曲面の面積

である場合，図形T のxy平面への正射影 K=

(ua₁+vb₁+c₁, ua₂+vb₂+c₂)|a≤u≤b, c≤v≤d

は一次変換 x=a₁u+b₁v, y=a₂u+b₂v による長方形R= [a, b]×[c, d]の(R² における)像 K₀=

(ua₁+vb₁, ua₂+vb₂)|a≤u≤b, c≤v≤d

の平行移動であるから，面積A(K)は平行四辺形 K₀ の面積に等しくA(K) =|a₁b₂−a₂b₁||R| である；ここで |R|= (b−a)(d−c) は長方形Rの面積（参考. 5.3 重積分の変数変換 A. 1）．

平面πの法線ベクトルN は

N =Xu×Xv=A×B= (a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1) であるから

A(T) = ||A×B||

|a1b2−a2b1|A(K) =||A×B|| · |R| =

R

||Xu×Xv||dudv .

曲面の面積の公式

  空間R³にある曲面S の(１対１に対応する)パラメータ表示Φを考える：

Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))∈R³ (u, v)∈D

, ただし

x(u, v), y(u, v), z(u, v) (u, v∈D) は平面領域 D(⊂R²) で定義された C¹ 級関数で Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v) =

y_u y_v z_u z_v ,

z_u z_v x_u x_v ,

x_u x_v y_u y_v

=0.

S 上の図形T がD の面積を持つ領域Rの像T = Φ(R)である時，T の面積は二重積分 A(T) =

R

||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||dudv · · · (∗) で求められることが発見された，ここで

||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||= , --.

y_u(u, v) y_v(u, v) z_u(u, v) z_v(u, v)

2

+

z_u(u, v) z_v(u, v) x_u(u, v) x_v(u, v)

2

+

x_u(u, v) x_v(u, v) y_u(u, v) y_v(u, v)

2

.

  特に，z=f(x, y)が平面R² の開集合D(⊂R²)で定義されたC¹ 級関数であるとき，

Φ(x, y, f(x, y)) ((x, y)∈D)は曲面 S : z=f(x, y) のパラメータ表示となるから

||Φ_x(x, y)×Φ_y(x, y)|| =

f_x(x, y)²+f_y(x, y)²+ 1

である．曲面S 上の図形T の面積A(T)はその xy平面への正射影K での二重積分 A(T) =

K

f_x(x, y)²+f_y(x, y)²+ 1dxdy で与えられる．

B. 基本例

1 上半球面z=

a²−x²−y² の表面積S ，およびこの上半球面内の領域で D=

(x, y)|0≤x²+y²≤ a² 4

上にある部分の表面積S_Dを求めよ．

解． z_x=− x

a²−x²−y² , z_y =− y

a²−x²−y² であるから，

f_x(x, y)²+f_y(x, y)²+ 1 = a

a²−x²−y² となる．故に，表面積S は

S =

x²+y²≤a²

a

a²−x²−y²dxdy= 2 ^π₂

−^π₂

_a

0

√ a

a²−r²rdrdθ

= 2a ^π₂

−^π2

!− a²−r²

"_a

0dθ= 2a^{2 π}₂

−^π2

1dθ= 2πa².

