制御系設計

5.4.1 IDA-PBC 制御系の定式化と安定性保証条件

IDA-PBCにより閉ループPHシステムに与える所望の慣性行列をM_Ld，ポテンシャルエネルギーをV_Ld

および全エネルギーをH_Ldとする．目標一般化座標ベクトルをq_Lref  q_1ref q_3ref ^T とし，H_Ld が



^{q pL, L}



^



^qLref,0



近傍で正定関数となるための条件は式 (2.15)，(2.17) および (2.18) に基づき次式と なる．

 

^T

 

⁰

Ld Lref  Ld Lref 

M q M q (5.34)

 

LVLd Lref

_q q 0 (5.35)

 

2_LV_{Ld Lref} 0

_q q  (5.36)

開ループPHシステムの式 (5.32) は2自由度2入力の全駆動システムであり，また，^det



GLI



⁰で ある．従って上記の条件を満たす任意のH_Ld，フリーパラメータである歪対称行列J_L2，およびK_Ldiを 正定対称行列のDamping Injectionのゲインを用いて次のIDA-PBC制御系を設計できる．

es di

 

u u u _(5.37)

 

1 1 1

L L 2

es  LI^ _q HL Ld ^L_q HLd  L Ld^ L

u G M M J M p (5.38)

di   Ldi Lc

u K y _(5.39)

L

Lc  TLI_p HLd

y G _(5.40)

1 1

2

T

Ld L Ld L Ld

H  p M p^ V (5.41)

これを入力することでシステムはH_Ldを Lyapunov 関数として



^{q pL, L}



^



^qLref,0



^{近傍で安定となる．}

さらに零状態可検出性y_Lc0，u_di 0 lim _{L Lref}

tq q が満たされる場合は漸近安定となる．

導出した制御系では，条件式 (5.34) - (5.36) を満たす範囲内でM_LdとV_Ldを与えることで，線形制御で は実現が難しい様々な特性を有する自由度の高い制御系設計が可能となる．制御系のブロック線図を Figure 5.6に示す．

5.4.2 車体角度と車体重心移動距離を指定範囲内に制限するエネルギー関数の設計

本研究では提案制御系の基本的な性質を検証するため，運動エネルギーの整形は行わず，所望の慣性 行列はM_Ld M_Lと設定する．M qL

 

L ^0となるq_Lの範囲を明らかにしなければならないが，解析的に これを確認する方法の1つとしては，次の2つの条件の成立を確かめれば良い．

11

 

0

L L 

M q (5.42)

 

11

 

22

 

12

 

21

 

det M_L M_L q M_{L L} q_L M_L q M_{L L} q_L 0 (5.43)

MLijはM_Lのi行j列成分を表す．しかしながら，これらの条件式が成立するq_Lの範囲の解析解を導出 することは困難であったことから，本研究ではTable 5.1の物理パラメータを用いて数値的にこの範囲を 計算した．Figure 5.7にそれぞれM_L11とdet



M_L



の値をプロットした結果を示す．車体角度は物理的に

合理的な q₁  2 rad の範囲でプロットし，車体重心の移動範囲は実機の機構を想定した0.2 m よ

りも十分大きなq₃ 1.0 m の範囲でプロットした．M_L11と^det



ML



はどちらも常に正値であり，最小 値はそれぞれ0.2457，0.5422であった．

VLdを次式で定める．

 

²

 

²

1 3

1 1 3 3

2 2 2 2

1 1 3 3

1 1

2 2

Lp Lp

Ld ref ref

l l

K K

V q q q q

q q q q

     

  ^(5.44)

ここでq_1l，q_3lはそれぞれ，制御時にシステムの運動を q₁ q_1l， q₃ q_3lの範囲内に理論的に制限する ために与えるパラメータである．K_Lp1，K_Lp3は制御系設計用のパラメータで正の値とする．初期状態 は q₁ q_1l， q₃ q_3lの範囲で，また，目標値も q_1ref q_1l， q_3ref q_3lの範囲で与える限り，式 (5.44) で与えるポテンシャルエネルギーは正定かつ条件式 (5.35)，(5.36) を満たし，



^{q pL, L}



^



^qLref,0



^に唯

一の最小値をもつことを計算により確認できる．従って正定関数H_Ldを Lyapunov 関数として平衡点の 安定性が保証される．さらにy_Lc 0，v u _di0  G^T_LI_pLH_Ld 0  p_L0で，式 (2.20) に基づき

LHLd

_q 0 _qLV_Ld 0  q_Lq_Lref となることから零状態可検出性よりも強い条件である零状態可観 測性が満たされ，漸近安定性が保証される．また，V_Ldは分母にq₁²_lq₁²，q₃²_lq₃²を含むことから領域

 



^{L, L 4| 1 1l, 3 3l}



D q p  q q q q (5.45)

においてH_Ldは半径方向に非有界な関数である．ゆえにq₁₀ q_1l， q₃₀ q_3lを満たす任意の初期状態に 対して，車体角度と車体重心移動距離はそれぞれ q₁ q_1l， q₃ q_3lに制限された上で目標値へ収束し，

