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①福谷敏「中学生がわかる「三角錐の公式の証明」」では、立体の相似による体積比を利用し て体積の公式を導いている。使用する立体は、任意の三角錐とその三角錐の
すべての頂点が三角柱の頂点に含まれている三角柱を使用している。三角錐 をエウドクソスの取り尽くしの方法で行われた分割方法（右図）で分割して いる。この分割を行うことによって、三角錐は2つの三角錐と2つの三角柱
へと分割できる。新しくできた2つの三角錐は、もとの三角錐と相似でその相似比は1:2とな り、体積比は1:8となる。分割でできた三角柱は、体積の
等しい異なる 2 つの三角柱を使用すると、相似比はそれ ぞれ1:2となるので、体積比はそれぞれ1:8となる。
もとの三角錐の体積をV、三角柱の体積をV0とすると、
三角錐の体積は V V V 8 21 8
21 0 となる。この式を計算す
るとV0 3Vとなることが分かる。このように体積を導いている。
②赤井利行「角錐・円錐の体積の求め方」では、体積がどのようになるのかを予測させ、実験・
実測を通して実際に確認している。立体図形の量的な側面をイメージするためには、たくさん の立体図形を構成させたり、分割させたりして具体的なイメージを豊かにしていく必要がある と考えている。実際の授業では、画用紙に展開図をかかせ、それをもとに表面積を考え、組み 立てた立体図形から体積を考えさせている。さらに、確かめとして、教師が教具を用いて実験・
実測をしている。
③神保敏弥「四角錐の体積」では、四角柱や三角柱など体積が既知のもので、角錐の内部の空 間充填を行いわからない部分の体積を減らしていき、徐々に角錐を大きくし、同底・同高の角 錐と角柱の体積を比較している。この実践は、いくつかの段階に分けて行っている。
まず第1段階として、ピラミッドが四角錐に見えることから直方体を積み重ねていくことに よって四角柱をピラミッド状に積み重ね、同底・同高の四角柱と体積を比べている。
第2段階として、最初に作ったピラミッド状に積み重ねられた四角柱を三角柱や小さい四角 錐を補充することによって四角錐をつくり、先ほどと同様にできた四角錐の体積がわかる角柱 部分と同底・同高の四角柱の体積を比べている。これによって、四角錐は基礎単位の直方体の 何個分よりも大きいのかがわかる。次に、四角錐が基礎単位の直方体の体積の何個分よりも小 さいのかを調べている。この方法ではさみうちの原理を使うことで四角錐の体積を求めていく。
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第3段階として、2種類の大きさの四角錐・四角柱の体積比から体積を考えていく。体積比 を比べることによって、大きい四角錐は小さい四角錐が何個分であるのかと大きい四角錐は小 さい四角錐が何個分と小さい直方体が何個分なのかを比較することによって、小さい四角錐が 何個分で小さい直方体が何個分になるのかを求めている。
以上のようにして四角錐の体積を求めていった。
④神保敏弥「角錐の体積」では、平行面の性質とガバリエリの定理を使用している。直方体を 平行移動した平行六面体から同じ頂点を結んだ面を切断していき、できた四角錐をガバリエリ の定理を用いて体積が等しいことを求めている。具体的な作業的方法としては、トランプや長