同様に， S_D =

D

a

a²−x²−y²dxdy= 2 ^π₂

−^π₂

^a₂

0

√ a

a²−r²rdrdθ

= 2a ^π₂

−^π₂

!− a²−r²

"^a₂

0 dθ= 2a^{2 π}₂

−^π₂

1−

√3 2

dθ= (2−√

3)πa². //

C. 巧妙な計算 2 半球面 z=

a²−x²−y² の領域D=

(x, y)|0≤x²+y²≤ax

上の表面積を求めよ．

解． z_x=− x

a²−x²−y² , z_y =− y

a²−x²−y² であるから，

f_x(x, y)²+f_y(x, y)²+ 1 = a

a²−x²−y² となる．

領域D=

(rcosθ, rsinθ)| −π

2 < θ≤ π

2, r≤acosθ

と表されるので，

6 y

0 ^θ a- _x

S =

D

a

a²−x²−y²dxdy= ^π₂

−^π2

_acosθ 0

√ a

a²−r²rdrdθ

= a ^π₂

−^π2

!− a²−r²

"_acosθ

0 dθ=a^{2 π}₂

−^π2

(1− |sinθ|)dθ

= 2a^{2 π}₂

0

(1−sinθ)dθ= (π−2)a². //

3 回転放物面z=x²+y² の領域D=

(x, y)|0≤x²+y²≤1

上の表面積を求めよ．

解．

f_x(x, y)²+f_y(x, y)²+ 1 =

1 + 4x²+ 4y² であるから，面積S は

S =

D

1 + 4x²+ 4y²dxdy= _π

−π

1 0

1 + 4r²rdrdθ

= _π

−π

dθ 1

0

1 + 4r²rdr= 2π

! 2 3·8

1 + 4r²

³₂"1 0=π

6(5√

5−1). //

D.

曲面の面積の公式

の説明

曲面S のパラメータ表示は Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))∈R³ (u, v)∈D

である．

図形T が閉長方形R= [a, b]×[c, d] (⊂D)の像，すなわちT= Φ(R)である場合を考える．

長方形Rの小長方形R_i,j= [a_i−1, a_i]×[c_j−1, c_j]への分割 Δ :

a=a₀< a₁ <· · ·< a_m=b

c=c0< c1<· · ·< c_n=d の分点P_i,j= (a_i, c_j) に基づいてRを三角形へ分割する:

⎧⎨

⎩

R^Δ_i,j=三点P_i−1,j,P_i−1,j−1,P_i,j−1を頂点とする三角形 R^∇_i,j=三点P_i−1,j,P_i,j,P_i,j−1を頂点とする三角形 を考えるとR_i,j=R^Δ_i,j'

R^∇_i,j かつR=(

i,j

R_i,j . 曲面T 上の点 Q_i,j= Φ(a_i, c_j)を取って

⎧⎨

⎩

T_i,j^Δ =三点Q_i−1,j,Q_i−1,j−1,Q_i,j−1を頂点とする三角形 T_i,j^∇ =三点Q_i−1,j,Q_i,j,Q_i,j−1を頂点とする三角形

を考える．小長方形R_i,jの面積 (a_i−a_i−1)(c_j−c_j−1)を |R_i,j| で表すことにする．そのとき，

長方形Rの面積は|R|=

i,j

|R_i,j|で，三角形R^Δ_i,jの面積|R^Δ_i,j|=R^∇_i,jの面積|R^∇_i,j|= |R_i,j| 2 . (空間R³ 内の)三角形T_i,j^Δ の面積をA(T_i,j^Δ), T_i,j^∇ の面積をA(T_i,j^∇)と表す．曲面S のパラメー タ表示Φが１対対応１であるから，三角形T_i,j^Δ と T_i,j^∇ がつぶれていることはなく，面積 A(T_i,j^Δ)>0 およびA(T_i,j^∇)>0である．三角形T_i,j^Δ とT_i,j^∇ のすべての和集合である二次元複体

T_Δ=(

i,j

T_i,j^Δ ∪ (

i,j

T_i,j^∇

を考えるとその面積A(TΔ)は，それぞれの三角形の面積の和であるから，

A(T_Δ) =

i,j

A(T_i,j^Δ) +A(T_i,j^∇)

となる．ここで，

三角形T_i,j^Δ はつぎの線形写像(x, y, z) = Φ^Δ_i,j(u, v)によるR^Δ_i,jの像であることに注意する：

Φ^Δ_i,j(u, v) = Φ(a_i−1, c_j−1)+Φ(a_i, c_j−1)−Φ(a_i−1, c_j−1)

a_i−a_i−1 (u−a_i−1)+Φ(a_i−1, c_j)−Φ(a_i−1, c_j−1)

c_j−c_j−1 (v−c_j−1). すなわち，

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

x=x(a_i−1, c_j−1) +x(a_i, c_j−1)−x(a_i−1, c_j−1)

a_i−a_i−1 (u−a_i−1) +x(a_i−1, c_j)−x(a_i−1, c_j−1)

c_j−c_j−1 (v−c_j−1) y=y(a_i−1, c_j−1) +y(a_i, c_j−1)−y(a_i−1, c_j−1)

a_i−a_i−1 (u−a_i−1) +y(a_i−1, c_j)−y(a_i−1, c_j−1)

c_j−c_j−1 (v−c_j−1) z=z(a_i−1, c_j−1) +z(a_i, c_j−1)−z(a_i−1, c_j−1)

a_i−a_i−1 (u−a_i−1) +z(a_i−1, c_j)−z(a_i−1, c_j−1)

c_j−c_j−1 (v−c_j−1).

