プログラムの応答スペクトル解析で地震力が発生している構造物の動的つり合い方程式は、次のよう になります。
[ ]
M u t..( )+[ ]
C u t.( )+[ ]
K u t( )= −[ ]
M w tg( ) (5.1.1) ここで、[ ]
M : 質量マトリックス[ ]
C : 減衰マトリックス[ ]
K : 剛性マトリックス wg: 地動加速度u(t),u t&( ),u t&&( ) : 相対変位、速度、加速度
応答スペクトル解析は、多自由度系を単一自由度系の構造体と仮定して、あらかじめ数値積分によ って任意の固有周期(または、振動数)に対する最大応答値に対するスペクトル(加速度、速度、変位等) を用いて、組み合わせ解析をする方法で、設計用スペクトルを用いた耐震設計に活用します。
応答スペクトル解析では、任意モードでの最大応答値を各モードごとに求めた後、適切な組み合わ せ法に用いて組み合わせすることで最大応答値を計算します。例えば、耐震解析時に任意モードの任 意自由度に対する変位と慣性力は、次のように計算されます。
xm m xm dm
d = Γ
ϕ
S , Fxm= Γm xm amϕ
S Wx (5.1.2)ここで、
Γm : m次モードの刺激係数
ϕxm : 任意x位置でのm次固有ベクトル Sdm : m次振動の正規化変位応答スペクトル Sam : m次振動の正規化加速度応答スペクトル Wx : 任意x位置での質量
構造解析プログラムで、任意周期に対する応答スペクトル関数のデータを入力すれば、解析された 固有周期から応答スペクトル値を求めるために、一般的に線形補間法を使用するので、応答スペクトル 曲線の変化が急な部分に対しては、できるでけ細分化されたデータを使用することが望まれます(図 5.1.1 参照)。応答スペクトル関数の周期の範囲は、必ず固有値解析で算出された最大最小の固有周
期の範囲が含まれるように、入力する必要があり。プログラムでは、スペクトルを地盤種別、地域係数、
重要度係数等を入力することで容易に作成できます。
プログラムは、全体座標系X-Y平面の任意方向とZ方向に対する応答スペクトル解析が可能で、モ ードごとの解析結果の重ね合わせ法は、ユーザーによって、CQC法(Complete Quadratic Combination) とSRSS法(Square Root of the Sum of the Squares)などを選択することができます。
各モードごとの応答値の重ね合わせ法は、次のようになります。
9 SRSS (Square Root of the Sum of the Squares)
2 2 2 1/ 2
1 2
max n
R =⎡⎣R +R +L+R ⎤⎦ (5.1.3)
9 ABS (Absolute Sum)
1 2
max n
R = R + R +L+ R (5.1.4)
9 CQC (Complete Quadratic Combination)
1/ 2
1 1
N N
max i ij j
i j
R Rρ R
= =
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣
∑∑
⎦ (5.1.5)ここで、
( )
( ) ( )
2 3 / 2
2 2
2 2
8 1
1 4 1
ij
r r
r r r
ρ ξ
ξ
= +
− + + ,
j
i
r ω
=ω
Rmax : 最大応答値
Ri : 任意i次モードでの最大応答値
r : i次モードに対するj次モードの固有振動数の比率
ξ : 減衰定数
上式(5.1.5)で、i = jであれば、減衰定数に関係なくρij = 1になり、減衰定数(ξ )がゼロの場合、CQC 法とSRSS法の結果値は同じになります。
上記の方法の中では、ABS法が最も大きな組み合わせ値を算出します。SRSS法は、固有振動数が
SRSS法がよく使われましたが、最近は、各モード間の確率的な相関性が考慮できるCQC法の使用が 増えています。
例えば、減衰定数が 0.05 で、3 個の自由度を持つ構造物の固有振動数と各モードごとの変位が次 のように計算された場合、SRSS法とCQC法の計算結果を比較すると次のようになります。
9 固有振動数
1 0.46
ω = 、ω2=0.52、ω3=1.42
9 モード別の最大変位 : Dij (j次振動におけるi自由度の変位成分) 0.036 0.012 0.019
0.012 0.044 0.005 0.049 0.002 0.017
Dij = − −
−
9 各自由度に対する応答値をSRSS法で求めると
{ }
1 / 2
2 2 2
1 2 R3 0.042,0.043,0.052 Rmax=⎡⎣R +R + ⎤⎦ =
9 CQC法で求めると
12 21 0.3985 ρ =ρ =
13 31 0.0061 ρ =ρ =
23 32 0.0080 ρ =ρ =
2 2 2 1/ 2
1 2 3 2 12 1 2 2 13 1 3 2 23 2 3
Rmax=⎡⎣R +R +R + ρ R R + ρ R R + ρ R R⎤⎦
{
0.046,0.041,0.053}
=
上記の２つの結果を比較すると、SRSS法の場合がCQC法に比べて1番目の自由度成分に対して は過小評価されて、2 番目の自由度成分に対しては過大評価されました。したがって、固有振動数が 相対的に接近した値の場合は、SRSS法が過小または過大評価された結果を算出していることがわかり ます。
図5.1.1 応答スペクトル曲線及び任意周期に対する応答スペクトル値の参照方法 固有値解析によって算出された固有周期
周期[sec]
SpectralData
( )
7 6
6 6
7 6
x x
S S
S T T S
T T
= − × − +
−