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n

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D-= t+，

IU

従来の 計算結果との比較を容易にす るため、 式( 2 -10)で計算され た入力Li と摩擦トルクを考慮、していな いときの入力L i c との比 k

=

^{L 1} c /L I を入力修正係数 として導入すれば、すでに明らかにされてい る摩擦損失L:lL f の計算結果(_{5 )ー( 8} )とよく似た形で示すことができる。

歯面聞の動力伝達効率nは、 式( 2 -1 2 )で表すことができる。 一 対の歯車が かみ合い終わるまでに生ずる損失は式( 2

-

^{1 1 )で示され}

る(付録参照〉。

L:lLf _{= μ} πtnPn(1/z1t1/z2)(εAtεRt1-εA-εR) ・・ ・・ ・・(2-11)

竹山1 ''a­ T-U一 4一 一一

k

一/Jf

bn

一

c

//一

i C一 τL

vL一 i-

^{Llc -}

TL FM

^kL:lLf

=

1-μ πk(1/z1t1/z2)(εAtεRt1-εA-εR) ・・ ・・ ・・(2-12) ただし、 μ は歯面間の平均摩擦係数、 Z1 は駆動歯車の歯数、 Z2 は被動歯車の歯数、 εA は近寄りかみ合い率、 εR は遠退きかみ合い

率である。 修正係数 kを1とすれば、 従来の計算結果(^{5 )ー(8} )と一 致する。

η 与 1_-μ π(1/z1t1/z2)(ε Atε Rt1-ε A-ε R) ・・ ・・ ・・(2-12' )

修正係数kの値は、 一般的に1に近い値となるので、 実用上は!と 近似しでも、 特別の場合以外は、 全く問題にならない。 たとえば、 法

線荷重Pn を一定(トルク 200 N-m)とした場合の修正係数はk =

0.9958である。 計算に用いた歯車の諸元は、 モジュール m = 6、 歯 数 Z1 = 25、 Z 2 = 27、 圧力角 α = 200 、 歯面聞の摩擦係数 μ

= 0.05である。

本研究では、 はすば歯車対の基準効率を比較的簡単に計算するため に 近寄りかみ合い側 と 遠退きかみ合い側 の接触点において作用す る力(法線力と摩擦力〉によるモーメントのバランスを考慮、して、 そ れぞれのトルク効率を求め、 近寄りかみ合い率と遠退きかみ合い率の

割合を考慮して一対の平歯車の理論トルク効率を計算する方法を示す。

2. 4. 3 トルクに注目した理論効率計算式(外歯車同士の場合〉

一対の平歯車がかみ合うとき、 作用線方向に作用する法線力P n ，

すべり摩擦係数μx ， 転がり摩擦力F r によって生ずるトルクTを被 動歯車と駆動歯車について計算する(図2 - 1 0参照〉。 サフィックス の1を駆動歯車、 サフィックスの2を被動歯車のものとすれば、 任意 のかみ合い位置(ピッチ点からの距離をえ)における理論効率は、 次 式のようになる。 歯面の油膜形成に基づく転がり摩擦抵抗F r は、 油 膜厚さに比例するといわれている(¹ 2₎ 。

本研究の場合は、 一対の歯面 粗さの和( RlIaxl ₊ RlIax2)のほうが理論油膜厚さh lIin よりも、 かなり大

27

きいので、 F^{rl =} F ^{r2 =} 0としても実用上差しっかえない。

(i)近寄りかみ合いの場合 T? _R，

[りAJx ^{= 一}二_・ー. .