また，三角形 T_i,j^∇ はつぎの線形写像(x, y, z) = Φ^∇_i,j(u, v)によるR^∇_i,j の像である：

Φ^∇_i,j(u, v) = Φ(a_i, c_j) +Φ(a_i−1, c_j)−Φ(a_i, c_j)

a_i−1−a_i (u−a_i) +Φ(a_i, c_j−1)−Φ(a_i, c_j)

c_j−1−c_j (v−c_j).

三角形T_i,j^Δ の面積A(T_i,j^Δ)を調べてみよう．線形写像(x, y, z) = Φ^Δ_i,j(u, v)は，平均値の定理を 使うと，あるξ¹_i,j, ξ_i,j² , ξ_i,j³ ∈(a_i−1, a_i)とη¹_i,j, η²_i,j, η_i,j³ ∈(c_j−1, c_j)によって

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x=x(a_i−1, c_j−1) +x_u(ξ_i,j¹ , c_j−1)(u−a_i−1) +x_v(a_i−1, η¹_i,j)(v−c_j−1) y=y(a_i−1, c_j−1) +y_u(ξ²_i,j, c_j−1)(u−a_i−1) +y_v(a_i−1, η²_i,j)(v−c_j−1) z=z(a_i−1, c_j−1) +z_u(ξ³_i,j, c_j−1)(u−a_i−1) +z_v(a_i−1, η³_i,j)(v−c_j−1) と表されるから，A(T_i,j^Δ) =||N^Δ_i,j|| · |R^Δ_i,j| と表わされる．ここで

N^Δ_i,j=

y_u(ξ_i,j² , c_j−1) y_v(a_i−1, η²_i,j) z_u(ξ_i,j³ , c_j−1) z_v(a_i−1, η³_i,j) ,

z_u(ξ_i,j³ , c_j−1) z_v(a_i−1, η³_i,j) x_u(ξ_i,j¹ , c_j−1) x_v(a_i−1, η¹_i,j) ,

x_u(ξ_i,j¹ , c_j−1) x_v(a_i−1, η¹_i,j) y_u(ξ_i,j² , c_j−1) y_v(a_i−1, η²_i,j)

,

||N^Δ_i,j||= , --.

y_u(ξ_i,j² , c_j−1) y_v(a_i−1, η²_i,j) z_u(ξ_i,j³ , c_j−1) z_v(a_i−1, η_i,j³ )

2

+

z_u(ξ_i,j³ , c_j−1) z_v(a_i−1, η³_i,j) x_u(ξ¹_i,j, c_j−1) x_v(a_i−1, η_i,j¹ )

2

+

x_u(ξ_i,j¹ , c_j−1) x_v(a_i−1, η¹_i,j) y_u(ξ²_i,j, c_j−1) y_v(a_i−1, η_i,j² )

2

.

つぎに， ||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| = ,

--.

y_u(a_i−1, c_j−1) y_v(a_i−1, c_j−1) z_u(a_i−1, c_j−1) z_v(a_i−1, c_j−1)

2

+

z_u(a_i−1, c_j−1) z_v(a_i−1, c_j−1) x_u(a_i−1, c_j−1) x_v(a_i−1, c_j−1)

2

+

x_u(a_i−1, c_j−1) x_v(a_i−1, c_j−1) y_u(a_i−1, c_j−1) y_v(a_i−1, c_j−1)

2

. に着目して，||N^Δ_i,j||−||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| について考える．関数 x(u, v), y(u, v), z(u, v) はC¹級であるから，それらの偏導関数は閉長方形Rで一様連続である(参考．5.1 D.積分可 能性と一様連続性)．このことから，つぎの事実が導かれる．

任意の小さい正の数に対してある正の数δが存在して,閉長方形R の分割Δを分割の細か さ|Δ|< δ となるよう細かくするとつぎが成り立つ：

− < ||N^Δ_i,j|| − ||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| < . 問 上のことを証明せよ 参考． 問題 略解5.7 問

．

このとき，三角形T_i,j^Δ の面積 A(T_i,j^Δ) =||N^Δ_i,j|| · |R^Δ_i,j|>0 に対してつぎのことが成り立つ：

−· |R^Δ_i,j| < A(T_i,j^Δ)− ||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| · |R^Δ_i,j| < · |R^Δ_i,j|.

