ノ 、 、

ノ 唱 、

ノ 、 、

1 s t :   1 8 H z ↓ ど

京、

、 、 c > c

Forced  displacement 

4th: 46

H z ↓ ど

京、

5th: 56

H z ↓ ど

京 ¥

図2.1 1 モデル Hの振動モードの例

2.4  まとめ

本章では，伝達影響係数法による二次 元 お よ び三次 元 樹 状 構 造 物 の 線 形 強 制 振 動 解 析 ア ル ゴ リ ズ ム を 定 式 化 し ， 両 構 造 物 の 具 体 的 モ デ ル を 対 象 と し て 数 値 計 算 を行った.結果は以下のようにまとめられる.

( 1 )  自由振動解析アルゴリズム (20)，(21)を拡張し，動的影響係数マトリックス に加え，変位の補正ベクトルを導入して強制振動解析アルゴリズムを定式化した.

(2 ) 樹 状 構 造 物 の 中 間 に 極 め て 硬 い 支 持 が 存 在 す る 場 合 で も ， そ れ に 対 応 し た方向のばね定数の値を，単に系要素の代表剛性に対し相対的に無限大とみなせ

る大きな数値で代用するだけで，問題なく対処できる.

(3 ) 強 制 変 位 励 振 に 対 し て は ， 基 礎 に 作 用 す る 場 合 の み な ら ず ， 系 に 直 接 的 に作用する場合についても，格問格点分離形の伝達則を導入することで解析可能 とした.この場合，基礎に強制変位を与え，これに対応する基礎支持要素のぱね 定数の値を，系要素の代表剛性に対し数値的に無限大とすることで同等の効果を 得ることができた.このような取扱いにより高精度の解析を行なうことは，伝達 マトリックス法など(6)‑(8)，(112)他の解析手法では不可能である.

なお，本章で提案した伝達影響係数法による線形強制振動解析手法は， 3章の 逆反復法に対する伝達影響係数法の適用，および4章 の 非 線 形 強 制 定 常 周 期 振 動 解析に対する増分伝達影響係数法の基礎となるものであり，ともに動的影響係数 マトリックスに加えて補正ベクトルを定義することで，本章と同様のアルゴリズ ムの定式化を可能としている.

第 3章 逆 反 復 法 に 対 す る 伝 達 影 響 係 数 法 の 適 用

第 2章 で 定 式 化 し た 伝 達 影 響 係 数 法 に よ る 線 形 強 制 振 動 解 析 手 法 は ， 系 全 体 の

運動方程式(振幅ベクトル表示)を表す大次元連立 1次 方 程 式 の ， 非 常 に 効 率 的 な 解 法 と み な す こ と も で き る . こ れ を 踏 ま え て 本 章 で は ， 大 規 模 系 の 固 有 値 問 題 に対する有効な解法の一つ で あ る 逆 反 復 法 に 着 目 し ， そ の 主 要 な 計 算 部 で あ る 大 次元連立 1次 方 程 式 の 計 算 過 程 に 伝 達 影 響 係 数 法 的 な 取 扱 い を 導 入 す る . 伝 達 影 響 係 数 法 の 高 速 ・ 高 精 度 性 を 活 用 す る こ と で ， 大 規 模 固 有 値 問 題 に 対 す る 逆 反 復 法の性能向上を実現する.

3.1  直 線 状 は り 構 造 物 の 自 由 振 動 解 析

本章では，回転軸系などに代表される直線状はり構造物の面内曲げ自由振動を，

図3.1に 示 す よ う に 集 中 パ ラ メ ー タ 系 と し て 解 析 す る . す な わ ち ， 対 象 構 造 物 は n分 割 さ れ て お り ， 各 分 割 点 に は ， は り 要 素 の 分 布 質 量 の 効 果 を も 含 む 質 量m j， 慣性モーメントみの集中円板が存在しているものとする.各集中円板は，長さめ，

曲 げ 剛 性 (E1)^jの 質 量 の な い は り 要 素 に よ っ て 直 線 状 に 剛 に 結 合 さ れ ， さ ら に ， せ ん 断 お よ び 回 転 の ば ね 定 数 と 線 形 粘 性 減 衰 係 数 が そ れ ぞ れ

ρ k

^Cj，K jお よ びC_j で あ る 基 礎 支 持 要 素 に よ っ て 基 礎 に 支 持 さ れ て い る . よ っ て ， 各 分 割 点 に お け る 変 位 は 連 続 で あ る . 各 分 割 点 を 系 の 左 端 か ら 右 端 に か け て 節 点 _0‑‑‑節 点nと呼ぶ.

ko  Ko 

Node 0  Nodej‑l 

j‑出beam (EJ)j Ij 

Cj‑I  kj 

G " ‑ I  

Kj 

Nodej 

図3.1 解析モデ、ル

Noden 

Cn 

C_n 

な お ， 各 記 号 の 下 添 字j

= 

0 ~ nは，節点jまたはj番 め は り 要 素 に 関 す る 物 理 量であることを示している.

