ド 5

U Z  0 2   U 

‑2 

5000  5500  6000  6500  7000  1500  8000  8500  X‑AXIS (m) 

(c)  Lax‑Wendroff scheme 

10  e・9.6αh A.・αz)m Al・100. Ay・200m . . 

︐

. a

・

︐

z o ‑

↑︿ぱト

Zω uz ou

‑2 

5000  5500  6000  6500  1000  1500  8000  8500  X‑AXIS (m) 

(e) six‑point scheme 

1‑9.lO・

10t  A1・zぽ加、

AI ‑100. 

O 8t  Ay‑lOOm  ト ，話。

ト

3 

4 

u Z ラ

O  

u 

‑2  X‑AXIS (m) 

(g)  SOWMAC 

‑80 ‑

10 

自

︒

. 2 ZO

︻ト︿区トZ凶

UZ

oυ

5000  5500  6000  8uOu  d ~ÚÚ

X‑AXIS (川)

‑2 

(b)  leap1rog scheme 

10 t 1=9.)()s 

z I 似 ・2∞m

Q 8 + AI・1∞s ド l

; 2

 6 

! 

^Ay‑2∞^m 

トZ  μ1. 

U  

Z 

8 2  

‑2 

5000  5500  6000  6500  7000  75OO  8000B;o0  X‑AXIS (m) 

(d)  staggered scheme 

10 + 1ι9.lO. 

I  A.・2∞m

O 

8 !  

AI‑I仙

勺 I Ay・ 山h .:.: 6  ドZ  μ1. 

U '   Z 92  υ 

‑2 

5000  5500  6000  6500  70OO  75OO‑‑~u X‑AXIS (m) 

(1) improved six‑point scheme 

図 2‑4 5 

2次 元 純 粋 移 流 の 計 算 に よ る ス キ ー ム の 比 較

(y 

=  x

上 で )

(安:r~I ど 4，.r少

ζ ι . r ; aε)

議 羽

ω

マーキ ど を ご「コl

主

t

^↓

2 ω

当

g

^{縁 故 弥}x取乙 9 

v  ‑

乙図

UO!l1110S pexヨ

8LU8lpS lU!od‑xIS  p8八OJd凶￨

18  ‑

。

^{ω8l.pSlU!od‑x!S} 

θ凶8LpS HOJpU8M‑xel 

な お 参 考 の た め に 、 各 種 計 算 ス キ ー ム に つ い て 図 2‑ 4 6の 2次 元問 題 の 計 算 に 要 し た 時 聞 を 比 較 し た も の が 表 2 ‑ 1で あ る 。 こ の 計 算 に は 、 ア y プ ル 社 製 の 32ピ ッ ト パ ー ソ ナ ル コ ン ビ ュ ータ

‑MacintoshII

( ク ロ ッ ク 周 波 数

1 6 M

 11

z

，  公 称 計 算 ス ピ ー ド

2MIPS)

を 用 い た 。 計 算 条 件 は 前 述 の 通 り 計 算 格 子 点

6 0 x  6 0

点、

タ イ ム ス テ ッ プ 数 日 ス テ ッ プ の 純 粋 移 流 の 計 算 で あ る 。

表 2 ‑ 1  各 種 計 算 ス キ ー ム の 所 要 計 算 時 間 (2 次 元 純 粋 移 流 計 算 の 場 合 )

一 一 一 一 一 一 一

計 算 所 要 時 間 (

s  e  c  ) 

1次 精 度 風 上 差 分 ス キ ー ム 5 6 

Lax‑Wendroff

ス キ ー ム 1 8 9  

Leapfrog

ス キ ー ム 6 5 

Six‑point

ス キ ー ム 4 9 4  

改 良 型

Six‑point

ス キ ー ム 1 0 5  1 

SOWMACi

法 1 9 3  

‑82  ‑

2 )陣

l

体 的 に 回 転 す る 流 れ 渇 に お け る モ デ ル 計 算

次に、

2

次 元 平 面 で 角 速 度

ω = 2π / 1 2

，

OOO(S ‑ I )

