り= 0

v j   = 

(V/， V:)j， 

院， JうおよびW^jに つ い て も 形 式 的 に は 式(4.19)~ (4.22)と ま っ た く 同 様 で あ 式 (4.22)の 要 素 (V/，V/)jを そ れ ぞ れ (W/，W/)j， (庁 ， 庁)jお よ び ( 咋 ， り，

F R P ) j

で置き換えたもので与えられる.

奇数次解(47)の取扱い 4.1.5 

か な り 広 範 な 非 線 形 系 の 定 常 周 期 振 動 に み ら れ る 特 徴 の ー っ と し て ， 奇 数 次 解 偶 数 次 は す べ て 零 で 奇 ここでいう奇数次解とは，

の発生を挙げることができる.

と も に 非 零 の 奇 数 数次のみのフーリエ級数に展開できるような周期解を意味し，

次 調 波 と 偶 数 次 調 波 の 両 者 を 含 む 周 期 解 を 非 奇 数 次 解 と 呼 ぶ . 奇 数 次 解 に 対 し て 近 似 解 の 最 高 次 数Nが同ーならば， 取 は奇数次調波のみを計算すればよいので，

扱 う マ ト リ ッ ク ス や ベ ク ト ル の 次 元 を 非 奇 数 次 解 の 場 合 の 約 半 分 に 縮 小 で き る . このことは，計算時間および必要な記憶領域の低減を図るうえで非常に効果的で ある.その計算手JI頃は，アルゴリズムの諸式中に現れるベクトルおよびマトリッ クスを奇数次解用に再定義したものに置き換えるだけで，形式的には非奇数次解 の場合とまったく同様である.そこで，以下に変更点のみを簡潔に整理しておく.

これ以降，奇数次解について論じる場合には，とくに断ることなく

N

は正の奇数 とする.

まず，Xjについては，次のような奇数次調波成分のみからなる (N+1)次 元 ベ クトルで再定義する.

Xi J 

= 

t( α~ ， b.l ， a~. ， ‑‑J' ‑} ' ‑J ' b~ !j ，  ，

… 。

日j^N.h， <./j^l !)J  ( 4.23)  その他のベクトルについても，奇数次調波成分のみからなる式(4.23)と同一構造 の (N+ 1)次元ベクトルで再定義する.また，マトリックスも (N+ 1)次正方マ

トリックスに次元縮小される.そのとき，式(4.14)，(4.20)および(4.21)のU，Aj 

お よ びBjは次のようになる.

U = Diag [Ul， U3， U5，…，  U_{N ]  (4.24)} 

A 2   A 4   ..• AN+l 

A j  

= 

^tAj = 

tA4  A6  ...  A^N+3 

( 4.25) 

tAN+1 tAN+3  ...  A 2N 

j 

B O   B 2   • BN‑l 

B j  = tBj = 

I 

^{tB2  B O   . BN‑3} 

( 4.26) 

tBN‑l  tBN‑3 • BO 

そ の 他 の マ ト リ ッ ク ス に つ い て も ， 式(4.25)，(4.26)の 要 素 に 対 し て 前 項 の 最 後に示したものと同様の操作を施すことによって構成できる.

4.1.6  糟分調和バランス法

増 分 に 関 す る 運 動 方 程 式(4.3)お よ び(4.4)に式(4.11)，(4.13)， (4.15)お よ び (4.16)を代入して，調和バランスの原理を適用すれば，次のような増分振幅ベク

トルIlXjの決定方程式が求められる.

pj U2 d.Xj + d.Sj + d.Sj  ‑d.S川 =Rj 

Rj=

あ ‑

^pj U2Xj

ーあーあ

+Sj+l 

( 4.27)  ( 4.28) 

ここに，/jは外力

/ j '

をフーリエ級数展開したときのN次 ま で の 振 幅 ベ ク ト ル で あ る . さ ら に ， 式(4.17)を考慮して，式(4.27)，(4.28)をj

= 

1 ，…，nに つ い て 整 理すると，次のような逐次近似式を得る.

Q 

d.X = 

R 

、F 、....1 .... 

