マルチウェーブレット関数のデザイン

ここでは，周波数空間でコンパクトサポートを持つようなアナライジングマルチウェー ブレット関数をデザインしよう．許容条件を満たすウェーブレット関数を周波数空間で切 り刻んでマルチウェーブレット関数を構成する．

命題4 許容条件

(5.1)

を満たすウェーブレット関数ψ0 ∈

L

²

(

Rⁿ

)

と P

p=1

|χp

(

ξ

)

|² =

1

,

a.e.

ξ∈Rⁿ\ {

0

}

を満たす周波数空間の分割関数 χp

(

ξ

), p

=

1

, . . . ,

P

に対して，ψ^{p を}ψ^p = χpψ0 で定義す る．このとき，Ψ

:

=

(

ψ^p

)

^P_p=1 は，定数

C

_Ψ =

C

_ψ0 を満たすアナライジングマルチウェーブ レット関数になる．

以下では，画像分離を考えるため

n

=

2

次元の場合に限定して，マルチウェーブレット 関数をデザインする．

9

5.5.1 円環マルチウェーブレット関数

ψα

(

ξ

)

が周波数空間で

Fig. 3

左のマスクを持つアナライジングウェーブレット関数とす る．つまり，定数α >

1

に対して，周波数空間の

1

の分割

j∈Z

ψα

(

α^jξ

)

² =

1

,

a.e.

ξ∈R²\ {

0

}

を満たすような滑らかな関数として ψα

(

ξ

)

を設計する．具体的には，α=

2

の場合には，

メイエの正規直交ウェーブレット関数ψMeyer

(x)

を用いて，ψα

(

ξ

)

= ψMeyer

(

|ξ|

)

とする．

リース変換のマスクを用いて，周波数空間の分割を行う．

χ1

(

ξ

)

=

1

√

2

, χ2

(

ξ

)

= −

i

ξ1

√

2

|ξ|, χ3

(

ξ

)

= −

i

ξ2

√

2

|ξ|.

命題

4

を用いると，

Ψ^A_α = ψ^A_α^,p3

p=1

:

=

(

χ1

(D)

ψα, χ2

(D)

ψα, χ3

(D)

ψα

)

^T =

1

√

2 (

ψα,R1ψα.R2ψα

)

^T

は，アナライジングマルチウェーブレット関数になる．また周波数空間の

1

の分解

(5.9)

j∈Z

3 p=1

ψ^Aα^,p

(

α^jξ

)

² =

1

,

a.e.

ξ

を満たす．

これらの関数を用いて画像分離を行ったのが文献

[15]

である．マルチウェーブレット 関数Ψ^A_α ^の外形を

Fig. 4

に描く．左：F

(

χ1

(D)

ψα

)

，中：χ1

(D)

ψα，右：χ2

(D)

ψαを濃淡図 で描いた．上からα=

1

.

25, 1

.

5, 2

.

5

である．

5.5.2 円環分割マルチウェーブレット関数

Fig. 3

左のマスクを持つアナライジングウェーブレット関数ψα

(

ξ

)

を周波数空間で原点

からの偏角方向に

P

_{等分すと，}

Fig. 5

左図で灰色に塗ったようなマスクができる．このよ うにして作ったアナライジングマルチウェーブレット関数を

Ψ^AS_α,P =

ψ^AS_α,P^,pP p=1

とする．

Fig. 6

にウェーブレット関数ψ^AS,_α,P^p のマスク（左），実部（中），虚部（右）の例

をあげた．上から，

(

α,

P

,

p)

=

(1

.

5

,

12

,

1), (2

,

20

,

4), (2

.

5

,

28

,

2)

である．このマルチウェー ブレット関数のマスクも周波数空間の

1

の分解

(5.10)

j∈Z

P p=1

ψ^AS_α,P^,p

(

α^jξ

)

² =

1

,

a.e.

ξ

10

Fig. 4. F(χ1(D)ψα),χ1(D)ψα,χ2(D)ψαの密度分布．α=1.25, 1.5, 2.5.

Fig. 5. 左：円環分割マルチウェーブレット関数のマスク．右：四角タイリングによる

マルチウェーブレット関数のマスク．

を満たす．補助定理

3

から，

(

Ψ^AS_α,P

;

Ψ^AS_α,P

)

もアナライジングマルチウェーブレット関数 になる．画像分離のエッジ抽出を行う線形変換

B

と

B

1には，それぞれウェーブレット関 数としてψ^AS_α,P^,pとψ^AS_α,P^,p を用いた連続ウェーブレット変換を使う．

5.5.3 四角タイリングによるマルチウェーブレット関数

文献

[3]

で提案したマルチウェーブレット関数を用いる．周波数平面を

Fig. 5

右のよう に分割する．灰色の

4

角形と同じ大きさの

4

角形

12

個をマルチウェーブレット関数と

11

Fig. 6. 左：ψ^AS,p_α,P ,中：ψ^AS,p_α,P ,右：ψ^AS,p_α,P ^．上から(α,P,p)=(1.5,12,1), (2,20,4), (2.5,28,2)．

する．

Ψ^ST_α = ψ^STα ^,p

12 p=1

このマルチウェーブレット関数も周波数空間で

1

の分割

(5.11)

j∈Z

12 p=1

ψ^STα ^,p

(

α^jξ

)

² =

1

,

a.e.

ξ

を満たす．

Fig. 7

にこのウェーブレット関数のマスク（左），実部（中），虚部（右）を描 いた．

四角タイリングによるマルチウェーブレット関数は，許容条件

(5.4)

を満たしていない

（満たすように変更はできる）ので，アナライジングマルチウェーブレットではないが，次 小節で述べる離散化した関数系がパーセヴァルフレームになるので，そのまま用いる．画 像分離のエッジ抽出を行う線形変換

B

と

B

₁ には，それぞれウェーブレット関数ψ^STα ^,p

とψ^STα ^,p を用いた連続ウェーブレット変換を使う．文献

[5]

では，このマルチウェーブ レット関数を用いて画像分離を行った．

12

Fig. 7. 四角タイリングによるマルチウェーブレット関数左：ψ^ST,pα のマスク中：実部 ψ^ST,pα ，右：虚部ψ^ST,pα ．上から，(α,p)=(1.5,1), (2,3), (2.5,2)．

ドキュメント内 u•½¬23”N ƒEƒF[ƒuƒŒƒbƒg—˜_‚ƍHŠw‚ւ̉ž—pv—\eW (ページ 96-100)