第 5 章
5.4 変数の制御性
となるように設定することによって可能となる．ここで，確率変数B=bβとする．b の確 率分布をPとすると Bの期待値は，
∫
∫
−∞∞∞
∞
− =
= b dP b b p b db
B β ( ) β ( ) (5.13)
で与えられる．ただし，p(⋅)は b の確率密度関数とする．p(b)は，さまざまな分布が考 えられるが，ここでは簡単のため [bmin,bmax]の一様分布を仮定する．確率の規格化 により，
1 ) )(
( )
( )
( max max min
min
=
−
=
=
∫
∫
p bdb p b bb db p b b b (5.14)よって，
min max
) 1
(b b b
p = − (5.15)
となる．このとき(5.13)式は，
∫
∫
== max
min max
min
) ( )
( b
b b
b b p bdb p b b db
B β β
= 1 max 1
min min
max
−
∫
bb b db= bb
β (5.16)
よって，
min max
max min
b b db b
b
b = −
∫
β (5.17)となる．図5.7は，bの範囲を決める際の方法を示したものである．(5.17)式から，①の 範囲と②の範囲の面積は等しい．つまり，求めたい分布の傾きであるべき指数βとb の上限bmaxを決めればbminが求まり，bの範囲も決まるのである．例えば, β =2.0，
bmax=1.6 と設定したとき，(5.17)式の計算により，bmin=0.24 と求まる．よってbの平均
average
b は 0.92 となる．ここで，bmaxを小さく設定すると，bの範囲は狭まり，baverageは大 きくなる．逆に，bmaxを大きく設定すると，bの範囲は広くなり，baverageは小さくなる．こ のような関係に着目し，以後bについて述べるときにはbaverageの値を用いる．
図5.7 bの範囲を決める方法
5.4.2 ノイズ操作による左右への分布シフト
bmax bmin
① 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 0.5 1 1.5 2
bβ
b
②
=1 bβ
∫
=−
max min
1 1
min max
b
b b db
b b
β
さらに，乗算ノイズbもしくは加算ノイズfの平均や範囲を変更することによって，分 布を左右にシフトできることを発見した．図5.8は，β=2.5，baverage=0.99， frange=1と設
定して， faverageの値を変化させたときのランクサイズプロットである．横軸はサイズ，
縦 軸 は 順 位 を 表 し て い る ． そ れ ぞ れ ， faverage=4000 は ○ ， faverage=20000 は×，
average
f =40000 は□に対応している．この図から， faverageを大きくすると分布は右へ，
小さくすると左へ平行移動することが見てとれる．
100 101 102 103
104 105 106 107 108
N(x)
x
4000 20000 40000
図 5.8 加算ノイズ faverageの大きさと分布シフトの関係 faverageはそれぞれ（○）=4000，
（×）=20000，（□）=40000を表す．
同様に，baverageを大きくすると分布が右に平行移動し，小さくすると左に移動する．
ノイズ操作によって分布が左右にシフトするという特徴は，実データとのフィッティング において明確な方針を与えてくれる．例えば，適当な変数設定で得られた分布が，
実データにより作成した分布よりも左側にあったとする．この場合，bもしくは f を大き くすることによって，分布が右に平行移動し，実データの分布に近づくのである．
ノイズと分布シフトの関係を表5.1にまとめた．baverageを固定して，分布を左にシフト させたい場合， faverageを大きくすればよい．逆に分布を右にシフトさせたい場合，
average
f を小さくすればよい. b と f の立場を入れ替えて， faverageを固定して，分布を左 にシフトさせたい場合，baverageを大きくすればよい．逆に分布を右にシフトさせたい場
合，baverageを小さくすればよい．このように，bと f の大小関係には，トレードオフがあ
る．このことについては，5.5.3節で詳しく述べる．ここで， frangeは分布に影響を与えな いことを確認している．つまり，加算ノイズのばらつきは，大きくても小さくても関係な いということである．
表5.1 ノイズと分布シフトの関係
Distribution Noise
Shift to left Shift to right Average Decrease Increase
b Range Wide Narrow
Average Decrease Increase
f Range No Influence
5.4.3 サイト数変更による分布幅の拡大縮小
サイト数を変更することによって，分布幅を変更することができる．図5.9はサイト数 を変化させたときのランクサイズプロットである．横軸はサイズ，縦軸は順位を表して いる．それぞれ，N=100は○，N =1000は×，N =10000は□に対応している．この図 から，サイト数を増やすと，分布の形はそのままに，分布幅を拡大できることが分かる．
これは，サイト数が異なる対象（例えば都道府県なら47，市町村なら1600以上）に対 して，同じようにモデルを適用できることを表している．
100 101 102 103 104
105 106 107 108 109
N(x)
x
100 1000 10000
図 5.9 サイト数と分布幅の関係 N はそれぞれ（○）=100，（×）=1000，（□）=10000
を表す．