帯域ブロックをベースとする最適帯域分割法

 2次元入力信号

x

(

m

,

n

)にサブバンド符号化を適用するときの最適帯域分割法として，入 力信号の電力スペクトル

P

_x(

ω

_h,

ω

_v)が与えられたとき，(1)2次元帯域分割フィルタバンクは，

任意の分割パターンを理想遮断特性で実現できる，(2)信号全体に割り当てられるビット レートが一定である，(3)受信側での再構成信号に含まれる量子化雑音電力を最小にする，

という条件のもとで，2次元周波数帯域

Ω=

｛(

ω

_h,

ω

_v)

|

 

0≤ω

_h,

ω

_v

≤π

｝ を，

Ω = Ω

_k

k=0 M−1

∑ ( ^Ω

ⁱ

^{∩ Ω}

^j

^{= ∅ (i ≠ j)} )

^(4.1)

なる互いに素な

M

個の帯域

Ω

_k （

k=0

,1,

⋅⋅⋅

,

M

-1） に分割する方法を第3章において詳述した．

本最適帯域分割は，入力信号を直接スカラ量子化した場合（PCM符号化）に生じる量子 化雑音電力

N

_PCMと帯域分割処理後にスカラ量子化した場合に生じる全量子化雑音電力

N

の比として，次式で定義される量子化雑音改善量

G

を最大にする分割と等価である^注2．

G = N

_PCM

N =

σ

_k²

k=0 M−1

∑

σ

k 2

λ

k



  

 

^λk

k=0 M−1

∏

(4.2)

ただし，

λ

_k，

σ

_k² は，それぞれ次式で表される帯域

Ω

_k における分割フィルタの出力レート と帯域

Ω

_k の出力電力である．

λ

_k

= 1

π

²

dω

_h

dω

_v

Ω_k

∫∫

σ

k

2

= 1

π

²

∫∫

Ω_k

P

_x

(ω

h

,ω

v

)dω

h

dω

v



 

 

(4.3)

 今，直流成分を除いた大部分の自然画像信号に良く整合する自己相関関数として，信 号電力を 1.0 に正規化した入力信号系列の隣接標本値間の相関係数値が

ρ

である

r(m,n) = ρ

^m2+n2 (4.4)

なる水平・垂直相関非分離型画像モデルを導入すれば，その電力スペクトルは，3.6.2節 で述べたように，最大値

P

_x(0,0)を 1.0 に正規化した場合に，次式で与えられる．

注2：前章の式(3.13)の

R

_dを最小とする

Ω

_kは，量子化雑音改善量

G

を最大にする

Ω

_kと同一   になることが容易に導かれる．

P

_x

(ω

h

,ω

v

) = γ

³

γ

²

+ω

_h²

+ ω

_v²

[ ]

^{3/ 2}

^{(−π ≤ ω}

^h

^,ω

^v

^{≤ π )}

^(4.5)

ただし，上式において

γ = ln(1/ ρ)

(4.6)

である．この水平・垂直相関非分離型画像モデルにおいて，画像の統計的性質に基づい て選定された

ρ=0.9 なる値を用いて，帯域分割数 M=4 とした場合に，その最適帯域分割

を前章に示された理論式に基づいて求めれば，2次元周波数帯域

Ω

の最適帯域分割パター ンは図4.1のようになり，このような帯域分割特性を直接実現するフィルタバンクの構成 は極めて困難であることが分かる．そこで，フィルタの実現可能条件を考慮して，帯域 分割パターンに制限を加えたときの最適帯域分割を考える．

図 4.1 最適帯域分割パターン（水平・垂直相関非分離型画像モデル，

ρ=0.9，M=4）

 ここで，図4.2に示すように，2次元周波数帯域

Ω

を水平及び垂直方向に均等に

N

分割 して，N²個の帯域ブロック

∆Ω

i , j

= ( ω

h

, ω

v

) | iπ

N ≤ω

h

≤ (i + 1)π N , jπ

N ≤ ω

v

≤ ( j + 1)π N

 

   

(i, j) ∈ I I ( = {(i, j) | i, j = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅ , N − 1} )

(4.7)

に分割することを考える．この帯域ブロックの集合｛

∆Ω

_i

,

_j

|

(

i

,

j

)

∈I

｝のある直和分割により，

次式に示すように

Ω

を

M

個の帯域

Ω

_k （

k=0

,1,

⋅⋅⋅

,

M

-1） に分割する．ただし，

M

は，1

≤M≤N

² を満たす整数である．

π /2 π 0

π

π/2

Ω 0 Ω 1 Ω 2 Ω 3

ω

h

ω

v

Ω = Ω

_k

k=0 M−1

∑ ^{, Ω}

^k

^{= ∆Ω} {

^{i, j}

^{| (i, j) ∈ J}

^{k( M)}

}

^(4.8)

ここで，

J

_k^(M)は

Ω

_kに含まれる帯域ブロックの番号(

i

,

j

)の集合を表し，それは2次元周波数 帯域

Ω

における分割の仕方を定める．このため，

J

^(M)

=

｛

J

₀^(M),

J

₁^(M),

…

,

J

_M-1^(M)｝を，帯域ブロッ クによる

Ω

の（

M

）分割と呼ぶ．相異なるこのような分割

J

^(M)の総数は，第2種Stirling数 と呼ばれ，

1

M! (−1)

^M−k

k=1

∑

M ^M

^C

^k

^{⋅ k}

^N2となる[62]．また，帯域分割は，直和分割を仮定し，

J

_k^{( M)}

∩ J

_l^{( M)}

= ∅ (k ≠ l) J

_k^{( M)}

= I (J

_k^{( M )}

≠ ∅)

k=0 M−1

∑



 

 

(4.9)

とする．以上のように，帯域分割を帯域ブロックによる

Ω

の分割に制限したときに，量 子化雑音改善量を最大とするような分割，J_opt^(M)，を帯域ブロックをベースとする最適帯 域分割と呼び，次節以降その分割法を検討する．

図 4.2 2 次元周波数帯域の分割；最適帯域分割と帯域ブロックによる近似

π /2 π

0 π

π/2 Ω k π /N

π /N Ω

∆Ω i,j

obtained boundary line due to optimum frequency band partition（ ρ=0.9, M=4）

k-th frequency band due to a certain block partition based on band blocks （ N= 4）

ω

v

ω

h

ドキュメント内 Japan Advanced Institute of Science and Technology (ページ 72-75)