制御系パラメータの設計と引き込み領域の導出

 

^*

2 1 *

1

1 0

q cos

a q c

  

 (3.41)

この不等式条件の見通しを良くするため2

 

q1 ^{を次式でおく．}

 

2 1

1 1 2

1 q cos

 q

 

  (3.42)

ここで₁，₂は定数とし，これらは制御系パラメータとなる．2

 

q1 の設計は式 (3.42) 以外に様々な ものが考えられ，制御性能に影響を与えることが予想される．本研究では以降に示すように，式 (3.42) を用いると制御系設計の際の重要な前提であるシステムの安定性を考慮したパラメータ選定を容易に 行うことができる．また，制御性能に関しても，シミュレーションと実機実験において LQR と同程度 の過渡応答の速さが得られるとともに，理論的に十分広い引き込み領域を保証することができたため，

式 (3.42) の2

 

q1 を採用した．条件Cは次の2つの条件に書き直すことができる．

* *

2 cosq1 1 acosq1 c

      (3.43)

*

2 cosq1 1

    (3.44)

ゆえに，IDA-PBC制御系が安定性を保証するか否かは₁，₂の設定で決まる．

3.4.2 安定性を保証する制御系パラメータの領域表示による視覚的設計法

少なくとも所望の平衡点近傍で安定性を保証するパラメータ領域の導出には，前述の条件A ~ Cを全 て満たす



 1, 2



を明らかにすればよい．前節で2

 

q1 の具体的な形を決定し，M_d が定まったこと から条件Bを考える．式 (3.36) の左辺の具体的な計算は式 (3.24) から₃を求める必要があり複雑にな る．しかし，変数変換xcosq₁，^x



^0,1



を行って計算を進めると，最終的に条件Bは次式となる．ま た，x^*cosq₁^*とする．

  ^{ }    

  ^{  }  ^{  } 

* *

* 2 2

2 2

* * 2 * *

2

det 1 0

2 2

ax c x

d x

dx a ax abx c bc x a ax c b c

 



 

  

      

M (3.45)

式 (3.13) で仮定したdet

 

M 0，およびd2

 

x dx 1



1x2



²は₁と逆符号になることを考慮 し，不等式の両辺をこれらで割ることで，残りの分数部分の正負について場合分けをして考えることが

できる．2

 

q1 ^に式 (3.42) を代入し，変数変換を元に戻して計算を進めると，同時に満たされるべき

ポテンシャルエネルギーに関する条件Cの式 (3.43)，(3.44) と共通部分を持つのは次の場合に限定され る．

1 0

  (3.46)

* *

2 cosq1 1 acosq1 c

      (3.47)

  ^{ }

 

  ^{ }

* *

1 1

*

2 1 1 * 2

1

2 cos cos

cos

cos 2

a q a q b c b c

q

a q c b c

     ^{  }

   (3.48)

なお，式 (3.48) の右辺第2項の分母は式 (3.14) を満たす限り常に正である．

以上より，条件A ~ Cを統合することで，安定性を保証するパラメータ集合は₁ - ₂平面に領域表 示できる．ここで式 (3.43)，(3.44)，(3.46) および (3.48) において，不等号を等号としたときに表され る直線をそれぞれT₁，T₂，T₃，T₄とする．なお式 (3.43)，(3.47) は等価である．領域はFigure 3.6の灰 色の部分（ただし境界線上を除く）となり，この中から点



 1, 2



を選択する限り，IDA-PBC 制御系 は少なくとも所望の平衡点近傍での安定性を保証する．

3.4.3 引き込み領域の導出

前述の領域表示を利用して，引き込み領域を容易に推定可能であることを示す．これまで条件A ~ C は固定したq₁q₁^*0 rad において評価したが，引き込み領域の推定には，選択した点



 1, 2



に対し て，条件A，Bが成立するq₁の値の範囲を明らかにすればよい．これは推定引き込み領域を一般的に表 した式 (2.29)，(2.30) において，H_dが存在し，かつ発散しないq₁の範囲を求めることに対応する．条件 CはV_dの極値に対するものであるからq₁q₁^*0 rad において成立すれば良い．

よって条件A，Bにおいてq₁^*をq1



0, 2



に置き換えて考える．q₁の範囲は条件が全て偶関数で表さ れることに基づいた．条件Aはq₁0において条件Cを満たさなければならないことを考慮すると，結 局条件Aの否定等号は右開きの不等号に置き換えた次式で考えなければならない．

Figure 3.6 Region of controller parameters which guarantee stability

Figure 3.7 Relation between the domain of attraction and the regions of controller parameters



