官、-、

0 0 0 - P(k /k)3.4

( 件平)川P引附(欣kυ附州州川/欣刈仇仙kめ伶恥)J，2m+リ吻川2初加川m附+

-

( 牛明)

P (k /k)J，2m+3 -

( 午)2

P (k /k)2.2m+4 -P (k /k)3，2m+4

m = 1，2，・・・，Nである。

(2.5.77)

μ(t)は、 式(2.5.43)で計算される。 しかし、 本項では河村ら(1989)μ)の、 模擬計算 結果より計算精度は一次フィルターで十分と思われるので、 μ(t) は零とする。

式(2.5.2.5)を，1 t で離散化すると次式のようになる。

f(x (t)) = [X(t+ L1t)-X(t)] / L1t = A (x (t))x(t) +f(x. (の) - A (x. (t)) x (の (2.5.78)

x(t + L1t) - X(t) = A (x (t))X(t) L1t + f( x(の) L1t

-

^A (x (t) ) x (t) L1t (2.5.79)

x (t + L1t ) = { 1+ _A (x. (t))L1t }x (t ) + f( X (の) L1t

-

^{A (x (の)}x (t) L1t ^(2.5.80) 式(2.5.2.16)において{f(i(t))，1t - A G(t)) �(t)，1t )は l 時点において既知量で あ る。 そ こでそれを定数行列 IP (x (の) とおく。 すると遷移行列は{_{l! + A} (�(t))，1_t }となる。

これより一次フィルターの状態方程式は次式のようになる。

x (t + L1t) = { 1+ A (支(t)) L1t }x(t)+ P(定(t)) L1t -δ(t)L1t

1 + A G(t))，1 tとf(;(t) ) ，1tとA(;;(t) ) ;;(t) ，1tをマトリクス表示すれば、

(2.5.81)

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

。

。

。 0 0 0 0

QIL1t

1-R

IL1t

φ'LV

A必 0000〈R〈仏噌EEaa

-。

。 0 1-

}i1t

。

1 -R

NL1t QNL1t -QNL1t

^1-R

NL1t

。

。

。 i

+A(定(t))L1t

⁼

1 0 0

0 1 0

o 0 1

0 0 -βL1t

(子)BIL1t -(担)2M-5 1Af 伴戸l L1t 伴)jS1AI - FIAt (千戸山 -(叫2M - AAf

伴)い(午)2M -S NAf

(2.5.82) (2.5.83)

。

。

〈乱〈払

〈口町〈D山

必〈ハM〈p川〈Q〈ROハ?+汁・・・・・

・ Ar Ar

〈M〈

A向〈A・

〈A同〈A附-〈n坑〈

Q

RQ〈〈

f(針。) L1t

〈U(ん〈7〈M〈Al〈BI---〈AN〈BN

。

O

Q

^N

l-RN

。

。

1 -RN

-Q

0 0 0 O

Q

^l

1- RJ

o 0

o 0

o 0

1-

}

⁰

o 1-RJ

-Q]

。

。

。 A( x

(t) ^)x (t)L1t

o 0

- ^M

(子戸1 伴)2J1 - Zl 伴戸1 ー(子)28 1 -5 1 (午) ん - ( 午 ) 2ん九 伴)ん 伴 ^)2ん式

(2.5.84)

時点における状 は k

およびBN AN 、

BI、

A

1

^、

M^、 7、

の最適値となる。

""

ここにu Dx、

となる。

態推定

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

2)観測方程式

任意のXj(i=l，L)地点における観測方程式は、 次式となるo C'in/L.7ry .1 r'AC'1L.7ry•I h (x(t) ) =

I

^{0 0 0 1}

Sln _\ -i"x1j cos � -j"xlj

o 0 0 1

S叶�X2) cos (苧2)

o 0 0 1

o 0 0 1

sin (子叫cos(子叫

sin (午X _l ) C叶平川11

_u(t)

sin (2�N X2)吋午勺I

^{D x(t)}

γ(t) M(。

Al (の

B1 (の

AN(。

sin (午:XL) COS (平x���

^(t)