こ の よ う に モ デ ル 化 さ れ た 系 の 特 性 方 程 式 は，M， Cお よ びKを そ れ ぞ れ

2  ( n  

+ 1)次 元 の 質 量 ， 減 衰 お よ び 剛 性 マ ト リ ッ ク ス，

x

を

2(n+l)

次 元 の 変 位 振 幅ベクトル， λを特性根(固有値)とし，系がxe^)..tの 自 由 振 動 を 行 っ て い る も の

とすれば，

(λ~M+ λC + K)x = 0 

と表される.ここに，左肩号

r

t Jを転置記号として，

(3.1) 

x 

= 

I(yo， 80， Yl， 81，…， Yn， 8n)  (3.2)  (3.3)  (3.4) 

M = diag(mo， Jo， ml， J1，… ， mn， Jn) 

C = diag(co， Co^{， Cl， Cl， ・・・ ，} cn， Cn) 

Po  Ql  0  IQ 1  Pl  Q 2  K 

= 1  

IQ2  P2  Q3 

o 

tQn  Pn 

Fう=Kj + F;:‑l + Lj+l F;:‑}l  tLj+1 (j 

= 

1， ... ，n ‑1)，  Qj = ‑Lj Fj‑l  九=Ko + Ll 

Fi

¹ tL1，  丸 =kn+FJl， Kj = diag(k， K)J 

︐J 寸

lI

BI

‑‑

J V a Q V  

α Y  

FI

l‑

‑t

L 

F  J ︐ 一 一

︐J 

﹃I

ll 11 J

ハU司I

' E A

s ︐E

﹁l

il

a‑

‑

﹄

L  J ︐ 一 一

(α， 

s

， y) i = 

( 主 44)

J  ¥3EI  EI  2Elノj

(3.5)  であり ，Yj， 8jは横変位および角変位(正方向は図 3.3に定義)，α'1'  sj， YjはJ番 めはりを片持ちぱりとみなしたときの静的影響係数である.

この例題では凡1，C， Kはいずれも対称マトリックスであるが，すべり軸受の安 定 性 解 析 の よ う に 非 対 称 マ ト リ ッ ク ス が 現 れ る 場 合 で も 問 題 な く 取 扱 う こ と が で き る . 以 下 で は ， ま ず 最 も 基 本 的 な 不 減 衰 自 由 振 動 に 対 す る 実 固 有 値 問 題 に つ い て議論し，次に減衰系の場合の複素固有値問題に対する変更点について述べる.

3.2  逆 反 復 法 の 基 本 原 理 と 初 期 値 の 設 定 法 3.2.1  基 本 原 理(98)‑(100)

式(3.1)において

c=o

，

0= 

̲)...2と お く と ， 不 減 衰 系 の 特 性 方 程 式 は 次 の よ う な一般固有値問題に帰着される.

(K ‑o M ) x  = 0  _~ det (K ‑o M ) =  0  (3.6) 

逆 反 復 法 と は ， 適 当 な 初 期 ベ ク ト ルXOか ら 次 の よ う な 連 立 方 程 式 :

kxk=Afxk‑l(k=l，2，…)  (3.7) 

を反復計算すると，k→ ∞ に と も な っ て が が 原 点 か ら 最 も 近 い ( し た が っ て ， 絶 対値の最も小さし、)固有値の固有ベクトルに収束するという性質に基づく解法で ある .^Xkが あ る 程 度 固 有 ベ ク ト ル に 収 束 す れ ば ， こ の 反 復 段 階 に お け る 固 有 値 の 近 似 値 が と が^‑1お よ び^Xkとの間には，近似的に次の関係、が成立する.

。

^{kXk= xk‑l}  _(3.8) 

Okは式(3.8)にMを重みとする最小二乗法を適用して，次のように求められる.

。

^k=

_ν

MXk‑l/

ν

^MXk

( 3 . 9 )  

ここに ，Mを 重 み と し て 介 在 さ せ る の は ，M，Kが 対 称 な 場 合 に 成 立 す る 固 有 ベ クトルの M ‑直交性を利用して，^Okの精度(収束性)を高めるためである.

逆 反 復 法 で は ， 上 記 の 手¹⁾頃で得られた ^Ok‑1が あ る 程 度 収 束 し た 段 階 で ， こ の Ok‑lを 新 た な 原 点 と す る 原 点 移 動 (originshift:図3.2参照)を行い，式(3.7)の 代 わりに次式を反復計算することにより ，^Xkの収束を大幅に加速することができる.

