ブラウン運動

S(t+s)−S(s)が平均0、分散σ²tの正規分布に従うことをきちんと確かめるためにはモーメ ント母関数を使えば良い。S(n∆t)^{のモーメント母関数は}

E(exp(θS(n∆t))) = (1

2e^θσ√∆t+1

2e^{−θσ√∆t} )_n

となる。∆t=t/nと置き換えて、指数関数をテーラー展開すると、奇数次の項が消える 1

2e^θσ√

t/n+1 2e^−θσ√

t/n= 1 +σ²

2ntθ²+o(n⁻¹) したがって、

E(exp(θS(n∆t))) = (

1 +σ²

2ntθ²+o(n⁻¹) )_n

→exp (1

2σ²tθ² )

(4.50) これは平均0^、分散σ²tの正規分布のモーメント母関数に他ならない。

4.5.2 ^{ブラウン運動}

ブラウン運動の数学的な定義は次のように与えられる。

定義4.1 連続時間、連続状態の確率過程{X(t), t≥0}がブラウン運動（過程）であるとは、次 の条件を満たす場合をいう。

(1)X(0) = 0 (2)^{独立増分を持つ}

(3)^任意のt >0, s≥0^{に対して、}X(t+s)−X(s)^が平均0^、分散σ²t^{の正規分布に従う。}

P(X(t+s)−X(s)≤x) =

∫ _x

−∞

√1

2πtσe^{−z2/(2σ2t)}dz= Φ ( x

σ√ t

)

(4.51) 3^{番目の条件式の右辺は}sによらない形をしている。確率が区間の幅だけに依存するという性 質は定常性と呼ばれ、{X(t)}は定常増分を持つと言われる。3番目の条件からサンプルパスは 連続であることは分かるが、同じ3番目の条件からどんなに小さな区間[s, s+t]^{であっても、そ} の間にジャンプする量は上限がないので、なめらかな変化は期待できない。実際サンプルパスは 至るところ微分不可能となることが、微分係数の計算によって確かめられる。平均変化率の２乗 の期待値を計算すると

E

((X(t+h)−X(t) h

)₂)

= 1 h²E(

(X(t+h)−X(t))²)

=σ²

h → ∞, (h→0) (4.52) となって、tにおける微分係数は有限の値に収束しない、すなわちtで（ということは任意の点 で）微分できない。

特にσ= 1の場合を標準ブラウン運動と言い、{B(t), t≥0}^あるいは{W(t), t≥0}^と記す ことが多い（W はこの確率過程を研究したWiener^{の頭文字）。}

独立増分という性質を使うと、自己共分散C(X(t), X(s))が以下のようにして計算できる。

t > sとすると、

C(X(t), X(s)) =E(X(t)X(s)) =E((X(t)−X(s) +X(s))X(s)) =σ²s (4.53)

t < sの場合も同様に計算できるので、両方の場合を合わせて次の式が得られる

C(X(t), X(s)) =σ²min{s, t} (4.54)

練習4.16 標準ブラウン運動{B(t), t≥0}に対して、(1)B(s)B(t+s)の期待値を計算しなさ い。(2)B(s)^とB(t+s)の共分散を計算しなさい。

4.5.3 最大値の分布、初到達時間

ブラウン運動の興味深い問題の一つとして、ある区間の間の最大値の分布を調べる。区 間[0, T]の間の標準ブラウン運動{B(t), t ≥ 0} に対して、その最大値をR(T)^{としたとき、}

R(T)> a(>0)の確率を知りたい。サンプルパスが連続であることを使うと、直感的にも明らか な方法で答えを求めることが出来る。

命題4.8 標準ブラウン運動{B(t),0≤t≤T}に対して、その最大値をR(T)としたとき、その 補分布関数は次の式で与えられる：

P(R(T)≥a) = 2

∫ _∞

a

√1

2πTe^−x2/(2T)dx (4.55) 証明a >0^{を一つ固定して}{B(t),0≤t ≤T}^{のサンプルパスを、}B(T)≥a^{となるものと、}

B(T)< aとなるものの二種類に分ける。B(T)≥aならば、R(T)≥aであることは明らか。

一方、B(T) =b < aでR(T)≥aとなるサンプルパスを任意に一つ考えよう。サンプルパス の連続性から、このパスにはB(t) =a^{となるような}0< t < Tがあるはず。その最初のt^の値 をt^∗としよう。ランダムウォークで鏡像の原理を説明したときと同じように、y=a^{を対称軸と} して、区間[t^∗, T]^{のサンプルパス}B(t)^の鏡像B(t)˜ ^{を描く。区間}[0, t^∗]^ではB(t) =˜ B(t)^とす ると、B(t)^とB(t)˜ ^{は１対１に対応し、}B(T) = 2a˜ −b > a^{となる。逆に、任意の}B(T)> a^と なるサンプルパスには、その鏡像のB˜(t)が対応する。したがって、R(T)≥a^でB(T)< a^と なる確率はB(T)> aとなる確率と等しい。ということは、R(T)> a^の確率はB(T)> a^とな る確率の2倍に等しい。これが上の命題で主張したいことであった。2

このような考え方は、ランダムウォークの場合と同様、鏡像の原理と呼ばれる。

図9 ブラウン運動における鏡像原理

ブラウン運動のもう一つの興味深い問題として、状態aを初めて訪問する時間がある。

命題4.9 ^{標準ブラウン運動}{B(t), t≥0}^{に対して、状態}a̸= 0を初めて訪問する時点をY ^と

したとき、その分布関数は次の式で与えられる：

P(Y < t) = 2

∫ _∞

a

√1

2πte^−x2/(2t)dx (4.56)

証明Y < t^{、すなわち時刻}t^{までに状態}aを訪問した、ということは区間[0, t]^{の間の最大値} R(t)^{が少なくとも}a以上、ということと同値である。したがって、上の命題を使って、次が成 り立つ。

P(Y < t) =P(R(t)≥a) = 2

∫ _∞

a

√1

2πte^−x2/(2t)dx 2