第 6 章 まとめと今後の課題 81
B.3 最確速度
気体分子の最確速度v∗はF(v)が極大となる速度なので，
dF(v) dv = 0 の解を求めればよい．(B.5)より，
dF(v) dv = 4π
µ m 2πkBT
¶3/2
exp µ
− mv2 2kBT
¶ ·µ
− mv kBT
¶
v2+ 2v
¸
= 0 v
·µ
− m kBT
¶
v2+ 2
¸
= 0 となり，v > 0を考慮すると，最確速度は
v∗ =
µ2kBT m
¶1/2
=
µ 2NAkBT M ×10−3
¶1/2
(B.7) となる．
B.4 2 乗平均速度
一辺の長さがl の立方体（体積 V =l3）の容器の中に質量 mの気体分子が N 個ある場合 を考える．
まず，分子1個について見ていく．図のように分子が速度 v で壁に弾性衝突すると，vx が
−vx になるが，vy，vz は変化しない．この時，運動量は衝突前が mvx，衝突後が −mvx な ので，1回の衝突による運動量の変化は
∆Px =−mvx−mvx
=−2mvx
である．この分子が同じ壁に衝突するまでの時間は τ = 2l
vx
なので，t 秒間の衝突回数は
n= t τ
= vxt 2l
である．物体の運動量の変化は物体に加えられた力積に等しいので，分子がt 秒間に壁から受 ける力積は
fmolt=n·∆Px
= vxt
2l ·(−2mvx) と表される．よって，分子が壁から受ける力は
fmol =−mvx2 l である．つまり，壁が1個の分子から受ける力は
fwall = mvx2 l となる．
ここからは，N 個の分子について考えてる．壁が受ける全合力は全ての分子による力の総 和である．この全合力を面積S =l2 で割ると，圧力は
P =
Pfwall
S
= m
l3 (vx12 +vx22 +· · ·+v2xN)
ここで，vx12 ，v2x2，· · ·，v2xN はそれぞれの分子の速度のx成分である．vx2 の平均値は vx2 = (v2x1+v2x2+· · ·+vxN2 )
N なので，
P = N m
V vx2 (B.8)
である．分子の速さの2乗の平均は
v2 =vx2+v2y+v2z
であり，分子が十分ランダムに運動しているとすると
vx2 =v2y =vz2 = v2 3 となる．(B.8)より，
P = N m V v2
= 2N 3V
µ1 2mv2
¶
(B.9) となるので，圧力P は分子の平均運動エネルギーに比例していることが分かる．また，(B.9)を
P V = 2N 3V
µ1 2mv2
¶
(B.10) と置き換えると，分子の平均運動エネルギーが一定ならばボイルの法則が成り立っていること が分かる．
(B.10)を理想気体1mol（体積 V，分子数 NA：アボガドロ数とする）に対して適用する．
ボイル・シャルルの法則
P V =RT (R：気体定数)) (B.11) と(B.10)より，1分子あたりの平均運動エネルギーは
1
2mv2 = 3 2
R
NA T = 3 2kBT
µ
kB ≡ R
NA：ボルツマン定数
¶
(B.12) となる．これは理想気体においては分子の平均運動エネルギーは絶対温度に比例するというこ とを示している．
また，1分子あたりの平均運動エネルギーが x，y，z方向に均等に分配されるので，
1
2mvx2 = 1
2 mvy2 = 1
2mvz2 = 1 2kBT
となる．これを一般化したものがエネルギー等分配法則である．熱平衡にある系のエネルギー は全ての自由度に等しく分配されるので，1分子あたりの平均運動エネルギーは
単原子分子：3 2kBT 2原子分子：5
2kBT で与えられる．
単原子分子の2乗平均速度（root-mean-square speed）vrms を考える．(B.12)より vrms=
p v2
=
µ3kBT m
¶1/2
=
µ 3NAkBT M ×10−3
¶1/2
(B.13) という結果が得られる．
気体分子の速度には(B.6)，(B.7)，(B.13)で得られたように以下のの3つの定義がある．
平均速度 〈v〉=
µ 8NAkBT πM ×10−3
¶1/2
最確速度 v∗ =
µ 2NAkBT M ×10−3
¶1/2
2乗平均速度 vrms=
µ 3NAkBT M ×10−3
¶1/2
本文中においては，原子の速度として最確速度を用いている．
謝辞
ここでは私の研究生活を支えていただいた数多くの方々への感謝の意を表したいと思い ます．
指導教官である光永正治教授には，学部4年次から現在までの6年間に渡って厳しくも温か いご指導を頂き，本当に感謝しております．量子光学の基礎からプレゼンテーションの仕方ま で，丁寧に教えていただきました．研究に行き詰った際にも的確なアドバイスをしていただい たため，本研究を円滑に進められました．また，物理学会や国際会議における発表の機会を与 えてくださったおかげで，研究者として大きく成長することができたと思います．
本研究のポスドクであられた原田健一博士には基礎的な実験機器の扱い方を教えていただき ました．実験に対する真摯な姿勢から，多くのことを学ばせていただきました．
そして，同級生であった森研二君と吉田啓之君は卒業後も様々な場面でお世話になりまし た．研究や就職活動に行き詰った際には社会人としての立場からアドバイスをしてくれま した．
本研究室を卒業した枝元忠義君，奥間惇治君，竹下洋介君，藤沢晃彦君にも大変お世話にな りました．彼らの修士論文は完成度が高く，本研究を進めるにあたり大変参考になりました．
また，現メンバーである城戸宏旭君，高橋賢一君，椙村祥太君，本坊尚也君には研究に関す ることだけでなく，私的な場面でも仲良くさせていただきました．充実した学生生活を送れた のは彼らのおかげです．
最後に，長きに渡って私の研究生活を支え，暖かく見守ってくれた家族に心から感謝しま す．これまで学んできた多くの事を活かして，今後とも研究に励んでいきたいと思います．
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