構造探査のたたみ込みモデルと限界

2.1 グーピョ・モデル

反射法地震探査などにより地表で観測される地震波は時系列として得られる。一般に，

地下の媒質は物性に差異により深さとともに異なる地震波速度を持つため，反射波がどの 深さの反射面で生じたかを知るためには，地震波速度を求める必要がある。他方，時間記 録として得られる地震波の時間は，「時間深度（

time-depth

）」として表記されるように，

時間そのものが深さを示していることも事実である。グーピョー・モデル（

Goupillaud, 1961

）は水平成層構造を仮定し，離散化された時系列のサンプル時間ごとに反射係数を有 するとするモデルを提唱した（

Fig.1

）。離散化により，サンプル時間に一致しない時間に あるスパイク状の関数は，その前後のサンプル時間における複数のスパイクで近似できる

（

Fig.2

）ことから，グーピョー・モデルは離散化されたモデルとして妥当であると考える

ことができる。この考え方により，地震波記録が地表に対して鉛直に入射する場合，時間 深度に対する地震波処理は全て信号処理で代用できることとなる。換言すれば，離散化さ れた時間に関係なく地層境界（反射面）ごとに生じるスパイク状の反射係数列を持つ時間 関数を離散化することが可能である。この操作により，離散化というスペクトルの帯域を 狭める操作を導入しても，反射係数列を表現することが可能となる。従って反射法地震探 査記録の畳み込みモデルの妥当性が確立されただけでなく，各種の信号処理方法の適用が 行なわれることとなった。即ち，入力となる地震波，反射係数列，反射地震波記録をそれ ぞれ

z

^変換

(z

=

e

^iω

)

^{を用いて，}

x(z)

^，

r(z)

^，

s(z)

とすると，以下の式が成り立つ。

s(z)

=

x(z)r(z)

この式の右辺は，たたみ込みを示している。構造探査の対象となる地下構造は

r(z)

^であ り，この式は，入力地震波

x(z)

が既知であれば，出力

s(z)

から，得たい

r(z)

を推定可能 であることを示している。

この基本的な理論は，上述グーピョ・モデルを基にしており，最近進化の著しい

Daylight Seismic Processing

として知られる理論の基礎となる

Kunetz-Claerbout

方程式

[3]

の導入 にも用いられている。

2

Fig. 1. Typical reflection seismo-gram that is composed of the ba-sic waveform convolved with the un-derground reflectivity series (Left).

Right figure depicts that a descretized time series is obtained after sampling by equispaced time.

Fig. 2. Samples denoted by solid circles indicate discretized waveform. Any impulsive sig-nal could be expressed by a group of samples that give equivalent spectrum in the range of frequencies inside alias frequency.

2.2 ^{信号処理方法}

グーピョ・モデルの導入により地下構造を推定することが可能であることは示された が，実は，帯域制限という問題が残っている。

Rayleigh

の原理によれば，こうした解析の 解像力を決定するのは，使用する周波数（上述のω）の帯域の広さである。残念ながら，

離散化による高周波カットという帯域制限，そして測定機器の応答，更に地球の媒質の 加える高周波成分の減衰，といった一連の物理過程は，上述の

w(z)

^および

s(z)

^双方を狭 帯域信号に変化させてしまう。このため，構造探査で得られた記録から真の

r(z)

を再現 するためには，各種信号処理手法が必要となる。この処理手法に最も多用される方法が，

ウィーナ・フィルタである。

このウィーナ・フィルタでは，上述の

x(z)

を変換するフィルタ

h(z)

を，ある理想的な 波形

d(z)

に最小二乗法的に推定する。即ち，次式を用いる。

d(z)

=

h(z)x(z)

そして，このフィルタを

s(z)

に適用することで，ある理想的な入力に対する出力波形

s(z) ˜

を推定する。

˜

s(z)

=

h(z)x(z)r(z) (2.1)

=

(h(z)x(z))r(z) (2.2)

=

d(z)r(z) (2.3)

3

2.3 ウィーナ・フィルタ

上述のウィーナ・フィルタは，最小二乗フィルタとして認識される。簡単のため，

x(z)

を次式の数列で記載する。その他の

d(z)

や

h(z)

も同様である。

x(z)

= ∑

j

x

_j

z

^j ={

x

_j}

この時，たたみ込みを用いて次式が成り立つ。

d

i =∑

j

h

j

x

i−j

実際にフィルタを適用した際には，推定誤差

e

_i を生じるので，次式となる。

d

_i =∑

j

h

_j

x

_i−j +

e

_i

最小二乗の考え方を導入すれば，このフィルタ

h

j を推定するには，誤差の二乗和∑

j

e

²_i ^を 細小にすれば良い。従って，次式を解けば良い。

∂

∂

h

k

∑

j

e

²_i =

0

但し，ここで

k

は，

h

_j の次数を

m

とした時に，

1

<

k

≤

m

である。次数が

m

とした時に

h

j を

h

^(m)_j として，整理すると次式が導かれる。

∑m

j=0

h

^(m)_j ∑

i

x

_i−j

x

_i−k= ∑

i

d

_i

x

_i−k

従って，整理すると次式となる。

∑m

j=0

h

^(m)_j φk−j =

c

k

但し，φ^および

c

は，それぞれ次式で示される自己相関および相互相関係数列である。

φk =∑

i

x

i

x

i+k

c

k =∑

i

x

i

d

i+k

行列を用いると，次式となる。

4

(2.4)







φ0 φ1 · · · φm

φ1 φ0 · · · φm−1

... ... ... ...

φm φm−1 · · · φ0















h

^(m)₀

h

^(m)₁ ...

h

^(m)_m







 =







c

0

c

1

...

c

_m







左辺の行列は，次数の高い場合直接解くことが困難な行列であり，

Toeplitz

の行列と呼 ばれる。

ドキュメント内 u•½¬23”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv—\eW (ページ 53-56)