三角形T_i,j^∇ の面積 A(T_i,j^∇)についても同様のことが成り立つ．線形写像(x, y, z) = Φ^∇_i,j(u, v)は，

あるα¹_i,j, α²_i,j, α³_i,j∈(a_i−1, a_i)と β_i,j¹ , β_i,j² , β³_i,j∈(c_j−1, c_j)によって

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x=x(a_i, c_j) +x_u(α¹_i,j, c_j−1)(u−a_i) +x_v(a_i−1, β_i,j¹ )(v−c_j) y =y(a_i, c_j) +y_u(α²_i,j, c_j−1)(u−a_i) +y_v(a_i−1, β_i,j² )(v−c_j) z=z(a_i, c_j) +z_u(α³_i,j, c_j−1)(u−a_i) +z_v(a_i−1, β_i,j³ )(v−c_j)

と表されるから，三角形T_i,j^∇ = Φ^∇_i,j(R^∇_i,j)の面積は A(T_i,j^∇) =||N^∇_i,j|| · |R^∇_i,j| と表わされて

次が成り立つ：

N^∇_i,j =

y_u(α²_i,j, c_j−1) y_v(a_i−1, β²_i,j) z_u(α³_i,j, c_j−1) z_v(a_i−1, β³_i,j) ,

z_u(α³_i,j, c_j−1) z_v(a_i−1, β_i,j³ ) x_u(α¹_i,j, c_j−1) x_v(a_i−1, β_i,j¹ ) ,

x_u(α¹_i,j, c_j−1) x_v(a_i−1, β_i,j¹ ) y_u(α²_i,j, c_j−1) y_v(a_i−1, β_i,j² )

,

||N^∇_i,j|| = , --.

y_u(α²_i,j, c_j−1) y_v(a_i−1, β²_i,j) z_u(α³_i,j, c_j−1) z_v(a_i−1, β³_i,j)

2

+

z_u(α³_i,j, c_j−1) z_v(a_i−1, β³_i,j) x_u(α¹_i,j, c_j−1) x_v(a_i−1, β¹_i,j)

2

+

x_u(α¹_i,j, c_j−1) x_v(a_i−1, β_i,j¹ ) y_u(α²_i,j, c_j−1) y_v(a_i−1, β²_i,j)

2

,

−· |R^∇_i,j| < A(T_i,j^∇)− ||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)|| · |R^∇_i,j| < · |R^∇_i,j|.

さて，連続関数関数||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||((u, v)∈R)は長方形R_i,j 内での二点での値の中 間値をR_i,j 内のある点で必ず取る(参考．4.2二変数関数の極限値と連続性 D. 3)ので，

ある(μ_i,j, ν_i,j)∈R_i,j で

||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)||+||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)||

2 =||Φ_u(μ_i,j, ν_i,j)×Φ_v(μ_i,j, ν_i,j)||

(左辺は||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)||と||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)||の中間値) なることがわかる．したがって

||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| · |R^Δ_i,j|+||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)|| · |R^∇_i,j|

= ||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)||+||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)||

2 · |R_i,j|

= ||Φ_u(μ_i,j, ν_i,j)×Φ_v(μ_i,j, ν_i,j)|| · |R_i,j|

となるので，以下の評価式が容易に導かれる(左側の不等号 < も同様に導かれる！)：

−|R| < A(TΔ)−

i,j

||Φ_u(μ_i,j, ν_i,j)×Φ_v(μ_i,j, ν_i,j)|| · |R_i,j|

= A(TΔ)−

i,j

||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| · |R^Δ_i,j|+||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)|| · |R^∇_i,j|

=

i,j

A(T_i,j^Δ)− ||Φ_u(a_i−1, c_j−1)×Φ_v(a_i−1, c_j−1)|| · |R^Δ_i,j| +

i,j

A(T_i,j^∇)− ||Φ_u(a_i, c_j)×Φ_v(a_i, c_j)|| · |R^∇_i,j|

<

i,j

|R^Δ_i,j|+

i,j

|R^∇_i,j| =

i,j

|R_i,j|=|R|.