で 剛 体 的 に 同 転 す る 流 れ の 場 を 考 え る 。 こ れ は 、 各 象 限 で

x

方向 も し く は y方 向 の 流 速 の 符 号 が 変化す る 流 れ 場 で あ る 。 初 期 条 件 と し て 図 2 ‑ 4 7 (a)のよ う な

Gauss

型 濃 度 分 布 を 与 え

る 。 計 算 領 域 は

4

，

OOOmX  4

， 

OOOm

の

2

次 元 平 面 で 、 初 期条件 は ピ ー ク の 位 置 (1. 

4  OOm

，  ，1

400m)

， 標 準 偏 差 別

O m

で、計算条件は!J.x 

= 

!J.  y 

=  100m

， !J.  t 

=  5 0 s

とし た。 t= 

1 2

， 

OOOs(  1

回 転 後 ) の 濃 度 分 布 を 図

2‑

4 7 (b)に 示 す 。 初 期条件 と 同

じ よ う な 濃 度 分 布 で 剛 体 回 転 し て い る の が 分 か る 。 厳 密 解 は 初 期 条 件 と 一 致 す る が 、 得 ら れ た 計 算 結 果 も 良 い 一致 を 示 し て お り 。

SOWMAC

ス キ ー ム は 流 速の 変 化 す る 2次 元 流 れ 場 に お い て も 高 い 精 度 で 移 流 の 計 算 が で き る こ と が 分 か った。

( a ) 

L1x = 100 m  .1y 

= 

100 m  LiI = 50 s 

1 = 

1 2

，000 s 

︑lJ・_h

u

t︐ ︐

︑

図 2‑ 4 7  剛 体 的 に 回 転 す る 流 れ 場 に お け る 移 流 の 計 算

‑83  ‑

2.  5.  4 ま と め

本節 で は、 精度 や安 定 性 に 優 れ た 2階 導 関 数 の 差 分 の 特 ↑ 生 に 着

H

し、 1 

I

惜 の 移 流 方 程 式 の 代 わ りに 2階 の 波 動 方 程 式 を 解 くと い う 新 し い 概 念 を 川 い て 、 { 逆 来 の 問 題 点 を 解 消 し た 移 流 の た め の 新 し い高 精 度 計 算 ス キ ー ム で あ る

SOWMAC

ス キー ム を 開 発 ・ 提 案 す る こ と が で き た 。 得 ら れ た 主 な 結 論 は 以 下 の 通 り で あ る 。 ( 1 ) 1階 の 移 流 方 程 式 の 代 わ り に 2階 の 波 動 方程 式 を 解 く と い う 新 し い概念、を

用 い て 、 移 流 項 の 数 値 計 算 が 安 定 で 精 度 良 く 行 え る こ と が 分 か っ た 。 (2)  2階 の 波 動 方 程 式 は 解 と し て 前 進 波 と 後 退波を持 つが、 この う ち 前 進 波 の

み を 解 と し て 得 ら れ る よ う な 移 流 計 算 ス キ ーム を 特性 曲 線法 を 利用 して 求 め る こ と が で き た 。

( 3 ) ス キ ー ム 中 に 現 れ る 重 み κ， 。 を 計 算 ス キ ー ム のTaylor級 数 解 析 に よ って ク ー ラ ン 数 αの 関 数 と し て 理 論 的 に 求 め る こ と が で き た 。

(4 ) 計 算 ス キ ー ム の 形 は 、 ク ー ラ ン 数 の 正 負 に 関 わ り な く ￨α ￨豆 1の範 囲 で 用 い る こ と が で き る よ う に 最 終 的 な

1

つ の 式 に ま と め た

(SOWMAC

スキー ム )。

( 5 )   V 

on 

N 

eumannの 安 定 解 析 に よ り

SOWMAC

ス キ ー ム の高 い 精度 と 安 定 性 を 確 認 し 、 ま た 種 々 の 計 算 ス キ ー ム と の 比 較 に お い て も Six‑pointス キ ー ム 程 度 の 高 精 度 を 有 す る こ と が 分 か っ た 。

