整正準モデルの構成

前小節で定義したモジュライ空間SK^p と志村多様体ShKpK^p(G, X)^{の関係を調べ} よう．リフレックス体E^はCの部分体なので，自然な射OE⊗Z(p),→C^があり，C^値 点のなす集合SK^p(C)を考えることができる．まずはSK^p(C)^をShKpK^p(G, X)(C) と結びつける．そのために記号を1つ導入する．

定 義 4.15 ker¹(Q, G) := ker H¹(Q, G) → ∏

v≤∞H¹(Qv, G)

と 定 め る ． ker¹(Q, G)^はQ^{上の次元が}dim_QV ^{となる歪エルミート}B ^{加群であって，}Q^の各素

*20なおRを適当なエタール拡大にとりかえたのちに持ち上がることを示せば十分である．

*21なお[Lan13]^ではde Rham^{ホモロジーを使うので}D(A0)Rの双対を考えている．

*22証明には定理4.3^{は使わない．}

点v^についてQv上へ係数拡大するとV_Qv と同型になるようなものの同型類のなす

（点付き）集合である．

定義よりker¹(Q, G)^が1点集合であることと次は同値である：

歪エルミートB ^加群W ^がdim_QW = dim_QV ^{を満たし，全ての素点}v^につ いてW_Qv ∼=V_Qv となるならばW はV と歪エルミートB 加群として同型で ある．

このときG^についてHasse原理が成立するという．ker¹(Q, G)^{について次の事実が} 知られている．

定理 4.16

(1) G^がA^型かつnが偶数であるとき，またはG^がC^型のときker¹(Q, G)^は1 点集合である．

(2) G^がA^型かつn^{が奇数であるとき，}ker¹(Q, G)^{は有限集合である．}

以上の準備のもとでモジュライ空間SK^p と志村多様体ShKpK^p(G, X) ^{の関係を述} べよう．

定理 4.17 SK^p(C)^はShKpK^p(G, X)(C)^をker¹(Q, G)個直和したものと同一視 される．

注意 4.18 ^定理より SK^p の連結成分は有限であることがわかる．特に SK^p → OE⊗Z(p)は有限型である．

定理4.17^の証明 SK^p(C)^の元(A, λ, i, η^p)を任意にとる．簡単のためQ^係数1^次 ホモロジー群H1(A(C),Q)^をH^とおく．λ^およびi^によりH^{は歪エルミート}B^加 群の構造をもつ．なおレベルK^{p構造が存在するので}dim_QH = dim_QV ^がしたが う．さて各素点v^についてH_Qv ^とV_Qv ^{を比べよう．}

主張 4.19 任意の素数`に対し歪エルミートB<sub>Q`</sub> 加群の同型H_{Q`</sub> ∼=V<sub>Q`} が存在す る．同様に歪エルミートB_R ^{加群の同型}H_R ∼=V_R ^{が存在する．}

主張の証明の概略 H<sub>Q`</sub> <sup>は</sup>A<sup>の有理</sup>`^進Tate^加群H1(A,Q`) = T`A⊗Z` Q` と歪 エルミートB_Q`加群として同型である．

`6=p^{とする．レベル}K^p構造η^p=η^pK^{pに現れる同型} η^p: V_A^p

f,A^p_f,h,i−→∼= H1(As,A^p_f),A^p_f(1), eλ

の`成分は歪エルミートB<sub>Q`</sub>加群の同型H_{Q`</sub> ∼=V<sub>Q`} を定める．なおB →B_Q` は忠 実平坦なので，これよりH^とV ^がB加群として同型であることもしたがう．

`=p^{のときを考える．}λ^はZ^×_(p)^{偏極なので}TpA⊂H1(A,Qp)^はλ^{の定める歪エ} ルミート形式について自己双対なOB⊗Zp部分加群である．同様にΛ_Zp ⊂ V_Qp ^は h,iの定める歪エルミート形式について自己双対なOB ⊗Zp部分加群である．特に G_Qp ^はZp上の連結簡約群としてのモデルをもつ．その特殊ファイバーにLang^の定 理を適用することで，(TpA)/p(TpA)^とΛ_Zp/pΛ_Zp は歪エルミートOB/pOB 加群と しての同型であることがわかる．この同型は歪エルミートOB⊗Zp加群として同型 TpA∼= Λ_Zp に持ち上がることが確かめられるので，特に歪エルミートB_Qp ^加群の同 型H_Qp ∼=V_Qp ^{を得る．議論の詳細は}[Kot92, 7.2]^{を参照せよ．}