^{M Md 1}



_{ 1,1}

^{ }

^{q1 0} (3.49)

q1を0から 2 rad へ徐々に大きくしていくと，条件A，Bが表す領域はFigure 3.7に示すように連

続的に変化する．_q1₀ rad のとき領域はFigure 3.6の領域と完全に一致する．ここで注意点として，

Figure 3.6よりも濃い灰色で示したFigure 3.7の領域は条件Cを考慮していないことから，その全ての点

において倒立状態での安定性を保証するわけではない．従って，少なくとも所望の平衡点近傍で安定性 を保証するFigure 3.6の領域内から点



 1, 2



をまず選択し，その点がFigure 3.7の変化後の領域にも 含まれれば，そのときのq₁は引き込み領域内にあるといえる．なお，T₄もT₁と同じ傾きを保ちつつ変化 するが，式 (3.13)，(3.14) が成立する限りT₄>T₁であることが確認できる．よって引き込み領域推定の 際はT₁のみを考慮すればよい．以上をまとめると，引き込み領域は次の手順で推定できる．

1. Figure 3.6に示す灰色の領域（ただし境界線上を除く）から点



 1, 2



を選択する．

2. T₁が選択点を通過するときのq₁q_1l0 rad を求める．これは次の方程式をq_1lについて解くことに 相当する．

2 cosq1_l 1 acosq1_l c

      (3.50)

3. 車体角度の引き込み領域はq1 



q q1_l, 1_l



となる．

定性的にはFigure 3.6，Figure 3.7の薄い灰色の領域の右下ほど引き込み領域は広く，左上ほど狭くなる．

条件Bをq1



0, 2



で評価したものはM_d

 

q1 0の成否に関連し，閉ループPHシステムの運動エネ ルギーが有界となるq₁の範囲に関わる．また，条件AとCを統合してq1



0, 2



で評価した式 (3.49) は，



^{M Md 1}



_{ 1,1}

^{ }

^{q1 が式 (3.31)，(3.32)} において分母に入ることから，閉ループPHシステムのポテンシャル エネルギーが有界となるq₁の範囲に関わる．従って領域

  

^{, 4| 1 1l}



D q p  q q (3.51)

において閉ループPHシステムの全エネルギーH_dは半径方向に非有界である．一方でIDA-PBC制御入 力によりH_d 0が保証されていることから，領域Dから出発したシステムの軌道は，この領域を逸脱 することなく所望の平衡点へ収束する．従って安定化制御時に MIPの車体角度はq₁ q_1lに制限されつ つ，倒立状態かつ所望の車輪回転角度（水平方向移動距離に対応）q₂q^*₂で最終的に停止する．なお車 体角度の引き込み領域を算出する方程式 (3.50) を逆に利用することで，はじめに安全性を考慮して車 体角度の制限値q_1lを与え，それに対応する制御系パラメータ₁，₂を選択することも可能である．

Table 3.2 Parameters of the IDA-PBC controller with fast transient performance Parameter Value Parameter Value

Km 50 ₁ -2.3

P 0.35 ₂ 4.1

Kdi 45

Table 3.3 Parameters of the IDA-PBC controller with the large domain of attraction Parameter Value Parameter Value

Km 50 ₁ -0.4

P 0.4 ₂ 0.9

Kdi 100

(a) Body angle (b) Wheel angle

(c) Input torque (d) Total energy of the closed-loop PH system Figure 3.8 Regulator performance of IDA-PBC and LQR

(a) Body angle (b) Wheel angle

Figure 3.9 Regulator performance of IDA-PBC from the edge of the domain of attraction

(a) From q₁0.1 rad (b) From q₁1.4 rad

Figure 3.10 Regulator performance of IDA-PBC with the large domain of attraction parameters

0 2 4 6 8 10

-0.05 0 0.05 0.1

time [s]



IDA-PBC LQR

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-0.05 0 0.05 0.1

time [s]



IDA-PBC LQR

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

0 0.5 1 1.5

time [s]



IDA-PBC LQR

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

0 0.5 1 1.5

time [s]



IDA-PBC LQR

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-0.5 0 0.5 1

time [s]



IDA-PBC LQR

[Nm][Nm]

0 2 4 6 8 10

-0.5 0 0.5 1

time [s]



IDA-PBC LQR

[Nm][Nm]

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8

time [s]

Kinetic Potential Total Kinetic Potential

 

Hd

Total

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8

time [s]

Kinetic Potential Total Kinetic Potential

 

Hd

Total Kinetic Potential

 

Hd

Total Kinetic Kinetic Potential Potential

 

Hd

Total

Energy

Kinetic Potential Total (H_d)

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-0.5 0 0.5

time [s]

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-0.5 0 0.5

time [s]

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20 25

time [s]

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20 25

time [s]

0 2 4 6 8 10

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

time [s]

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

time [s]

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-1 0 1

time [s]

[rad][rad]

0 2 4 6 8 10

-1 0 1

time [s]

[rad][rad]

ドキュメント内 システムの動力学的特性を利用した 倒立振子型移動体の非線形制御 (ページ 52-57)