様相と構造

第6章 論理体系を用いた命題概念の分析 148 化させることによって生じてくる論理体系を分析することができるという利点がある．

このようにそれぞれの視点から述べると，その二つの分析の方向性は全く相容れないよ うに思われるがそのように考えるの早計である．次の点について考えてみよう．

様相概念は，到達可能な世界の間の関係についての制約が変化することで各論理体系で 扱うことのできる命題が持つ性質を変化させることができるのである（ラベル付きシーク エント計算の二項関係について考察した際に見たように，ラベル付きシークエント計算を 用いたときの各体系の違いは，二項関係の違いに集約され，到達可能な世界の間の関係に ついての制約が変わると，命題が持つ性質が変わるのであった）．一方，構造は，シークエ ントの環境を変えることによって，命題が持つ性質を変化させることができるのである．

この二つの見方は，一方は意味論の観点からの考察であり，もう一方は，証明論の観点か らの考察であるという点で，未だ隔たりはあるが，直観主義論理をS4にも線形論理にも 埋め込むことができるという事実から，全く無関係ではないこと，ある一定の共通の概念 を有していると考えるのはそうおかしな見方ではないように思われる．

また，線形論理とS4では，それぞれ，!と2が直観主義論理の命題が持つ性質をカバー していると考えられるのであるが，ジラール翻訳とS4翻訳の違いは，その尺度が異なっ ているだけで，どちらも，直観主義論理の命題が持つ性質をカバーしていると考えること ができるのである．このように考えることは，線形論理の!の推論規則とS4の2^の推論 規則が全く同じ形で与えられていることからも，自然な見方であるということがわかる．

このことから，様相同伴で見たような必然性演算子を用いた論理体系の分析と，構造に 着目したベーシックロジックの分析とが，全く無関係ではないであろうという予想が立 つ．では，これらの点を踏まえ，以下で，これら二つの分析の中心概念とされる，様相と 構造が命題概念が持つどのような性質を表現することができるのかということについて見 ていこう．

第6章 論理体系を用いた命題概念の分析 149 用語で言えば「述語」，あるいは，一つの自由変項を含む論理式）を考えてみよう．この 表記は主語に例えば，「タマ」を補えば，その結果得られる文「タマは猫である」が（タ マが実際に猫であれば）表現する命題は成立する．さらにまた，ポチを補えば，その結 果得られる文が表現する命題は（ポチが犬であれば），不成立である．これは普通以下の ように説明される．「…は猫である」のような述語が表現しているのはいわゆる，命題関 数（対象たちから命題への関数）であり，命題関数とはまさに，タマやポチなど，個々の 対象に対して述語づけられる（適用される）ことによって，その結果生じる命題の成立・

不成立が初めて，定まるようなものである．言い換えると，文字通り，⟨^{対象の特徴づけ}

（characterization of objects）⟩の働きを補うものである．

以上と類比的に考えると，命題についても次のように考えることが可能であることがわ かる．つまり，例えば，目下「雨が降っている」といった文が表現する命題は，それ自体 の成立・不成立を問いうるものではなく，ある一定の状況wに対して適用されることで初 めて，成立ないし，不成立が定まるのであり，この命題は当該の状況wを適切に特徴付け ているという点で，⟨ w^{について成立する} ⟩とみなすことができ，また，w^{において雨降} りであるわけではないならば，この命題は，wを適切に特徴付けていないという点で，w について不成立であると，みなすことができるのに他ならない．

以上のようにして，一般に命題は各々の可能的状況についての特徴付けを行うもの，簡 単に言えば，⟨可能的状況についての述語⟩として，捉えることができる．そしてこれに 応じて，各々の状況の側も（１）当該の命題を成立させる状況（つまり，この命題によっ て適切に特徴づけられる状況）と，（２）そうでない状況，に分けて考えることができる．

そこで今，次のような言い方を導入する．

命題Aが与えられているとき，このAによって適切に特徴付けられる，すべての状況た ちの集合（つまり，Aを成立させるようなすべての状況たちの集まり）を⟨Aの有効性の範 囲（the extent of potency ofA）⟩と呼ぶ（通常，記号表記で，書けば{w(∈W)|M, w|=A} であり，さらに，付値関数V が定義されていれば，V(A)に当たる）．

しかし，ここで重要なのは，ここまで簡単に「（可能的）状況」と呼んできたものをより 詳しくは，どのようなものとして考えるか，また，これと相関して当の状況を命題が「特 徴付ける」ということの内実をどう考えるかということである．すでに見た通り，様相論 理の体系には，Kに始まり，S4やS5といった極めて，多様なものがある．その相違は，

一言で言えば，状況（可能世界）の間の到達可能性関係Rとして，どのような特性を持つ ものと考えるかのに対応している．このとき，Rにいかなる条件も課さなければ，そのよ

第6章 論理体系を用いた命題概念の分析 150 うな論理体系はKに対応し，他方，反射性と推移性という条件を課せば，S4に，そこに，

対称性という条件を加わえれば，S5に対応するのであった．

では，例えば，S4モデルで考えたとき，そこでの可能的状況とはどのようなものと考 えられるだろうか．すでに見た通り，S4モデルでは，任意の2A について，もしもある 状況 wでそれが，一旦成立すると，wから到達可能ないかなる可能世界 v^でも，2A^は 成立し続ける．つまり，V(2A) —このモデルにおける2Aの有効性の範囲—は擬順序R について上方閉（upward closed）であるということである．ではそのようなことは何を 意味しているのだろうか．

