降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究
A収(t)片(t) eT(t) +δ(t )eT(t)
+ �IエØitr{lFï(五(t )){ e (t ) e T (t ) - P (t )日leT(t)
=E I ーL i=
1 _j+ e (t ) A T (五(t))eT(t) + e (t) δι(t)
+ e(t). t [ 吉 川i川(t)e T(t ) - P (t) )]1
(2.5.51)
。 る 〉え ニ=ロ カ 式 次 シ」 る す 定 o JL ニ一 シ」 1j
φ'&
、っ UK 従 1lp」
布 ο 分 P 規 け 正
UK
降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究
ゲν ，G
T e'b
τ xu t nAυ
a
，i』』1心
+
(2.5.56)
両辺の期待値を取る。
4中e
(οt)δfハT、T(tοt) ]= E[
(ο山-L1必t)δfハT、、(οt
+ 1 {市 斡骨毛ψ2 ゆ ie内山e♂代内内Tη市附叫(付例τ幻)
+ 1> 帥 川t)山]dτ
(2.5.57)
ヂレJω 干しv
A e'b ゲbw nv~
t
a
fIB--が 一一 φ'b eo T
p|副ML e
= タ(t)
(2.5.58)同様にして
E[δT(川
(2.5.59)(2.5.58)，(2.5.59)式を(2.5.53)式へ代入する。
P (t)=
A(.支(t ) )
P(t )+
P(t )
AT (五(t)) +
Q(t )
(2.5.60)(2.5.60)式は次の境界条件に従う。
P(九)
=
P(附)=E[ek2E
(2.5.61) 以上をまとめると 、 -;(t)、 /P (t)の時間更新の値を得るにははまず(2.5.2.l8)式よ り μ(t)を計算し 、 次に(2.5.2.7)， (2.5.2.30)式の微分方程式を解きそれぞれ計算する ことである。
降水レー ダを用 いた水文現象の予測手法に関する研究
( 4 )観測更新 アルゴリズム
カルマン フィルターのアルゴリズムを繰り返し実行すると、 理論的にはあり得
ないが誤差共分散行列 Pの対称性 ・ 非負定値性がくずれることがある。 この場 合カルマンゲインの値は信頼できないものとなり、 状態推定値 x が発散するこ
とになる。 この原因は、 式の右辺が2つの非負定値対称行列の差となってい る た めに、 ディジタル計算機の演算で桁落ちと呼ばれる状態に なり、 fP(KjK)の精度 が 悪くなることにある。 このようなフィルターの数 値的不安定性を防ぐために経験 的に次のような手 法 が取られてきた。
1 )初期値 fP (0川) を極端に大きくしない
2) R を余り小さくしない
3 )スケーリングにより各変数のダイナミ ッ クレ ンジを小さくする
4 )倍精度演算を行う
5) (2.5.26)式の後、 fP(KjK)、 fP(K+ ljK)を強制的に対称化する
これに対してアルゴリズム上から 、 記の差の演算を避け 、 桁落ち を防ぐ方法 が開発されており 、 本節ではそのうち観測更新の部分に UD 分解フ ィルター の アルゴリズムを採用した。 以下にその概要をレビューする。
n Xnの非負定値対称、行列 Pに対し て、 以下のように分解することを UD 分解
という
P=U.D.UT
ここ に U は対角要素が全て l から なる n Xnの上三角行列、 および D はn Xn の対角行列 である。
.0 = diag(dl" . .，dn)， U = (U(i，j))とおくと、 p= (?(i，ρ)の UD分解アルゴリズムは次
のようになる。
FOR kニn DownTo 2 以コ BEGIN d/r.=P(k，k)
U(k，k)=l
FOR j: = 1 To k-1以) BEGIN U(j，k) = P(j，k) / d/r.
FOR i:=l To J以コ
P(i，j) = P(i，j) - U(i，k)*U(j，k)* dk END;
END;
U(1，l)=l d1=P(l，1)
降水レーダを用いた水文現象の予測手法に関する研究
誤差共分散行列IP(K/K)のUD分解 U = diag(Ul，. ..，Un)、D = diag(dl，・・，み)とZfk+l/kjが与えら
れているときIP(K+l/K)のUD分解U = diag(Ûl，. . .，Ûn)、β=diag(2l， v
J
n)及びカルマンゲイン Kは、 観測変数がスカラーの場合は次のようになる。
α1=R+h1g1 K1 = (g1，0，.. .，O)T d1 = d 1 .R /αl
Ûl = (l，0，. . .，0 )T
FOR j :=2 TO n以) BEGIN α; =α;-1 + hjgj
d;= dJ -...j '"^'j ;.α -， /α 1' '"^'j
λj=
万
/αj-1 五=j-tJ<>j14;-λ'''}''"''"jK・1_! Kj = Kj -1 + g jM j END;ここに、 M は観測行列、 及 び R は観測雑音の分散(対角要素)である。
またα とλは、 計算のワークエリヤで、 α= (α1，. . "αn) 、 λ= (λ1，・・・，λn) 、
h=五T.
5
T、 g、=耳石TU
T である。観測量が L 次元ベクトルである場 合には 、 上記のアルゴリズムを、 成分毎に L回繰り返して、 カ ル マ ン ゲ イ ン K (nXL行列)を求め 、 次の式に代入してZ
(k+ l/k+ 1)を計算す る。
定(k+附+l)=x(k+l/k ) + K(k +
1)[
Z (k +l)-Hぷk+l/k )]
降水レーダを用いた 水文現象の予測手法に関する研究
FFTによる降雨データの解析
3 3項 第2 .
降 雨 予 測を行う場合だけでなく、 流域面積 降雨の空間スケール を知ることは、
流域を分布型モデルにすべきかどうかの判断 との関係や移動速度との 関係から 、
地上に校正用 の雨量計群を設置する 場 に大きく貢献するものと思われる。 また 、
末包 ・ 木下 雨量計の間隔決定の目的では 、
合の間隔の決定にも有効であろう。
シュ程度の空間分解能 のデータ を 用 これは3kmメ ツ
矢野(1980)幻)の 研 究があるが、
を ダのデータ 空間分解能1 kmの九州大学農学部レ ー
本項で は、
いたものである。
降雨の空間スケー ル を求めること によ
(波長) 有効な波数
フーリエ変換し、
を抽出することを試みる。
1 ) 計算式
次に示す離散的フーリエ変換及び逆変換を用いる。