(K‑

Ok‑lM)xk=Mxk‑l  (3.10) 

こ の と き ， 求 め る べ き 固 有 値 は ， 式

( 3 . 9 )

か ら 計 算 さ れ る 固 有 値 の 修 正 量^Okに原 点 移 動 量^Ok‑lを 加 え た も の と し て 与 え ら れ る . な お ， こ の 原 点 移 動 に よ っ て 固 有ベクトルは変化しない.

3.2.2  初 期 値 の 設 定 法

逆 反 復 法 で ， 絶 対 値 の 大 き さ が 2番 め 以 降 の 固 有 値 を 求 め る に は ， 原 点 移 動 量 と 初 期 ベ ク ト ル の 設 定 に 工 夫 を 要 す る . こ こ で は そ の 能 率 的 な 設 定 法 に つ い て 述 べる.

固 有 値 を 絶 対 値 の 小 さ い 順 に 01，...， σ2(n+ 1)とし，対応する固有ベクトルおよ

び 反 復 計 算 の 初 期 ベ ク ト ル を そ れ ぞ れUl，... ， U2(n+l)お よ び

x f f

・‑，

x ; ( n + 1 )

とす る.また，

x f

^はUl，

…

，U2(n+l)の成分をすべて含む線形結合で与えられているも のとする.ただし，

x f

を 無 作 為 に 設 定 し た と し て も ， 実 際 問 題 で は 大 抵 の 場 合 この条件は満足される.

いま，

x f

^{を初期ベクトルとして 01およびUl}が求められたとすれば， 2番 め の σ2を求めるための初期ベクトルヰは， U2成 分 は 含 む がUl成 分 を 含 ま な い こ と が条件である. したがって，

x f

^から Ul成 分 を 抜 き 取 っ た も の を

x ;

^{とおけばよ}

い.この

x ;

^{から 02および}U2が求められれば，次の初期ベクトル

x ;

は， U3成 分 は含むが Ulお よ びU2成 分 を 含 ま な い こ と が 条 件 と な る . こ こ で

x ;

^がUl成 分 を 含んでいないことに着目すれば，

x ;

^{からさらに}U2成 分 の み を 抜 き 取 っ た ベ ク ト ルは

x ;

の条件を満たすことが分かる.一般に，

x f ( r

^ミ2)がUrを求めるための 適 切 な 初 期 ベ ク ト ル で あ る た め の 条 件 は，^Ur成 分 は 含 む がUl^{，...，̲，}  Ur‑l成 分 を ま っ た く 含 ま な い こ と で あ る . こ の よ う な ぐ を 能 率 的 に 設 定 す る に は 上記のr=2

3の場合と同様の手順を繰り返せばよい.すなわち，直前に求めた固有値_Or‑lに 対 す る 初 期 ベ ク ト ル _X11を保存しておけば，これは当然U1 ^{，...，̲，  U}r‑2成 分 を 含 ん で いないので，次式により

xL

^{から Ur‑l}成分のみを抜き取ることによって，

x f

^を

簡単に設定することができる.

X O = XO. ̲   r  r‑l 

tu r‑IAf 

x ? t  

t..  l.l ..  U _r‑l  U r‑l M  U r‑l 

(3. 11) 

不 減 衰 系 で は 固 有 値_Orは零または正の実数となり，図 3.2の 白 丸 の よ う に 分 布する.それゆえ， _Or‑lを求めた後に Orを求める場合には， σr‑lを 少 し 正 方 向 に 移 動 さ せ た ぐ を 初 期 原 点 と し ， 式(3.11)により求めた

x f

^{から反復計算を行う}

一ー:origin shift 

レ~

^Re 

図3.2 不減衰系の固有値分布と原点移動

こ と が 能 率 的 で あ る . た だ し ， こ の ぐ か ら Orの近傍まで新たに原点移動するま で の 聞 は ， 誤 差 の 蓄 積 に よ り 坊 が す で に 求 め た 固 有 ベ ク ト ル へ 再 び 収 束 す る こ とのないよう，反復計算過程でこれらの成分を抜き取る必要がある.その際，逆 反復法の基本原理を考慮、すれば，初期原点 σ?から最も近い固有値Or‑lの 固 有 ベ クトルUr‑lの影響が最も大きいため，誤差についてもその成分が最も拡大され得 るであろう. したがって，すでに求めたすべての回有ベクトルの影響を考慮する 必要はなく，次式により Ur‑l成分のみを

x f

から抜き取れば十分である.

xf‑

_u

^一

^{x u} 

M 一 M

W 一

u ^=ヨ> x^k _r  (3.12) 

。

^rの 近 傍 に 原 点 移 動 し た 後 は，U_rの 影 響 が 支 配 的 と な る の で こ の 処 理 は 行 わ なくてよい.