もちろん，この問いに対する答えは一つである必要はない．しかし，S4が直観主義論 理の様相同伴である（S4翻訳による前者の中への後者の埋め込み像が，後者とほぼ同型 の部分言語となっている）という事情に力点を置くならば，ある程度まで答えは絞られて くる．つまり，任意の直観主義論理の論理式Aについて，そのS4翻訳A² を考えると，

S4モデルにおけるA² の⟨ ^{有効性の範囲} V(A²) ⟩ がやはり，（このモデルの到達可能性 関係について）上方閉であるからである．この点について考察するために，直観主義論理 における「含意」の充足条件を考えてみよう．それは，以下のように与えられる：

[∗] M, w|=A⊃B ⇔ ∀u(∈W)(wRuならば(M, u|=AならばM, u|=B)) 一般にw, uなどの可能世界においては，可算個の（つまり有限個，または，可算無限個 の）原子命題が成り立っていると考えられる．しかしここでは話を単純化して，w, uにお いて成立する原子命題はたかだか有限個であるとしてみよう．ここでは，wにおいて成立 するそれらの有限個の命題をΓ^{で表す．ところで，}Rに関する単調性により，wRu^であ るいかなるuについても，uで成立する原子命題たちは，上記のΓにさらに幾つかの（有 限個の）原子命題たちを付け加えたものと考えてよい．これら新たにつけ加わった原子命 題たちを∆と書くことにする．

以上を踏まえると，先の[∗]は実質的には次のことを述べているということがわかる．

[∗1] Γ⊢A⊃B ⇔ ∀∆(Γ,∆⊢AならばΓ,∆⊢B)

ただし，Γはwで成立している原子命題の全て，Γ∪∆はuで成立している原子命題 の全てを，それぞれ，表すこととする．

まず右辺から左辺に向けて読んでみる．

[∗2]今，Γが成り立っているwに加え，任意の∆が加わった状況（つまりu）を考

第6章 論理体系を用いた命題概念の分析 151 えたとき，そこでは，Aが導かれるなら，Bも導かれるとする．するとそのとき，

Γが成り立っているときのみの状況wにおいて，A⊃Bが導かれる．

実は，[∗2]（[∗1]の右辺から左辺の方向）は，証明論的に証明可能である，今，∆とし て，A自身を取る．すると，Γ,∆⊢AならばΓ,∆⊢Bは，Γ, A ⊢AならばΓ, A⊢Bと 書き換わり，このときさらに，Γ, A⊢Aは直観主義論理で証明可能であるため，Γ, A⊢B も証明可能であり，さらに，Γ⊢A⊃Bも証明可能となる．今度は，[∗1]の左辺から右辺，

つまり，

[∗3] Γ（が成立しているw）で，A⊃Bが導かれるならば，いかなる∆について も，Γ,∆（が成立しているu）を考えると，もしも，Γ,∆からAが導かれるなら，

そのとき，Γ,∆からBもまた導かれる．

このとき，実はこれも証明可能である．Γ ⊢ A⊃Bつまり，Γ, A ⊢ Bと，Γ,∆⊢ Aと が成り立つとする．このとき，カット規則の適用により，結果としてΓ,∆⊢ Bが導かれ る^*3．

そのため，結局，[∗1]が証明可能であることがわかった．しかし，[∗1]は[∗]の，wをΓ に，uをΓ,∆に，|=を⊢にそれぞれ書き換えた結果であるので，両者を単純に同一視す ることはできない．とくに，[∗]では，(i)∀u(wRuならば(M, u |=AならばM, u|=B)) という表現が登場するのに対し，[∗1][∗2]^では，(ii) ∀∆(Γ,∆⊢A^ならばΓ,∆⊢B)^が登 場している^*4．

また，このとき，一般には，あらゆる∆の方が強い条件を表現している．なぜなら，∆

*3上述した通り，ここでは，たかだか有限個の原子命題が成立するのみであるようなw, u^{に考察を限って} いる．これは一見大きな制限に思えるが，本論におけるように，さしあたり，命題論理だけを考察主題と し，述語論理の事は考慮に入れないのであれば，実質的には何の制限ともならないと考えて良い．なぜな ら，任意のA, B^{について，もしも}A⊃B^{が，何らかのモデル}M^{の何らかの可能世界}v^{（可算個の原子} 命題が成立している世界）で成立するならば，つまり，M, v|=A⊃Bならば，そのとき，あるモデルM^′ とv^{′が存在して，}M^′, v^′|=A⊃Bとなっており，しかも，v^′では，有限個の原子命題しか成立していな いといえるからである．実際，もとのM中のv以降の部分（vによって生成される部分モデル）だけを 取り出して，M^′とし，v^自身をv^{′としてとり，さらに，}v=v^{′以降の各世界}sにおいて成立するのは，

もとのM^においてsで成立していた原子命題たちのうち，A^またはBに登場するもののみであるとす れば良い．

*4各∆^{に関して，}Γ,∆^{は，いわゆる}consistent prime theory^{に対応している．}

• Γが理論（Theory）であるのは，Γ⊢Aならば，A∈Γであるとき．

• ^理論Γ^{が無矛盾である（}consistent^{）であるのは，}Γ̸⊢ ⊥^{であるとき．}

• ^理論Γ^がprime^{であるのは，}A∨B∈Γ^ならば，A∈Γ^またはB∈Γ^{であるとき．}