、‑'‑‑''‑， 

Ql  ‑K2 

。

‑K2  Q2  ‑K3 

Q= 

^{‑K3  Q3  ‑K4} 

‑Kn‑l  Q n‑l  ‑Kn 

o 

^{‑Kn  Qn} 

Qj 

= 

1う+Kj+ Kj+l，  1う=Kj + pj U2  R = t( tRl，…， fRFt) 

(4.29) 

(4.30) 

(4.31) 

(4.32)  d.X = f( td.Xl ，… ， fd.Xn )  (4.33)  で あ り ， 非 奇 数 次 解 用 ア ル ゴ リ ズ ム ま た は 奇 数 次 解 用 ア ル ゴ リ ズ ム に 対 応 し て ，

Q

は (2N+l)n次 ま た は (N+ 1) n次 の 正 方 ブ ロ ッ ク 状 帯 マ ト リ ッ ク ス，Rおよ びd.Xは (2N+1) n次元または (N+ 1) n次 元 の ベ ク ト ル と な る . こ の よ う に ， 仮 定 し た 近 似 解 の 振 幅 ベ ク ト ルXjに 対 し て ， 修 正 値 と し て の 増 分 の 振 幅 ベ ク ト ル

d.Xjを式(4.29)から直接的かっ一挙に計算する方法が増分調和バランス法である.

4.2  増 分 伝 達 影 響 係 数 法 の 定 式 化

上 述 の 増 分 調 和 バ ラ ン ス 法 に お け る 逐 次 近 似 の 計 算 過 程 は ， 連 立 線 形 代 数 方 程 式 の 繰 返 し 計 算 に 帰 着 さ れ る . そ れ ゆ え ， そ の 解 法 に な ん ら か の 工 夫 を し な け れ ば，系の自由度nまたは仮定する近似解の最高次数Nが 増 大 す る に つ れ て ， 計 算 時間および必要な記憶領域が急速に増大する.そこで以下では， 2章 お よ び3章 で定式化した伝達影響係数法の概念を援用して，自由度の大きな系に対する計算 能率の向上を図る.なお， 4.2節と 4.3節 の 諸 式 中 に お け る マ ト リ ッ ク ス お よ

び ベ ク ト ル の 次 元 は ， 非 奇 数 次 解 用 ア ル ゴ リ ズ ム に 対 し て は (2N+l)，奇 数 次 解 用 ア ル ゴ リ ズ ム に 対 し て は (N+ 1)である.

4.2.1  T_jお よ び D_jの導入

各 節 点jにおける _d.Xjと_d.Sj+1の関係、を，増分に対する動的影響係数マトリッ クス1)および増分変位の補正ベクトルDjを導入して，次式のように定義する.

d.Xj = ~パð. Sj+l + D j^・ (4.34) 

増 分 伝 達 影 響 係 数 法 で は ， 系 の 運 動 方 程 式 が 増 分 量 に よ り 局 所 的 に 線 形 化 さ れ て い る の で ， 式(4.34)の よ う に 再 お よ びDjを定義することができる.

4.2.2  1).お よ びDjの 伝 達 計 算 則 の 導 出

式(4.34)に お い て 下 添 字jを}‑1で 置 き 換 え た 式 と ， 式(4.17)，(4.27)から

d.Xj‑lお よ びd.Sjを 消 去 す る こ と に よ り ， 次 の よ う な 再 お よ びDjの 伝 達 計 算 則 が 求められる.

G j Tj 

= 

H j  

GjDj = HjRj + KjDj‑l 

ここに，1は単位マトリックスとして，

Gj=Kj+Hj R， Hj=I+KjR‑1 

(4.35)  (4.36) 

(4.37)  こ の よ う に ， 同一の 係 数 マ ト リ ッ ク ス を 持 つ 連 立 線 形 代 数 方 程 式(4.35)，(4.36)  を 解 く こ と に よ り ， 節 点 }‑1の れ‑1お よ び_Dj‑1から節点^jのT_{jお よ び}Djが計算 される.

