講義では、剰余項のラグランジュ表示の他にコーシー表示というものも紹介されたかもしれませ ん。それは、
Rn+1(x) =f(n+1)(c)
n! (x−c)n(x−a) (a <∃c < xorx <∃c < a)
という表示です。また、講義でラグランジュ表示やコーシー表示を証明したとき、その途中で1以 上 n+ 1以下の任意の自然数 mについて
Rn+1(x) = f(n+1)(c)
n! (x−c)n−m+1(x−a)m m
という表示が得られています。（もちろん「この式の成り立つ cが aと xの間に存在する」とい う意味です。）これのm= 1の場合としてコーシー表示が、m=n+ 1の場合としてラグランジュ 表示が得られたわけです。
以上はいわば「平均値の定理の一般化」として得られましたが、テイラー近似多項式は「微積分 の基本定理の繰り返し」でも得られます。
f(x) =f(a) +
∫ x a
f′(t)dt
=f(a) +
∫ x a
( f′(a) +
∫ t a
f′′(u)du )
dt
=f(a) +f′(a)(x−a) +
∫ x a
(∫ t a
f′′(u)du )
dt
=f(a) +f′(a)(x−a) +
∫ x a
(∫ t a
(
f′′(a) +
∫ u a
f′′′(v)dv )
du )
dt
=f(a) +f′(a)(x−a) +
∫ x a
(
f′′(a)(t−a) +
∫ t a
(∫ u a
f′′′(v)dv )
du )
dt
=f(a) +f′(a)(x−a) +f′′(a)
2 (x−a)2+
∫ x a
(∫ t a
(∫ u a
f′′′(v)dv )
du )
dt
=· · ·
ということです。これをn+ 1回繰り返すと、n次のテイラー近似多項式とf(n+1)をn+ 1回積 分した項の和になります。ということは、積分がn+ 1 重にかかっている項が剰余項Rn+1(x)で す。それに部分積分をn回施すと積分表示
Rn+1(x) =
∫ x a
f(n+1)(t)
n! (x−t)ndt にたどり着けます。
剰余項を表示することは大変重要なことなので、このようにいろいろな表示が得られているの です。しかし、今回の演習ではラグランジュ表示だけしか使わないことにします。というのは、そ もそも「剰余項を表示する」ということの意味が初めて学ぶときにはなかなかつかみにくいので、
「どの表示を使うか」という悩みをなくして、「表示の使い方」だけに集中して欲しいからです。ラ グランジュ表示はテイラー近似多項式の係数によく似ていてコーシー表示よりも見た目がすっきり しており、初めて使ってみるにはコーシー表示よりラグランジュ表示の方が混乱が少ないと思うの で、ラグランジュ表示に限ることにしました。
7 剰余項の表示の応用
「関数の値」という視点から見た場合、多項式の特徴は
変数の値を具体的に与えると関数の値をキッチリ計算できる
というところにあります。一方、剰余項は「関数と多項式の差」です。ということは、剰余項の値 の評価が得られれば、テイラー近似多項式で計算したキッチリした値を使って元の関数の値をある 程度の精度で計算できるようになるわけです。これが剰余項の表示を得たことの「第一の御利益」
です。
以下、いくつか具体例を見て行きます。
7.1 e の近似 : 問題 5
ex のx= 0におけるテイラー近似とラグランジュの剰余項を用いて、eの値を小数点以下第3 位まで決定してみましょう。（ただし 1≤e≤3 は分かっているものとします。）何次まで近似す べきであるかという試行錯誤の部分はとばして、いきなり答を書きます。
解答
x= 0 でのex の6次のテイラー近似は、剰余項にラグランジュ表示を使うと ex= 1 +x+x2
2 +x3
3! +· · ·+x6 6! +ecx7
7! 0<∃c < xor x <∃c <0
となります。これに x= 1を入れて eの値を近似してみます。1≤e≤3 はわかっているのです から、0< c <1 から剰余項Rn+1(1)は
1
7! = e0·17
7! < Rn+1(1)<e1·17 7! ≤ 3
7!
と評価できます。つまり、
1 + 1 +1 2 + 1
3!+· · ·+ 1 6!+ 1
7!< e <1 + 1 +1 2 + 1
3!+· · ·+ 1 6!+ 3
7!
が成り立ちます。左辺と右辺を具体的に計算すると、この不等式は 2.718253· · · ·< e <2.718652· · · となります。これでe= 2.718· · · であることが示せました。 □
O logy
O x y
x n= 0
n= 1 3 2
ex
1 1
ex
76 5 4 3 2 1 n= 0 1
loge= 1
図3: exのテイラー近似。
計算してみる前から「6次近似＋7次の剰余」で小数点以下第3位が決定できることが分かると いうことはありえません。1/6! = 0.0013· · · なので、上の解答の方針では7次以上の剰余でなけ ればならないということは分かります。そこで、試しに6次近似＋7次の剰余で計算してみたら決 定できた、ということです。
ちなみに、
e= lim
n→∞
( 1 + 1
n )n
でもあるので、各nに対する(1 + 1/n)n の値を計算してみましょう。すると、
n= 1 2 8 2.5657845139· · ·
2 2.25 9 2.5811747917· · ·
3 2.3703703703· · · 10 2.5937424601 4 2.44140625 20 2.6532977051· · · 5 2.48832 30 2.6743187758· · · 6 2.5216263717· · · 50 2.6915880290· · · 7 2.5464996970· · · 100 2.7048138294· · ·
で、小数点以下第3位まで決定することなど電卓での計算ではとてもできません。テイラー近似多 項式の方がずっと近似の精度がよいのです。