( 6 )   SOWMAC

ス キ ー ム は 用 い て い る 格 子 点 が 僅 か

3

点 で あ る た め 、 境 界 付近 で の 取 り 扱 い が 容 易 で あ る 。

( 7  

) 流 速

U

や格子幅!:lxが一定 で な い 場 合 の 移 流 の 計 算 に お い て も

SOWMAC

スキ ー ム は 十 分 高 い 精 度 で 適 用 で き る こ と が 分 か っ た 。

(8)  2次 元 ・ 3次 元 問 題 へ の 展 開 も 少 な い 計 算 量 で 容 易 に 精 度 良 く 計算で き る こ と が 分 か っ た 。

以 上 、 数 値 計 算 の 困 難 な 移 流 の 計 算 の た め 全 く 新 し い 高精 度 計算 スキ ー ム を 提 案 し た が 、 こ の

SOWMAC

ス キ ー ム は 上 述 の よ う に 多 く の 長所 を 有 す るこ とから、

‑ 84  ‑

今 後 実 用 面 で 大 い に 活 用 さ れ る も の と 思 わ れ る 。 な お 、 こ の ス キ ー ム は 非 線 型 慣 性 項 等 の 計 算 に も 応 用 で き る も の と 恩 わ れ る 。 今 後 の 研 究 課 題 と し た t¥o

2.  6  結 言

本 章 で は 、 移 流 拡 散 方 程 式 の 数 値 計 算 で 難 し い と さ れ る 移 流 項 に 焦 点 を 当 て ス プ リ ッ ト ・ オ ペ レ ー タ ー ・ ア プ ロ ー チ と 特 性 曲 線 法 を 利 用 し て 、 従来 の 移 流 項 計 算 ス キ ー ム に お け る 短 所 を 十 分 補 っ た 計 算 ス キ ー ム を 開 発 ・ 提 案 す る こ と ができた。

従 来 の 計 算 法 の 中 で 高 精 度 を 有 す る Holly‑Preissrnannス キ ー ム は 、 そ の ス キ ー ム の 中 で 従 属 変 数 と し て 濃 度 だ け で な く 濃 度 勾 配 を 移 流 さ せ る と い う 方 法 を と っ て い た の で 、 多 次 元 へ の 拡 張 性 に 乏 し か っ た 。 こ の 問 題 点 を 解 消 す る た め に 濃 度 だ け を 従 属 変 数 と し て 扱 っ た Six‑pointス キ ー ム を 開 発 し た 。 この 手法は、

計 算 精 度 に お い て は Holly‑Preissrnannス キ ー ム と ほ ぼ 同 程 度 の 精 度 を 保 ち つ つ 、 2次元、 3次 元 問 題 へ 容 易 に 拡 張 で き る 計 算 法 で あ っ た 。

多 次 元 問 題 に お い て も 高 精 度 を 保 つ た め に 、 Six‑pointス キ ー ム に お け る 数 値 誤 差 を 打 ち 消 す 負 の 拡 散 項 を 求 め て 導 入 し 、 改 良 型Six‑pointス キ ー ム と し て 提 案 し た 。 こ の 計 算 法 は 2次元、 3次 元 で も 精 度 の 劣 化 が 非 常 に 少 な い高 精 度 の 計 算 法 で あ っ た 。

最後に、 1階 の 移 流 方 程 式 を 解 く 代 わ り に 2階 の 波 動 方 程 式 を 解 く と い う全 く 新 し い 概 念 、 を 用 い て 高 精 度 の 移 流 計 算 ス キ ー ム 、 SOWMACス キ ー ム を 導 く こ と が で き た 。 こ の ス キ ー ム は 、 用 い る 格 子 点 が 空 間 3点 だ け で あ る た め 、 境 界 付 近 の 取 り 扱 い 方 が 容 易 で 、 か っ 高 い 精 度 を 有 す る 計 算 法 で あ っ た 。 こ の ス キ ー ム の 多 次 元 へ の 拡 張 は 容 易 で 、 少 な い 計 算 時 間 で 精 度 良 く 移 流 の 計 算 を実 行 で き る こ と が 分 か っ た 。