T1 R2

一PnR2COSα-(μxPn+Fr2)(R2sinα+えx) Rl PnRICOSα一(μxPn-Frl)(R1sinα一えx) R2

cOSα一(μx+Frz/Pn)(sinα+，( x/Rz) COSα一(μx-F r l/Pn) (sinα-，( X/Rl) ここで、 F ^{r1 =} F ^r2= 0とおけば、

〔ηAJx 与 cOSα一μx(sinα+，( x/Rz) COSα一μx(sinα一えX/Rl)

μxえx (l/R 1 + 1/R2 ) 1- COSα-μx ( s inα-，(x/R1 )

- ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・( 2_-13)

(ii)遠退きかみ合いの場合

九一L

h一巴一一

切Hg

一一 PnRzCOsα+(μxPn-Fr2)(R2sinα-，( x) Rl PnRICOSα+(μxPn+Fr1)(R1sinα+，(x) Rz

一 cOSα+(μx-Frz/Pn)(sinα-，( x/R2) COSα+(μx+Frl/Pn)(sinα+えX/Rl) F ^{rl =} F ^{r2 =} 0とおけば、

〔りRJx 与 cOSα+μx(sinα一えx/R2) COSα+μx(sinα+ ，(X/Rl)

μx ，( x (l/R 1 + 1/R2 )

- ・( 2_-14) 1- COSα+μx ( s inα+，(x/R1 )

変速機の動力伝達効率を計算するのに必要となる基準効率は、 式(2

-

_{1 3} )および式(2-14)を積分して得られる平均値である。 接触線

上の荷重分布、 2対以上の歯に対する荷重分担率を仮定すれば、 この 平均値は計算できる。 しかし、 ここでは、 実用上十分と思われる精度 で、 平歯車の理論効率が計算できる式を示す。 F rl = F r2 = 0とおい て、 ). x の代わりに、 ピッチ点から接触点までの距離の代表長さえlIean を用いれば、 式(2 - 1 6 )， 式(2-17)が得られる。

，{mean.l=(Rk1sinαkl-Rlsin α)/2

- ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

( 2

_-

15 )

，{mean.2=(Rk2sinαk2-R2sinα)/2

μe，{mean.2 (1/R1+1/R2 ) ザA�

1-COSα一μe (sinα- ，(mean. 2/R1 ) - ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・⁽

2

_-

16)

μe ，{ mean. 1 (1/R1 + 1/R2 ) りR�

1-cosα+μe (sinα+ ，( mean. 1/R1 ) - ・⁽

2

_-

17)

なお、 cosαkl= (Rl/Rkl) cosα である。 また、 μeは、ピッチ 点から代表長さえlIean 程度離れた代表点における摩擦係数である。 さ

らに近寄りかみ合い率εAと遠退きかみ合い率εRを用いて、 平歯車の 理論効率 ηG. thを次式 (2-18)で定義する。

R一切ワ一口H-RH向C-c-+

一

tTA一A明UY一εA一C』一一一hH -L • FU η' 、、，s''OO Ti nL ，，，‘、

ここで、

εA

J

Rk22ー(R2cosα)2 -R2sinα

t cosα ， εR

d山R払』J

一(R1cosα)戸2一R1sin

t cosα - ・(

2

_-

19)

29

(Intema1 ge紅) Follower

一一一一一ーーー一 ー-、

(a)近寄りかみ合い領域 (b)遠退きかみ合い領域 図2 - 1 1 内歯車に作用する法線力と摩擦力など

2. 4. 4 内歯車の理論かみ合い効率

前節と同じようにして、 外平歯車と内歯車がかみ合う場合の理論的 動力伝達効率を計算する。 いま、図2 - 1 1で示すように作用線方向に

作用する法線力P ⁿ ，すべり摩擦係数μx 、 転がり摩擦力Fr によって 生ずるトルクTを被動歯車(内歯車〉と駆動歯車(外歯車)について計 算する。 サフィ ックスのlを駆動歯車、 サフィ ックスの3を被動内歯 車のものとすれば、 任意のかみ合い位置における理論効率は、 次式の ようになる。

(i) 近寄りかみ合いの場合

↑円 Rl

[りAJx =一二・一�1

T1 R3

PnR3COSα-(μxPn+Fr3)(R3sinα- Æ x) Rl PnRICOSα-(μxPn-Fr1)(R1sinα-えx) R3

一一 cOSα一(μx+Fr3/Pn)(sinα-Æ x/R3) COSα一(μx-Fr1/Pn)(sinα-Æ X/Rl)