このように， σrお よ び_Urを順次求めるには，直前に求めた _Or‑lに対応する固 有 ベ ク ト ルUr‑lと，その初期ベクトル

x f ‑ 1

さ え 保 存 し て お け ば よ く ， 計 算 に 必 要なメモリ量を低減させる上で大きな利点となる.

3.3  伝達影響係数法の適用

逆反復法では，式(3.10)の連立方程式の反復計算があらゆる面で支配的である.

左辺の係数行列はブロック三重対角行列であるため，この性質を利用した様々な 解法があるが，本節では伝達影響係数法的な取扱いの導入による高速・高精度の 計算手法を提案する.

3.3.1  動 的 影 響 係 数 と 変 位 補 正 量

式(3.10)は，振幅ベクトルがMXk‑lで角振動数が..g=了の調和強制力が系に 作 用 す る と き の 応 答 量Xkを 求 め る 問 題 と み な す こ と が で き る . こ の よ う に ， 式 (3.10)を強制振動問題として取扱うことで，伝達影響係数法の適用が可能となる.

図3.3に示すように，すでに設定された系の左端から任意の節点}‑1右側ま での構造物に， }番めはり要素，集中円板および基礎支持要素からなるj番 め 基 本 要素を岡^IJに結合することが，伝達影響係数法適用の基本過程である.節点

J

にお ける応答量である横変位

y j

，角変位。

f

^{と，せん断力}

F f

^，

F f

^{およびモーメント}

勾，

N f

の正方向は図 3.3に 示 す 通 り で あ り ， ソ 付 き の 記 号 は 節 点

J

の集中円

↓ j 7 L j  

Cj 

C

j 

Nodej 

l 立 !

Nodej‑l  fう‑1

: ー (

_H~

¹

_I  ^{川 町}_(El)j 1) 

i可)‑1

kj 

Kj 

j番め基本要素 図3.3

付いていない記号は同じく右側の物理量を表す.各節点における変位と 板左側，

(3.13 ) 

(3.14 )  前章の線形強制振動解析と同様に次式で定義する.

一a一b

一 前

l M d rl lE EE tL

﹁‑ ‑

B El l i ‑L

+ +  

k・

j k 1

11111﹂

1l il

F

一

一 i‑‑

N F N .

r1 11 11 L

﹁1

11 tB EL

K‑

‑ K 1  

1E l‑

‑‑ J1 1I BI

‑‑

﹂

一 G

一

B G B

一

A一_G

A G

r i

‑

‑ L

﹁I

ll

‑‑ L

一 一 一 一

k・

j k J

11 1E

14 ﹂

﹃ I1 11 1J

y o y o  

ri ll

‑‑

﹄

﹁

ll﹄

'l

t _﹂

力の関係を，

との変位補正量は，

ここに，(A，B，G);および(A，B， G);^{をおのおの節点}j左側および右側の動的影 (E，b)?お よ び (a，b)?を 同 様 に 変 位 補 正 量 と 呼 ぶ .

強 制 外 力 項 と み な し たMXk‑1の 作 用 を 考 慮 し た も の で あ る . 各 節 点 の 変 位 と 力 響係数，

動的影響係数マトリックスは対 今の例題の場合，

の関係、をこのように定めると，

称となり計算量が少なくてすむ.

連 立 方 程 式 の 解 法 3.3.2 

まず動的影響係数および変位補正量を系の左端から右端 本章でも前章と同様，

これらを用いて求めるべき横変位と角変位を計算す にかけて漸化的に求めた後，

る.k固 め 反 復 計 算 に お け る 節 点j‑1右 側 と 節 点

J

左 側 聞 の 動 的 影 響 係 数 お よ

(3.15)  ぴ変位補正量の格問伝達計算則は次のようになる.

︐J 守

11 1' t1 12 11

﹂1

α Q V Y  

ri ll

‑‑ EE lt L 

+ 

LE

内・‑︐J 守I

li lt

‑E lt

﹄J

d B G  

rE tl it

‑‑ lt EE L 

‑︐J 可

aE El li EE Il id

u o

‑

44

 

s ︐ ︐

t I n u A U  

﹁﹄ EI t1 11 11 1E L

一 一

ba

同・

' J

﹃l it i‑

‑

ー

l l

﹂

一

d

一

B

一 G

﹁E

E‑

‑E Et t1 EE l‑

﹄

ドキュメント内 伝達影響係数法による大規模構造物の振動解析に関 する研究 (ページ 39-47)