4.2.3  系 の 左 端 の 取 扱 い

1)およびDjの伝達則は，式(4.35)，(4.36)に 示 す よ う に 漸 化 形 式 に 整 理 さ れ て お り ， そ の 計 算 は 系 の 左 端 か ら 右 端 に か け て 実 行 さ れ る . 漸 化 計 算 の 初 期 値 T₁ お よ び_Dlは ， 系 の 左 端 の 境 界 条 件 か ら 求 め ら れ る . す な わ ち ， 系 の 左 端 の 左 側 は常に自由

( S t =

d.

St=O)

とみなせるので，SI = d.Sl = 0と な る . そ れ ゆ え ， 節 点 1に 基 礎 支 持 ぱ ね が 存 在 す る 場 合 に は ， 式(4.17)，(4.27)， (4.28)お よ び(4.31) の下添字に} = 1を代入して得られる次式から T₁お よ びDlが計算できる.

司 ︐ ‑

S + 

h S

X   

司 ︐ .

u 

nド

I f  

一一 一一

T D  

R R  

(4.38)  (4.39) 

一 方 ， 節 点 lに 基 礎 支 持 ば ね が 存 在 し な い 場 合 に は，Kl 

= 

0で あ る か ら ， 式 (4.31)から P₁

= 

PI U²と な る . こ の と き ， 非 奇 数 次 解 を 計 算 す る 場 合 に は ， 式 (4.14)か ら わ か る よ う にP1が 特 異 と な る の で ， 式(4.38)，(4.39)の 計 算 は 不 可 能 に な る . こ の よ う な 場 合 に は ， 極 め て 小 さ な ぱ ね 定 数 を 有 す る 仮 想 的 な 線 形 ば ね が 節 点 1に 存 在 す る も の と し て 計 算 す れ ば ， ま っ た く 問 題 は 生 じ な い こ と を 実 際 的な数値計算により確認している.

4.2.4  I1Xjの計算

前項までの方法で，

: z ^パ

^{j= 1 ，…，  n ‑1 )およびD j(j = 1 ，…，  n)が 求 め ら れ}

て い る と す る . 系 の 右 端 の 右 側 は 常 に 自 由 (S:+I=I1S

ム

¹⁼ 0 )とみなせるので，

Sn+l = I1Sn+1 = 0となる. したがって，式(4.34)でj=nとおいた式から I1_Xn= D n  

が 求 め ら れ る . 次 に，I1Sj+lお よ びI1X

，

が 既 知 な ら ば，I1Sjお よ びI1Xj‑lは 次 式 か ら計算される.

I1Sj = Rj + I1Sj・+1 ‑ ~. I1Xj  (4.40)  I1Xj‑l = Tj‑111Sj + Dj‑l  (4.41)  このように増分伝達影響係数法では，まず，系の左端から右端にかけて各節点 ごとに T^{jお よ び}Djが 伝 達 計 算 さ れ た の ち に ， こ れ と は 逆 方 向 に 系 の 右 端 か ら 左 端にかけて各節点ごとに修正量I1Xjが求められる.

4.2.5  計 算 手 順 の ま と め

増 分 伝 達 影 響 係 数 法 に よ る 直 列 形 非 線 形 構 造 物 の 2π周期近似解の計算手順は，

j=l~n に対して次のように整理される.

(  1 )  

x

，

^{の初期値を仮定する.}

(2)  Xjから，Rj， _~.， Pjを計算・構成する.

(3)  ~.， Djを伝達計算する.

(4)  I1xn= Dn， I1Sn+I=Oを 初 期 値 と し て ， 系 の 右 端 か ら 左 端 に か け て I1Xj， I1Sjを計算する.

(5) 

I 1 l 1

xl I が 必 要 な 程 度 に 微 小 と な れ ば 計 算 を 終 了 す る . そ う で な け れ ば

Xj+ I1Xjを新たなXjとして手順

( 2 )

に戻る.

手 順 (2)で計算すべき Rj，Kj， Pjの 要 素 は ， い ず れ も 周 期 関 数 の フ ー リ エ 係 数 として求められるので，関数形いかんではFFT(Fast Fourier transform)やフーリエ

級数の積の公式(119)の利用が便利である.