(2.5.85) ここに、 添字Tは転置行列を表し、 V(Xj ，t)は観測雑音である。 観測方 程式 は線 形なのでフィルタリングの観 測更新の計算に UD 分解フィルターを 用 いる。

観測更新の計算に必要なデータの個 数は、 状態方程式 のパラメタの数と同じで ある。

3 )適用例及び考察

九州大学農学部レーダ で観測した1 982年7月11日の9時から9時55分までのデ ータの中央部分の東西方向のデータ100 個をとりだし、 移動している降雨域の断 面を追跡させる。 (このデータの等雨量級図について は図2.13参照)フーリエ級

数展開の波数mは 5、 7、8、10、20を試みる。 状態変数の初期値は u = 0.5(kmjmin)， D = ü.5(km2/min)， y = O.Ol(1/min)， 基本波長l = 100(km)とし、 Am、 Bm の初期値は 、 最初のステ

ツ プの観測値のフーリエ分解で求める。 ま た α= 1とし誤差共分散行列の対角要 系は0.0001、 それ以外は 0.0000001、 観測及びシステム雑音共分散行列の対角要素は それぞれ9.0、4.0及び非対角要素は O とする。

ここで、 以下のような最小自乗基準を導入して、 その 予 測精度を客観的に示す

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

指標としたo

J号刷、Jk=�エ(ご，(k+ l/k川オ

(2. 5. 85)

ここに、ê/k+1ル)はt=k-1迄の観測値が得られた場合の l=kでの濃度 の 予 測値 、N，

は観測地点数(本項の場合2m+4であるので m =5 、7、 8、10、20に対してそれぞれ

N ^I = 14、1 8、20、24、44となる) 、 およびびN2は評価時点数(本項の 場合 、l =30�

50の21時点とした)である。

図2.1 6から図2.18に 、そ の結果を示す。

図2.17を比較すれば予測値はレーダによる観測値をか なり精度よく予測してい ることがわかる。 表2.1に示すように、 特に m=10の時、 最小の J をとっている。

これは、これより短い波長の項を加えても雨域の移動を予測する際の定量的な効 果がない ことを示している。

波数m J (mg/mJ)

5 6. 6119

7 6.0576

8 5.8612

10 5.7483

20 5.7783

表2.1波数に対する予測精度の比較

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

(km/hour)

60

40

一一_

^{m= 5}

一品�

^{m= 7}

m= 8 ιm=10 m=20

は いリJ一川崎単位斗盟主Ia�梢恥吋骨一向 ^吟) 20

0

o 20 40 Time(min)

(km知our)

し…一 一一 一一一一… J

D 20 m= 5

m= 7 m= 8 m=10 m=20

(11min)

20 40 Time(min)

\帯 、 、 合、

ハ 〆 \ 氏寸

ハU 噌，EA ハU

ごごに�'\

_m二8

-'-. m=10 m=20

、ー­

'>0

4

20

州2.16 u，D，γの同

定

過程

40 Time(min)

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

弓立、/ 仰 山町

muu

. . . .

・ .・ .

400

Cr

200

。

100

x(km)

-200

�

(mg/m3)

600

。 400

Cr

200

-200

0 50

予測結果(件8)

100

x(km)

判2.17観測値とフィルタリング結果

3 )結論

本項における一次元移流拡散方程式を波数空間に展開する方法で、 無降雨のデ ータが多く含まれる場合に有効であることがわかった。 またこの手 法は基本波長

と波数を適切にとることにより 、 空間差分を 用 いて直接フ ィルターにかけて計算 する方法より、 状態変数の数だけしか観測データ数が必要でないため全ての点を 差分的に計算する方法 に比べ計算量が大幅に減少する。 また初期値を確定しなく

てもよいこと 、 境界条件を考慮しなくてよいことが有利な点でもあ る。

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

ハUハUハU4EEA

t=32 t=52

t=2

(mg/m3)

100 「一一

10

観測値パワースペクトル 波長λ(凶)

¹⁰⁰

ハU噌EEA

10

同定されたパワースペクトル(m=8)

100

波長λ(krn)