最後に歪エルミートB_R^{加群の同型}H_R ∼=V_R が存在することを示す．H^とV ^は B 加群として同型なので，B_R 加群の同型H_R ∼=V_R は存在する．H_R およびV_Rの B_C^{加群の構造を考える（}H_R^のC^{加群としての構造は}H_R =H1(A(C),R) = LieA から定まる）．B_C ^{加群としての分解}V_C=V1⊕V2を思い出そう．同様にしてB_C^加 群としての分解H_C =H_R⊗RC=H1⊕H2を，h(z)^がH1およびH2にそれぞれ z^およびzで作用するものとして定める．Kottwitz^{の行列式条件より}B_C ^加群とし ての同型H1∼=V1を得るので，B_C ^{加群の同型}H_R ∼=V_R^{も得られる．さらに}H_R^お よびV_R ^{は歪エルミート形式}h,i^{から定まる正定値形式}(v, w)7→ hv, h(i)wi^をもつ．

これよりH_R^とV_R ^{は歪エルミート}B_C加群として同型であることがしたがう．議論 の詳細は[Kot92, 4.2]^{を参照せよ．}

V⁽¹⁾ = V, V⁽²⁾, . . . , V^{(m) を歪エルミート}B 加群であって，歪エルミート加群 V_Q⁽ⁱ⁾_{`</sub> ∼=V<sub>Q`} ^およびV_R ∼=V_R が成立するものの代表類とする（これはker¹(Q, G)^の 元と一対一に対応するのであった）．各V^{(i)について}V ^{と同様にして}Q^{上の代数群} G⁽ⁱ⁾を定義する．このとき同型G⁽ⁱ⁾_Q

` ∼=G<sub>Q`</sub>およびG⁽ⁱ⁾_R ∼=G_Rが得られる．

SK^p(C)⁽ⁱ⁾:={(A, λ, i, η^p)∈ SK^p(C)|H1(A(C),Q)∼=V⁽ⁱ⁾}

とおく（ただし H1(A(C),Q)∼= V^{(i)は歪エルミート}B加群として同型であること を要請している）．主張4.19^よりSK^p(C) =⨿

1≤i≤mSK^p(C)^{(i)となる．}

以 上 の 準 備 の も と で 各 SK^p(C)^{(i) が} ShKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)(C) = G⁽ⁱ⁾(Q)\ X × (G(Af)/KpK^p)

と同一視されることを確かめよう．（G^とG^{(i) は各素点上では同} 型なのでG(Af) =G⁽ⁱ⁾(Af)などが成立することに注意せよ）．

ここでは簡単のためi= 1^{のときのみ扱う．}(A, λ, i, η^p)∈ SK^p(C)^{(1)を任意にと} る．H=H1(A(C),Q)^{とおくと，定義より}H^とV ^{は歪エルミート}B ^{加群として同} 型である．

歪エルミートB^{加群の同型}H ∼=V ^を1^{つ固定する．このとき}TpA⊂H_Qp ∼=V_Qp

はh,iの定める歪エルミート形式について自己双対なOB⊗Zp部分加群なので，あ るgp∈G(Qp)^によりTpA=gpΛ_Zp ^{とかける．さらに}gpはG(Qp)/Kpの元として 一意に定まる．また固定した同型H_A^p

f

∼=V_A^p

f

のもとでη^pはg^p ∈ G(A^p_f)/K^pを一 意的に定める．最後にB_R ^{加群の同型}H_R ∼=V_R^のもとでH_R = LieA^のもつC^加群 の構造はV_R^のC加群の構造を定め，これは∗^準同型h⁰:C→C_R^{を定める．}h^0は h ^{と共役なので}Xの元を定める．以上より同型H ∼= V ^からX×(G(Af)/KpK^p) の元 h⁰, gpg^p

が定まった．

この構成は歪エルミートB ^{加群の同型}H ∼=V ^{に依存し，同型を}H ∼= V −→^g V (g∈G(Q))によりとりかえると，対応する元は(ghg⁻¹, g◦(gpg^p))^{になる．よって，}

(A, λ, i, η^p)からG(Q)\ X×(G(Af)/KpK^p)

の元が一意的に定まることがわかっ た．この構成は逆にたどることができるので全単射

SK^p(C)⁽¹⁾∼=G(Q)\ X×(G(Af)/KpK^p)

= ShKpK^p(G, X)(C) を得る．

最後にi > 1^のときはG^の中心Z ^をとりker¹(Q, Z)→ker¹(Q, G)^{を調べること} で，自然な同型 SK^p(C)⁽ⁱ⁾ ∼= SK^p(C)⁽¹⁾ が存在することがわかる（詳細は[Kot92, p.400]^{を参照せよ）．}

系 4.20 SK^p の一般ファイバーは SK^p⊗E= ⨿

|ker¹(Q,G)|

ShKpK^p(G, X)

と直和分解する．

証明の概略 定理4.17^{の証明の全単射}SK^p(C)⁽ⁱ⁾∼=G⁽ⁱ⁾(Q)\ X×(G(Af)/KpK^p) およびSK^p(C)⁽ⁱ⁾ ∼=SK^p(C)^(1)はAut(C/E)作用と整合的であることが確かめられ