な お ， 増 分 調 和 バ ラ ン ス 法 の 場 合 に は ， 上 記 の 手 順 (3)お よ び(4)の 部 分 を 式 (4.29)の計算に置き換えればよい.増分調和バランス法と増分伝達影響係数法の 計 算 量 の 相 違 は こ の 部 分 に の み 現 れ ， そ の 中 で も 支 配 的 な 線 形 代 数 方 程 式 の 計 算 に関しては，非奇数次解[奇数次解]に対する逐次近似計算過程 1回 あ た り ， 前 者 で は (2N+l)n元 [(N+l)n元]の方程式を 1図 解 く 必 要 が あ る の に 対 し ， 後 者 で は 各 節 点 ご と に 同 一 係 数 マ ト リ ッ ク ス を 有 す る 2(N + 1 )個の (2N+ 1)元 [(N + 2)個の (N+ 1)元 ] 連 立 代 数 方 程 式 を 解 け ば よ い こ と に な る . 式(4.29)の 係数マトリックス Qはブロック状帯マトリックスであるから，その計算方法には 種々工夫の余地があるので断定はできないが，上記の性質は，増分調和バランス 法と比較して増分伝達影響係数法の計算時間や必要な記憶領域の低減を図るうえ で非常に有利であると考えられる.

4.3  増 分 伝 達 マ ト リ ッ ク ス 法 的 な 取 扱 い

増 分 伝 達 影 響 係 数 法 の 特 徴 の 明 確 化 の た め に は ， 増 分 調 和 バ ラ ン ス 法 だ け で な く 増 分 伝 達 マ ト リ ッ ク ス 法 と の 比 較 を 行 な う こ と も 望 ま れ る . そ こ で 本 節 で は ， 基 本 的 な 考 え 方 は 安 田 ら の 提 案 し た 手 法(61)に依拠しつつ，他の 2手 法 と の 実 質 的 な 比 較 を 行 う た め ， 計 算 能 率 が よ り 向 上 す る よ う に 若 干 の 修 正 を 加 え た ア ル ゴ

リズムを導出する.

式(4.17)お よ び(4.27)か ら ， 節 点} ‑ 1と 節 点 / に お け る 状 態 変 数 の 増 分 振 幅 ベクトルの間の関係、は，

[ A A S j X + 1 j j   l ‑ [ l I P   I   K + P K ‑ 1 1 ‑ ￨ ! j l ? A 1 ^ふ 1 J   ‑ 1 l  0

^RjJ 

1  

^(4的

となる.また，系の左端(節点 1)は常に自由，すなわち dSl=0とみなせるので，

式(4.27)から次式を得る.

‑t il t‑ J 

‑ ‑ a  

O R  

﹁1

11 1L

X A 

﹁i

it

‑‑ lJ

I R  

﹁1﹄IIl﹄L

一 一

﹁I

ll lB

﹂

判

&

A A  

r i l ‑

‑ し (4.43) 

したがって，式(4.43)から始めて式(4.42)の関係、を順次適用することにより次式 を得る.

︐J  1I l‑

‑1 11 1J  

'A司4

D D  

ri z‑

‑l ll L 

+ 

X A ︐J 11111iJ 

れ れ

﹁￨

￨﹃ l L

一 一

11 11 11 1J  

J.︐

+  

は あ

t A  

﹄﹄ II I‑

L (4.44 ) 

このとき，T1，j， T2，j， D1，jおよびD₂，j・の伝達則は，

[ Z l j = [ ; I f ‑ ‑ 1 ] [ : l ‑ l  

[ ; ; ] j = [ ; I f J i J [ ; ; i ‑ 1 ‑ [ ; ]  

( 4.45) 

(4.46)  となる.ただし，系の左端(節点 1) に お け る 伝 達 計 算 の 初 期 値 は ， 式(4.43)か ら次式のようになる.