刻2.18観測値及び同定されたパワースペクトル

降水レーダを用いた水文現象の予測手、法に関する研究

第2. 5 . 5項、 2次元への拡張理論と問題点

1 )状態方程式

次のような二次元の定係数移流拡散確率微分方程式を考える。

aC，

(xふf�+ u�C， (xぶt�+ν aC， (xふf)-D x a2C， (x，y，t)+(Dxy+D)a2C， ^{(x，y，t)+D} a2C， ^(xふt)

ax ay x ax2 yx ax ay yy ay2

ーγC， (x，y，t) +αε(x，y，t)

^(2.5.87)

ここに 、 C，(x，y，t) は雨滴濃度、 U，ν は流速、 Dxx， Dyy， Dxyは拡散係数、 y は一次 反応係数、 α はシステム雑音強度、 および ε(x，y，t)は一定のスペクトル強度を持 つ平均値ゼロの正規性白色雑音である。

C，(x，y，t)、 ε(x，y，t) をフーリエ級数に展開する。

C，

(xふt )

= L L

[Cm山)sin(f (xふm，n))+Dmn(t )cos(f (xふm，n))J

_(2.5.88)

ε(xふt )=エ エ[Amn(t )sin(f (xふm，n)) +B mn(t )cos(f (xふm，n))J

(2.5.89)

m=l n=l

今π 'm x ^2πny t (xふ m，n)=L J 四A_ +

一一一

lx ly

ここに、 t、 らはそれぞれx方向及びy方向の基本波長。

式(2.5.88)、 (2.5.89)を式(2.5.87)に代入し 、 波数 m， n に対す るフーリエ級数に 関 す

る連立常微分方程式が、 前項と同様次式のように得られる。

κmn(川 _dt F山D 衿 G(u，v) I I ^川

1₌ I 1 1 1

dDmn(t) I I -G(仏ν) -F(Dxx，Dxλ'y' ÎうI I αB mn(t) k

^2.5.90)

dt

^{_j L J L J}

F

(Dxx，D山 川千九 噌判明 ^Dyy+"f

G (u，ν)=2rc;n並」盟 主

lx ly

(2.5.91)

生=0. dt

^-v，

4 dt 主=0笠 =0

^-v，

dt

^=v，

但主主= 0 dt

^{= v，}

空 dt 笠 =0

^{= v，}

竺 dt yy

⁼

0

よって状態方程式は次のようになる。

(2.5.92)

降水レーダを用い た水文現象の予測手法に関する研究

。

+ μ

γ

Dxy

Dyy Cmn(の Dxy

ν

。

。

。

。

。

。 。

。

(2.5.93) α'Amn(t)

α'Bmn(t)

DmnC。

-F G -G -F

。

。

ハU ハU

ω 一 2 247今 川 町7ω 一 dM 一d Jω - J仏 一

テイラー展開し 、 に対して非来泉形であるので、

Dx y、 D yy、 y ν、 Dxx、

式(2.5.93)はu、

その状態方程式は式(2.5.31)、

次の項までとる一次フィルタ一理論を用いる。

ノてイアス コレクシ ョ (2.5.32)に対してその状態量を状態量の推定値w(t)に置き換え、

式(2.5.43)で 計算されるが一次フイ μ(t)は 、

ンμ(t)を加えたものとなる。 実際には ルターなので零となる。

ヤ コピアン行列の計算

一次元の場合と同様に(2.5.73)式 と同様計算し次のようになる。

。

。

。

。

。

。

。 A (^χ)⁼ 。

。

。

。

。

。

。

。 。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。 。

。

。

。 。

。

。 。

。

。

。

。

。

。

。

2mDmn Z忽D mn -Cmn mn \ ん ， - ( ^知 } ^{2 c}

^�

mn ^{- b 2m!l.C mn -} ( 塩2Cmn-Fm G

lxly ^�

m n �

_ly

I

。

。

。

。

。

。

。

2nl 江Cmn2苧Cm n - Dmn-ρ，!m)2D rn円ー包包旦DYYI.， _ {2:rn \2Drnl1 -Gmn -Fmn

lx

川川

Ly \ lx ， … lxly ^{川 凡} \ ly

J

^山川

(2.5.94)