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3.  1  緒 言

第 2章 に お い て は 、 移 流 拡 散 方 程 式 の 高 精 度 計 算 ス キ ー ム に つ い て 考 察 し た。 そ し て 、 い く つ か の 有 力 な 計 算 法 を 開 発 す る こ と が で き た 。 こ の 章 で は 、 前 章 の 結 果 を も と に こ れ ら の ス キ ー ム の い く つ か の 応 用 に つ い て 述 べ 検 討 を 加 え る 。

ま ず は じ め に 、 拡 散 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お い て 必 要 不 可 欠 な 拡 散 係 数 の 評 価 に こ の 高 精 度 移 流 計 算 ス キ ー ム を 用 い た 場 合 に つ い て 考 察 す る 。 第 2章 で 述 べ た よ う に 移 流 の 計 算 は 簡 単 な 差 分 な ど を 用 い る と 到 底 無 視 で き な い 程 の 誤 差 を 生 じ る こ と が 知 ら れ て お り 、 そ の 計 算 に は 十 分 な 注 意 が 必 要 と さ れ て い る 。 乱

流 拡 散 ・ 移 流 分 散 の 小 さ な 湾 な ど の 計 算 で は 、 移 流 の 計 算 か ら 生 じ た 数 値 拡 散 が 実 際 の 拡 散 に 比 べ て 大 き く な る た め 、 計 算 の 正 否 も 比 較 的 容 易 に 判 別 で き る が 、 拡 散 の 大 き な 河 川 な ど で は 数 値 拡 散 と 乱 流 拡 散 ・ 移 流 分 散 の 区 別 が つ か ず 拡 散 を 過 大 評 価 し て し ま う こ と に な る 。 一 方 、 計 算 結 果 と 現 況 を 比 較 し て 鉱 散 係 数 を 決 定 し よ う と す る と き は 、 数 値 拡 散 が 存 在 す る た め に 逆 に 拡 散 係 数 を 過 小 評 価 す る こ と に な る 。

例 え ば 、 博 多 湾 に お い て 水 質 指 標 の 1つ で あ る C 0 Dの 分 布 を 数 値 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン し た 例 に つ い て 見 て み る 。 図 3 ‑ 1は 、 移 流 項 に 1次 精 度 風 上 差 分 ス キ ー ム を 用 い て 計 算 し た 博 多 湾 の C0 D分 布 で あ る 。 第 2章 で 開 発 し た Six‑po i n tス キ ー ム を 用 い て 全 く 同 じ 条 件 の 下 で C 0 D分 布 を 求 め る と 図 3‑ 2の よ う に な る 。 ま た SOWMACス キ ー ム に よ る 博 多 湾 の 拡 散 計 算 か ら も 図 3‑ 2と ほ と ん

‑86  ‑

l A ^{弘 一}

20  18 

16 

14 

12 

(/) 

ミ10

〉ー

10 

COD ( m g /   I )

15  20  25  X‑Axrs 

図 3‑ 1  博 多 湾 に お け る C 0 0分 布 の 計 算 結 果 (1次 精 度 風 上 差 分 ス キ ーム)

(/) 

ー

20  18 

16 

14  12 

を10

〉喝

10 

COD ( m g / I )  

15  20  25  X‑AX r s 

図 3 ‑ 2  博 多 湾 に お け る C 0 0分 布 の 計 算 結 果 (Six‑pointス キ ー ム )

‑87  ‑

1 . . . ‑

ど一致 し た C 0 D 分 布 が得 ら れ て い る。 図 3‑ 1は 図 3 ‑ 2 に 比 べ て 明 ら か に 拡 散 を 過 大 評 価 し て い る と 言 える。 こ の よ う に 数 値 拡 散 の 大 き い ス キ ー ム で は 、 真の 拡 散 以 外 に 数 値 拡 散 が 加 わ る た め 高 精 度 の 拡 散 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は