11 11 14 1t J 

O R  

rE EE EE

‑‑

﹄

一 一

11 11 11 14  

‑E弓&

D D  

﹁1

11 11 1L

﹃I

BI ll

‑‑ J

I R  

﹁s

il lz

tし

一 一

141111J 

R

中 川

戸1

11 11 11

L (4.4 7) 

式(4.45)および(4.46)は，安田らのいう格問伝達則と格点伝達則を統合して得ら れる格間格点伝達則に相当する.

節 点n(系の右端)では dSn+l= 0とみなせるので，式(4.44)でj=nとおいた式 から次式を得る.

dXl 

=  ‑

_T2~~ D2.n  _(4.48) 

さらに，伝達計算過程で各節点の T1，jおよびDt^，jを保存しておけば，式(4.44)か らdXjが計算できる.

すなわち， 4.2.5項で述べた計算手順の (3)，(4)を 上 記 の 計 算 に 置 き 換 え た ものが，本節でいうところの増分伝達マトリックス法的な計算手法である.なお，

式(4.42)'"'‑'  (4.48)中 の マ ト リ ッ ク ス や ベ ク ト ル に つ い て は ， 非 奇 数 次 解 用 ア ル ゴ リズム/奇数次解用アルゴリズムに対応して，前節までに示したものの中から適 切なものを選択すればよい.

4.4  断 片 線 形 系 の 取 扱 い

調和バランス法系統の解法では，非線形性を表す関数とその偏導関数のフーリ エ係数の計算が，全体的な計算速度や計算精度に大きな影響を及ぼす.もし，原 関数が十分に滑らかであれば(以下，このような系を連続非線形系と呼ぶ)， FFT  (高速フーリエ変換)等を利用することによりこの計算を問題なくかっ能率的に

実 行 す る こ と が 可 能 で あ る . 特 に 非 線 形 性 が 多 項 式 で 表 さ れ る よ う な 場 合 に は ， フーリエ級数の積の公式を用いることもできる. しかし，図 4.3に 示 す 断 片 線 形 系 の よ う に 滑 ら か さ を 欠 く 関 数 に FFTを 適 用 し た と き に は ， 十 分 な 計 算 精 度 を 確 保 で き な い こ と が 多 い . 断 片 線 形 性 は ， 実 際 の 機 械 構 造 物 に 数 多 く 見 い 出 さ れ る 非 線 形 性 の 中 で も と く に 重 要 な 特 性 で あ る . そ こ で 本 節 で は ， 基 礎 支 持 ぱ ね の み に 断 片 線 形 性 が 存 在 す る 場 合 を 対 象 と し て ， 上 記 の 3手 法 に 限 ら ず 調 和 バ ラ ン ス 法 系 統 の 解 法 全 般 に わ た っ て 適 用 で き る よ う な ， 断 片 線 形 系 の 実 フ ー リ エ 係 数 の 効果的な計算式を導出する.

い ま ， 節 点jの 基 礎 支 持 要 素 の 非 線 形 ぱ ね 力 が ， 次 の よ う な 断 片 線 形 特 性 を 有 するものとする(図 4.3参照). た だ し ， 本 節 の 記 号 か ら は ， 節 点 番 号 を 示 す 下 添 字jおよび基礎支持要素を表す頭号「八Jを省略している.

r 

k2 x. + (k1 ‑k₂₎α  S. = ~ k₁ x. 

l 

k3 x. + (k1 ‑k3) 

s  r 

k2 

V .   =  a S . j a x ・=

~ k₁ 

I 

k3 

(x・ 〉 α注 0) (s s 

x

^{・ 当} α)

(x・ <

s 

s 0) 

(x・ 〉 α) (s s x. sα) 

(x. < s)  ここに，k1， k₂お よ び ん は 線 形 ば ね 定 数 を 表 す .

( 4.49) 

(4.50) 

いま，

x .

がN次近似の 2π周期近似解であるとき， 0豆τ孟2πが式(4.49)およ

s .  

‑

x 

‑

x 

図4.3 断片線形形の復元カ特性および切り替え点

て

ドキュメント内 伝達影響係数法による大規模構造物の振動解析に関 する研究 (ページ 64-81)