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

3 )観測方程ず

任意の 仇，YJ地点における観測方程式は、 次式となる。

Cr(xi，yi，t)=[O，O，O，O，O，O，

sin(f(Xi'Yi'O，O) )，cos(f(Xi'Yi'O，O)); .・，sinぴ(Xi'Yi'0 ，n) )，cos(f(Xi'Yi' 0 ，n))，

sinぴ(xi'Yi，l ，0) )，cosぴ(xi'Yi，l ，0)); .・，sinび(xi'Yi，l刀))，cosぴ(Xi'Yi'¹ ，n))，

sinぴ(xi'Yi，m，O))，cosぴ(xi，yi，m，O)); .・，sinぴ(xi'Yi，m， n))，cosぴ(Xi'Yi，m，n)) ] [u， v，g ，Dxx，Dxy，Dyy，

C∞' CIO，

CmO'

+ V( Xj ，yj， t)

Doo， D1 0，

Dm^O'

COn' C1n，

Cmn，

DO

n

_'

D1n，

Dmn

f

(2.5.95) ここに 、 添字 T は転置行列を表し、 V(Xj ，yμt)は観測雑音である。 観測方程式は 線形なのでフィルタリングの観測更新の計算に UD 分解フィルターを 用 いる。

観測更新の計算に必要なデータの個数は、 状態方程式のパラメタの数と同じであ る。 即ち、 2MXN+6個のデータを観測データからサン プリングすることになる。

4) 2次元計算の問題点

a)状態変数の増大によるパラメタ同定の遅れとH寺間分解能の不足

二次元になればもっとパラメタの数は増加するから、 真値に近付くのに相当 のステ ッ プ数が必要となる。 従ってこれに対応するには時間分解能を上げてや ればよいが、 そうするともっと細かい|時間分解能のデータを必要とするように なる。 実際にはレー ダ は数~数十回転分を平均化処理して記録しているから、

それを生値のまま入力すればよい。 もともとフィルターは電波の反射強度のよ つな確率過程を想定しているからそう問題はないと思われる。 しかし、 時間分 解能を増やすことにより、 以前と同じ 予 測時間を確保するには、 時間間隔を細

かくした分だけ余計なステ ッ プ数が増えることが問題である。 入力し たデータ

降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究

が安定しているならよいが、 そうでない場合フ ィルターと言えども 、 ステ ッ プ

が増加し た場合 の予測は困難が伴うだろう。

b)データの空間分解能の不足

FFTによるスペクトル解析では 、 波長はlOkm以上で良いとの結論であったし 、

次元の 予 測でも波長 はlOkm以上でよかった。 しかし種々の観測結果を見ると、

集中豪雨等の降雨域を規定している降雨セルの大きさは数km程度である。 従っ てこれらのスケールの挙動をきちんと捉えるには 、 lkm メ ッシュ の九大農学部

レーダ でも空間分解能が不足であるという可能性も依然存在す る。 降水レーダ

には分解能250m程度のも のもある。 もし分解能が2倍 になればデータ個数は約

4倍になり、 フィルターの項数が8倍に増え、 前述のパラメータ同定の遅れが

ますますひどくなる可能性 の方が高くなる。

第2. 6節 結語

本章では 、 降水レ ーダ のデータを用いて 、 降雨予測を試みた。 まず、 画像処理

の手法を使用 して 、 雨域の追跡を行ない 、 ある程度単純な 雨域ならば容易に可能

でることを示し た。 このシステムを発展させて 、 対話型のシステムやフ ァジ一理

論やニューラルネ ットワークを応用し たエキスパートシステムを完成させる可能

性は十分にあると思われる。 次に波数空間フ ィルタリングを 用 い た方法 は 、 1次

Jじデータがパラメタ同定の限界であり .次元あるいは三次元のデータに対して

同定予測を行うには困難であると言わざるを得ない。 この対策としては 、 真に必

要な情報(この場合は波長)だけを抽出して使用する手法により、 観測データを 全て利用しながらパラメタを減らす工夫が必要であろう。 ま た降水レ ー ダ により

観測されたデータの 性質は 、 孤立波的な形状の ため 、 時間分解能が低くなる傾向

ドキュメント内 降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研 究 (ページ 56-67)