ここで、 F ^{rl =} F ^{r3 =} 0とおけば、

〔ηAJx :，:

cOSα一μx(sinα-えx/R3) COSα一μx(sinα一えx/R1)

1- COSα一μx ( s inα-Æx/Rl)

μxえx ( 1/R1-1/R3 ) - ・ ・(2-20)

(ii)遠退きかみ合いの場合

T� Rl [りRJx = ーニ・ーム

T1 R3

PnR3COSα+(μxPn-Fr3)(R3sinα+ Æ x) Rl PnRICOSα+(μxPn+Fr1)(R1sinα+ Æ x) R3

cOSα+(μx-Fr3/Pn)(sinα+ Æ x/R3) COSα+(μx + F r 1 /P n ) ( s i nα+ Æ X/Rl)

F ^{rl =} F ^{r3 =} 0とおけば、

α+μx(sinα+えx/R3)

〔りRJx 与

COSα+μx(sinα+ Æ X/Rl)

1- COSα+μx ( s inα+えX/Rl)

μx Æ x (l/R 1 -1/R3 ) - ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・(2-21)

変速機の動力伝達効率を計算するのに必要となる基準効率は、 式( 2 -2 0 )および式( 2 -2 ¹ )を積分して得られる平均値である。 しかし、

ここでは実用上十分な精度で、 外平歯車と内歯車のかみ合い理論効率 が計算できる式を示す。 えxの代わりに、 ピッチ点から接触点までの 距離の代表長さえ圃eanを用いれば、 式(2-23)， 式(2 -2 ⁴ )が得ら

噌EE4qυ

れる。

.( mean. 1 = (Rk lsinαkl-R1sinα)/2

- ・・(2-22)

.( mean. a= (Rasinα -Rkasinαka)/2

μe.(mean.a (1/R1-l/Ra)

方A与 1ー ・・・・・・・・(2-23)

COSα一μe (sinα一えmean. a/Rl )

ηR弓 1- μe.(mean・1 (l/R 1 -l/Ra ) COSα+μe (sinα+ .( mean. l/Rl )

-・・・・・・・(2-24)

なお、 COSαkl= (Rl/Rkl)COSα， COSαk3 = (R3/ Rk3) COSα である。

さらに、 近寄りかみ合い率εAと遠退きかみ合い率をεRを用いて、 内 歯車と外歯車の理論効率 ηG.thを次式(2-25)で定義する。

DU一切ワ一

R-R E』-C』+一+A一A万一εA一ε一一=一hu .E ' G

"打ワ， 、、EE，，「D。，uηJU ，，E目、、

ここで、

εA Rasinα-

V

Rka2ー(Racosα)2

ゾ

Rk12ー(R1cosα)2 -R1sinα ・・(2-26)

tcosα R - tcosα

2. 5

考察

第3章で述べるトラクション係数の整理式を用いれば、 歯車の任意 のかみ合い点における摩擦係数は、 完全 なEHL潤滑状態であると仮 定すれば推定できる。 歯車がかみ合うときの任意の接触点におけるヘ ルツ応力を計算し、 摩擦係数をすべり速度の関数で表わし、 動力伝達 効率を計算した結果を図2- 1 2に示す。

標準平歯車( m = 3， Z 1 = 25， _Z 2 = 27， α= 20 0) を入 力 トル クT = 98 N-m、 回転数 n = 1000 rpm でEHL潤滑状態で回転させ

た場合を想定している。 また、 仮想的にかみ合い率は1としている。

なお、 参考のために、 隣接する歯を除去し かみ合い率をlとして歯 面聞の摩擦係数を測定した 石橋， 江副， 田中らの実験値をプロットし ている(₉ )。 ム印が鏡面研削歯車(歯面粗さRrnax=O. 1μm)をC油で潤 滑して低速で回転させた場合の実験値である。 低速では、 通常のEH L油膜の厚さはほとんど零であるが、 鏡面研削歯車の摩擦係数は金属 接触のないEHL油膜の摩擦係数程度に小さくなっている。 もちろん、