るので，Eスキームとしての直和分解 SK^p⊗E= ⨿

1≤i≤m

ShKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)

および同型ShKpK^p(G, X)∼= ShKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)^{を得る．詳細は}[^越川, ^今井]^（Siegel モジュラー多様体のとき）および [Kot92, p. 400]^{を参照せよ（脚注}*15^に注意せ よ）．

次にSK^p の直和分解を考えよう．記号の区別をしやすくするため上の証明に現れ たE^{スキームの直和分解}SK^p⊗E =⨿

1≤i≤mShKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)^{を用いる．}SK^p に おけるShKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)^の閉包をSKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)^とおく．SK^p はOE⊗Z(p)上分 離的かつ平坦なので，これはOE⊗Z(p)スキームの直和分解

SK^p = ⨿

1≤i≤m

SKpK^p(G⁽ⁱ⁾, X)

を定める（分離性より右辺の合併が直和であること，平坦性より右辺がSK^pを尽くす ことがしたがう）．これより特にSKpK^p(G, X) :=SKpK^p(G⁽¹⁾, X)はOE⊗Z(p)

上滑らかかつ準射影的であることもわかる．

SKpK^p(G, X)^を用いてShKp(G, X)の整正準モデルを構成しよう．v^をp^の上に あるE^{の素点とする．}OEのv^{における局所化を}OE,vとおく．

定理 4.21 SKp⊗OE,v= lim←−^KpSKpK^p(G, X)⊗ OE,vは志村多様体ShKp(G, X) のOE,v上の整正準モデルである．

証明 SKp⊗OE,vが滑らかな整モデルであることは定理4.3^{の帰結としてすでに確} かめた．よって，この整モデルが延長条件を満たすことを示せばよい．

OE,v上の形式的滑らかな正則スキームT ^と射TE →SKp⊗E ^{が任意に与えられ} たとする．

lim←−

K^p

SKpK^p(G, X)⊗E= lim←−

N≥3,(N,p)=1

SKpK_N^p(G, X)⊗E

よりこれはp^{と互いに素な}N ≥3^{について整合的な射}TE →SKpK^p_N(G, X)⊗E^を 考えることに他ならない．ここで各SKpK^p(G, X)⊗E ⊂ SK_N^p ⊗E =SB,N⊗E^の

（同型類としての）モジュライ解釈より次を得る：アーベルスキームAE →TE，∗^準同 型iE:OB →End(AE)^，次数がp^{と互いに素な}AE偏極AE →A^∨_E^，p^{と互いに素な}

N ^についてAEのシンプレクティック・レベルN ^構造ηN,E: (Z/NZ)²ⁿTE →AE[N] であって，N|M^のときηM,E ⊗Z/MZZ/NZ=ηN,E を満たすもの．

定理3.14の証明と同様にして，定理3.10^{および定理}3.13^よりAE →TEがT ^上 のアーベルスキームA→T に一意的に延長されることがわかる．またAE上の偏極 λEはA^{上の次数が}pと素な偏極に一意的に延長される．実際(AE)^∨= (A^∨)Eに注 意すると，命題3.12よりλEはA上の偏極λに延長される．ここでKerλはT 上の 有限平坦群スキームであり，TE上では階数がp^{と素になるので，}T ^{上でも階数は}p と素となり主張がしたがう．

また，iE:OB →End(AE)^は∗^準同型OB →End(A)に一意的に延長される．実

際，Néron^{モデルの性質より}iE はT ^の余次元1の点上にのびる．これはさらにT

の稠密な開集合上にのびるので，命題3.11^より∗^準同型OB →End(A)^{が一意的に} 定まる．

最後にAE のシンプレクティック・レベル構造(ηN,E)N の延長について考える．

定理3.14^{の証明と同様にして，}(ηN,E)N はN ^{について整合的に}A^{上のシンプレク} ティック・レベル構造(ηN)N へ一意的に延長されることがわかる．T ^はOE,v上平 坦なので，T ^{の各連結成分と}TEとの交わりは空でない．特に，その交わり上の幾何 的点については持ち上げ条件が満たされるので，シンプレクティック・レベルN 構 造ηN は持ち上げ条件を満たす．

以上より射TE →SKpK_N^p(G, X)⊗E^はN ^{について整合的に射}T → SK_N^p ⊗OE,v

に延長されることがわかった．これは明らかにSKpK_N^p ⊗OE,v⊂ SK^p_N ⊗ OE,vを経 由する．よって，射TE→SKp⊗E^は射T →SKp⊗OE,vに一意的に延長される．

すなわち整モデルSKp⊗OE,vはShKp(G, X)の整正準モデルである．

5 アーベル型の志村多様体の整正準モデル

この節ではアーベル型の志村多様体の整正準モデルの存在について解説する．