ここで，閉長方形R で定義された二変数連続関数||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||((u, v)∈R)に対する リーマン和のR の分割Δ の細かさ|Δ|を 0に近づけるときの極限値を考えると

|Δlim|→0 i,j

||Φ_u(μ_i,j, ν_i,j)×Φ_v(μ_i,j, ν_i,j)|| · |R_i,j| =

R

||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||dudv

が成り立っているから， lim

|Δ|→0A(T_Δ) = lim

|Δ|→0 i,j

||Φ_u(μ_i,j, ν_i,j)×Φ_v(μ_i,j, ν_i,j)|| · |R_i,j|.

∴ lim

|Δ|→0A(TΔ) =

R

||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||dudv (= A(T)).

曲面T の面積は(T のパラメータ表示から決まる)三角形の面の複合である二次元複体T_Δの 面積の極限値である．どのような曲面が面積を持つのかという問題は，面積を持つ領域D 上での どんな(曲面を与える)パラメータ表示Φ(u, v)に対して，重積分

D

||Φ_u(u, v)×Φ_v(u, v)||dudv が計算され得るのかという問題であると考えることができる．

問題 5.7 1 円錐面 z²=x²+y² の

領域 D=

(x, y)|0≤x²+y²≤2ax

上の表面積を求めよ (a >0)．

2 球面x²+y²+z²=a²内にある円柱 D=

(x, y)|0≤x²+y²≤ax

の表面積を求めよ (a >0) ．

3 回転面の表面積 C¹級関数 y=f(x)≥0 (a≤x≤b) のグラフをx軸のまわりに一回 転してできる回転面の表面積は 2π

_b

a

f(x)

1 +f(x)²dx で与えられることを示せ．

4 関数 y= 1

x (x≥1) のグラフをx軸のまわりに一回転してできる回転面T (Gabriel’s

Horn)の表面積は無限大であることを示せ．また回転面T と平面x= 1で囲まれた領域の体積

を求めよ．

5 xy平面内の円 x²+ (y−a)²=R² (a > R >0) を x軸の周りに回転してできる円環体

（トーラス）の表面積を求めよ．

6 楕円 x² a²+y²

b² = 1を x軸のまわりに一回転してできる回転面の表面積は，a > b のとき 2πb

b+asin⁻¹e e

であることを示せ．ただし e=

√a²−b²

a .

7 関数f(x, y) = log

x²+y² (0,0)= (x, y)∈R²

を考える．

(1) 領域

(x, y, z)∈R³f(x, y)≤z≤1

の体積V を求めよ．

(2) D=

(x, y)∈R² f(x, y)≤1

(⊂R²)とするとき，

曲面z=f(x, y)のD (⊂R²)上の表面積Sを求めよ．

z = 1

8 二次曲面z= 2xyの領域 D (⊂R²)上の表面積と 回転放物面z=x²+y² の領域 D 上の表面積は等しい．

注. この二次曲面z= 2xy=−

√x

2−^√y₂2

+ √x

2+√^y 2

2

は双曲放物面z=−x²+y² を z軸の周りに角−π 4 回転 した曲面である．

右の図は上の二次曲面と回転放物面の部分図である．

x

y z

9 点 (0,0,1)を中心とする半径1の下半球面 S⁻ を考える:

S⁻ =

(x, y, z)∈R³x²+y²+ (z−1)²= 1, 0≤z≤1

. 0≤h≤1のとき，下半球面S⁻ の部分

S_h =

(x, y, z)∈S⁻ 0≤z≤h

の表面積S(h) を計算しなさい．またS(h) = S(1)

2 となるhを求めよ．

ドキュメント内 微分積分学２ (ページ 100-108)