普通研削 の歯車(歯面粗さRrnax=3.0μm)を低速で回転させ れば、 ピ ッチ点以外では、 摩擦係数はO. 1以上になり、 かみ合い効率は、 図2 - 1 2の実線 で示される効率よ りも著しく低くなる。

公‘

_

Experimental (Ref.(9))

896 597

�

95 6

_{3 。}

6 _(mm)

Path of approach Pi tch Path of recess point

(m=3， 21=25， 22=27， α= 2

0 0 )

Kinds of oils Mineral type Synthetic type

A C L N

Specific gravity 15/4 oc O. ₉₀₃ O. _{873 0.908 0.889} Viscosity @ 400C 371. 6 63.34 66.34 30.59 Cmm2/s @ ₁₀₀ oc _{28.9 8.58 5.68 5.50} Viscosity index v1 103 107 under 0 7

lndex α [ ^{l/GPaJ 25.8 21. 0 47.2 28.2}

図2-12

歯車の動力伝達効率の計算値および他の研究者らの実験値

(実線が 著者の計算値， ム印 は文献(9)に よるもの〉

内ペυのペυ

2. 6 第2章のまとめ

本章では、 ハイブリッド形変速機の構成要素である歯車機構部の一 対の歯車がかみ合う場合の動力伝達効率について述べた。 歯面に働く 力(法線力と摩擦力〉とモーメントのバランスを考慮、して、 標準の外 平歯車同士がかみ合う場合， 内歯車と外平歯車がかみ合う場合につい て理論的に動力伝達効率を求める計算式を誘導した。 この計算式は、

従来のものより改良されたものとなっている。

参考文献

(1)堀光平， 超小形遊星歯車減速機の開発， 機械設計， 39-6， (1995)，

日刊工業新聞社.

(2) D. W. Dudley， Practical Gear Design， McGraw-Hill， p. 11.

(3) A. Ishibashi and H. Yoshino， Power Transmission Efficiencies and Friction Coefficients at Teeth of Novikov-Wildhaber and Involute Gears， Trans. ASME， Jour. of Mechnisms， Trans. and Automation in Design， 107-1 (1985)， p.74.

(4) K. F. Martin， The Efficiency of Involute Spur Gears， Trans.

of ASME， Vol. 103 (1981)， p.160.

(5) G. Niemann und H. Winter， Maschinenelemente 2 (1983)，

Springer- Verlag， p. 220.

(6)窪田 雅男， 歯車入門， (1963)， p.70， オーム社.

(7)両角宗晴， 遊星歯車と差動歯車の理論と設計計算法， (1989)，

日刊工業新聞社.

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n吋υ nu nu

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o --/\

TEJ ρしV+tM F吋υ Tau - -一 ri d4A

vhnFOL \lノnxu /tk、

and D. 1. Spence， Determination of Gear Tooth Disc Machine， Tribology International，

p. 269.

(9) A.Ishibashi， S. Ezoe and S. Tanaka， Friction Coefficients betweem Contacting Teeth at Start of Running， Proc. of Insti tutions of Mechanical Engg. (Fifth Years On)， IMechE，

(London)， Vol. 2 (1987) ， p.845.

(10) G. H. Benedict and B. W. Kelley， Instaneous Coefficients of Gear Tooth Friction， ASLE Transactions， 4 (1961)， p. 59.

(11)石橋 ・ 園田 ・ 西島， 遊星式トラクションドライブの速比と効率の 試験機およびその応用例， 機論， 55-519， C編(1989)， p.2850.

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ドキュメント内 歯車とローラを組合せたハイブリッド形変速機に関 する研究 (ページ 32-42)