同時にMIPの加速度は式 (5.21) より一定値x_ssrq_2ssに収束する．

次に提案制御系のゲイン特性を考察する．式 (5.38) より，V_Ldは次式の形で制御入力へ寄与する．

     

1 1, 1 1 1 3 3, 3 3 3

L

T

Ld Lpv ref ref Lpv ref ref

V K q q q q K q q q q 

^q     (5.46)

(a) M_L11 (b) ^det



ML



Figure 5.7 Numerical calculation of the range of q_L where M_L is positive define

-1 0 1

-0.5 -1 0.5 0

0 5

1 [ d]

q3 [m]q3[m] q₁[rad] ^-1

0 1

-0.5 -1 0.5 0

0 5

1 [ d]

q3 [m]

()

q3[m] q₁[rad]

   

 

2 2 2 2

, ^{il i iref}

Lpvi i iref Lpi

il i

q q q

K q q K

q q

  





^i1,3



_(5.47)

従って偏差q_iq_iref に状態量依存ゲイン^KLpvi



^{q qi, iref}



が掛かった比例制御と類似した役割を担う．本研 究で設計したこのゲイン特性は 4 章の結果を参考にした[126][127][128]．MIP の状態が目標値を超えて制限 範囲に近づくとゲインも増加することから，提案制御系は積極的に目標状態へと復帰させる特性を有し，

安全性の観点からも好ましいと考えられる．

なお，4.4 節の考察と同様に本章で導出した制御系も積分特性が組み込まれていない．従って定常的 な外乱に相当する運転者の体重変動，重心位置のずれ，および坂道を走行するときの斜面下方向の重力 の影響などがある場合，理論的に目標車体角度と実際の角度に定常偏差が生じる．一方で IDA-PBC の ロバスト性向上のために積分制御を導入する研究もなされており^[121][122]，今後このような手法を取り入 れることなどで問題は解決可能であると考えられる．

また，本制御対象のような移動体では状況によって停車や一定速度での走行が要求されることも考え られる．提案制御系はMIPの並進方向加速度を制御するものであるが，これは自動車において運転者が アクセルペダルとブレーキペダルで加減速を制御することと類似している．従って停車や一定速度での 走行は，本研究で提案するエネルギー関数を用いて目標並進方向加速度（すなわちq_1ref とq_3ref ）を適切 に与えることで原理的には実現可能であると予想されるが，その具体的な手法の提案は今後の検討事項 とする．

(a) Body angle (b) Displacement of the sliding body

Figure 5.8 Comparison of the IDA-PBC controllers for the systems with or without the slider mechanism

(a) Body angle (b) Displacement of the sliding body

Figure 5.9 Tracking for constant reference states from the edge of the domain of attraction

0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1

time [s]

with Slider without Slider Reference

[rad]

q1ref

0 1 2 3 4 5

-10 -5 0 5x 10^-3

time [s]

q3 Reference

[m]

q3 q₃ q3ref

0 1 2 3 4 5

-0.5 0 0.5

time [s]

q1 Reference

[rad]

q1 q₁ q1ref

0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2

time [s]

q3 Reference

[m]

q3

q3ref

(a) Body angle (b) Displacement of the sliding body

(c) Actuator torque (d) Slider force

(e) Translational acceleration (f) Total energy of the closed-loop PH system

(g) Horizontal acceleration of the sliding body (h) Vertical acceleration the sliding body Figure 5.10 Simulation results of the driving control with the 4 cases of the reference body angles

0 1 2 3 4 5

-0.05 0 0.05 0.1

time [s]

[rad]

without Slider

1_ref 0 q 

1_ref 0.05

q  q¹_ref 0.1

[m]

0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1

time [s]

1_ref 0

q 

1_ref 0.05

q  q¹_ref 0.1

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1

time [s]

q1r = 0 q1r = 0.05 q1r = 0.1 without Slider

[Nm]

1_ref 0 q 

1_ref 0.1 q¹ 

ref 0.05

q 

without Slider

[N]

0 1 2 3 4 5

0 10 20

time [s]

q1r = 0 q1r = 0.05 q1r = 0.1

1_ref 0 q 

1_ref 0.1 q¹_ref 0.05 q 

0 1 2 3 4 5

-5 0 5

time [s]

[m/s2]

without Slider

1_ref 0

q 

1_ref 0.05

q  q¹_ref 0.1 x_ref 1

0 1 2 3 4 5

0 0.5 1

time [s]

q1r = 0 q1r = 0.05 q1r = 0.1

1_ref 0 q 

1_ref 0.1 q¹ 

ref 0.05 q 

[m/s2]

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6

time [s]

without Slider

1_ref 0

q 

1_ref 0.05

q  q¹_ref 0.1

0 0.1 0.2

0 2 4 6

[m/s2]

0 1 2 3 4 5

-0.2 0 0.2 0.4

time [s]

without Slider

1_ref 0

q 

1_ref 0.05

q  q¹_ref 0.1

ドキュメント内 システムの動力学的特性を利用した 倒立振子型移動体の非線形制御 (ページ 87-91)