS-1638352から支援を受けている．