本章のまとめ

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

x_i tanh(x

i) log(cosh(x

i))

O

図 4.7: 双曲線関数を使った U(x_i)と ϕ(x_i)

第 5 _章

ノミナル軌道追従 SP–D _制御

マニピュレータの基本的動作である位置決め(定置)制御問題に対するSP–D制御の考察

は，文献[15, 16]などが詳しい．しかし ，マニピュレータに行わせようとするすべての作

業が定置制御だけで実現できるわけではない．溶接や塗装などの作業を達成する場合には，

軌道追従制御を考える必要がある．

本章では，定置制御に用いられていた従来のSP–D制御法を，軌道追従制御問題に適用 できるよう拡張する．一般に，追従制御問題では誤差のフィード バック補償だけを行うよ りも，モデルを使ったダ イナミクス補償項を加えた制御則の方が良好な追従を期待できる．

第3章で述べたようにダ イナミクスモデルにはモデル化されない動特性やパラメトリック な不確かさの問題があるが，本章ではこれらの不確かさが存在しない仮定の下，ダ イナミ クス補償項を加えたノミナル軌道追従SP–D制御則を提案し，その有効性を実験的に検証 する．

5.1 ノミナル軌道追従 SP–D 制御則

マニピュレータダ イナミクスにパラメトリックな不確かさが存在しない，すなわち θ˜=0 の仮定の下，2階連続微分可能な目標軌道 q_d∈ <ⁿ が与えられるとする．また，位置誤差 および 速度誤差をそれぞれ次のように定義する．

e:=q−q_d, e˙ := ˙q−q˙_d (制御目的)

時刻 tが t→ ∞ のとき，位置誤差e および 速度誤差e˙ を e→0 かつ e˙ →0 とすることである．

(ノミナル軌道追従SP–D制御則)

ノミナル軌道追従SP–D制御則を次式で与える．

τ = ˆM(q)¨q_s+ ˆC(q,q) ˙˙ q_s+ ˆg(q)−Ks (5.1) マニピュレータダ イナミクスの性質(P3)を用いると，上式は

τ =Y(q,q,˙ q˙_s,¨q_s)ˆθ−Ks (5.2) と簡単に記述できる．ただし，θˆ=θ であり，仮想目標軌道を次式で定義する．

q˙_s := ˙q_d−Λϕ(e) (5.3) 右辺の第2項に非線形な飽和関数ϕ を含む点が，従来の仮想目標軌道と異なる．また，行 列 KおよびΛは，

K := diag{k₁, . . . , k_n} ， k_i >0 Λ := diag{λ₁, . . . , λ_n} ， λ_i >0 で定義されるゲ イン行列である．

さらに，仮想目標軌道との誤差を補助変数

s:= ˙q−q˙_s (5.4)

で定義する．(5.4)式の q˙_sに仮想目標軌道(5.3)式を代入すると，補助変数には次の関係が あることが分かる．

s= ˙e+Λϕ(e) (5.5)

上式は補助変数に非線形な飽和関数を含むことを表しており，この関係式が本研究の基 本的アイデアとなっている．ノミナル軌道追従SP–D制御則(5.2)式は，右辺の第1項が マニピュレータのダ イナミクス補償項，第2項が追従誤差のフィード バックである．(5.5) 式を第2項 Ksに代入すれば，位置ゲインが KΛ，速度ゲ インが K のフィード バックと なっており，PD制御を基盤にした簡単な構造であることが分かる．(5.5)式は変数sが飽 和特性を有する位置誤差 ϕ(e)と速度誤差e˙ で構成されることも表している．e˙ を q˙ に置 き換えれば，従来の定置制御[12, 13]で用いられていた誤差変数に一致する．

注意 1 前章の(4.3)式で表すように ϕ(e)は C¹ 級の関数であり，^∂ϕ(e)

∂e が連続となるから q¨_s = ¨q_d−Λ∂ϕ(e)

∂e e˙ (5.6)

は連続である．むしろ，制御則を含めた閉ループ系が連続であるための条件が(4.3)式とし

て表れていると言える． 2

次に，制御則(5.1)式をマニピュレータの運動方程式(3.1)式に代入して，閉ループ系を 構成する(図5.1参照)．

M(q)¨q+C(q,q) ˙˙ q+g(q) = Mˆ (q)¨q_s+ ˆC(q,q) ˙˙ q_s+ ˆg(q)−Ks

いま，不確かさが存在しない，すなわち，Mˆ (q) =M(q)，C(q,ˆ q) =˙ C(q,q)，˙ ˆg(q) =g(q) と仮定しているので

M(q)(¨q−q¨_s) +C(q,q) ( ˙˙ q−q˙_s) +Ks=0

となる．ここで，(5.4)式を上式の第2項に

q¨−q¨_s = (¨q−q¨_d) +Λ∂ϕ(e)

∂e e˙

= ¨e+Λ∂ϕ(e)

∂e e˙

= s˙

Robot

ϕ Λ

. .

τ .

-

+

-+

+ +

-θ ..

SP-D feedback loop

Dynamics compensator

q

K

q_d

q_d

e

e

図 5.1: ノミナル軌道追従SP–D制御 (ブロック図) の関係を第1項に代入すれば，次式の閉ループ系が得られる．

M(q) ˙s+{C(q,q) +˙ K}s=0 (5.7) 補助変数 sは(5.5)式のように e˙ と eで構成されるので，上式は

M(e+q^d) ¨e+Λ∂ϕ(e)

∂e e˙

!

+{C(e+q^d,e˙ + ˙q_d) +K}( ˙e+Λϕ(e)) =0 (5.8) と変形できる．目標軌道 q_d,q˙_d,¨q_dが入力であり，ある時刻においてこれらが零のとき，e と e˙ が定まればその後の運動が定まるので，変数 e と e˙ を閉ループ系の状態と考えるこ とができる．