1 0 1

待 で

き な い 。 本 章 で は 、 第 2章 で 開 発 し た 高 精 度 移 流 計 算 ス キ ー ム を 用 い て 、 潮 流 の 影 響 が 支 配 的 な 内 湾 ・ 内 海 を 対 象 と し て 、 数値 拡散 を 含 ま な い 物 理 的 な 拡 散 係 数 の 値 を 精 度 良 く 評 価 し 、 混 合 現 象 の 空 間 ス ケ ー ル ・ 時間 ス ケ ールに 応 じ た 統一的 で 総 合 的 な 拡 散 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 実 現 を 目 指 す 。

一88‑

3.  2  瀬 戸 内 海 に お け る 物 質 の 分 散 係 数 の 推 定

3 .   2 .   1 

は じ め に

瀬 戸 内 海 に お け る 物 質 の 拡 散 問 題 に つ い て は 、 工 業 排 水 や 家 庭 排 水 に よ る 水 質 の 悪 化 、 赤 潮 の 発 生 等 に よ り 漁 業 面 や 環 境 面 か ら 研 究 の 必 要 性 が 認 識 さ れ 、

さ ま ざ ま な 検 討 が 行 な わ れ て き た 。 和 田 ・ 角 湯 (1974)は 流 速 変 動 の 述 続 出'1定 結 果 か ら 相 関 係 数 を 算 出 し 、 Taylorの 定 理 を 用 い て 10^!icm

2 / s

のorderの 水 平 方 向 の

拡 散 係 数 Kx、 Kyを 求 め て い る 。 杉 本 ・ 樋 口 (1972)や 上 嶋 ら (1982)は 1次 元 拡 散 方 程 式 を 用 い て 水 理 模 型 に よ る 拡 散 実 験 の 結 果 を 解 析 し 、 内 海 の 拡 散 係 数 ・ 分 散 係 数 を 求 め て い る 。 ま た 、 瀬 戸 内 海 に 潮 汐 残 漬 還 流 モ デ ル を 適 用 し て 鉱 散 係 数 を 評 価 す る 試 み も 行 な わ れ て い る ( 玉 井 ・ 早 川 (1975)，玉井 (1976))。

一 方 、 速 水 ・ 宇 野 木 (1970)は 瀬 戸 内 海 全 体 に 渡 っ て 拡 散 係 数 を 一 定 と 仮 定 し

て 1次 元 拡 散 方 程 式 の 解 を 求 め 、 河 川 水 の 流 入 に よ り 希 釈 さ れ た 海 水 の 塩 分 濃 度 分 布 と 照 合 す る こ と に よ り 分 散 係 数K=10⁷cm²/sを 得 て い る 。 し か し な が ら 極 め て 複 雑 な 地 形 と 潮 流 を も っ 瀬 戸 内 海 で た と え 1次 元 的 な 取 り 扱 い に し て も 拡 散 係 数 が 一 定 と い う こ と は あ り 得 ず 、 よ り 詳 細 で か っ 正 確 な 場 所 ご と の 拡 散 係 数 ・ 分 散 係 数 の 評 価 ・ 算 定 が 望 ま れ て い る 。

本 節 で は 、 場 所 ご と の 代 表 流 速 ・ 代 表 長 さ か ら 拡 散 係 数 を 評 価 す る こ と を 試 み、 1次 元 拡 散 方 程 式 を 移 流 項 の 数 値 拡 散 の 影 響 も 考 慮 し て Six‑pointス キ ー ム 等 の 高 精 度 ス キ ー ム を 用 い て 数 値 計 算 法 に よ り 解 析 し 、 塩 分 濃 度 分 布 の 実 測 値

に 最 も 良 く 一 致 す る 拡 散 係 数 を 場 所 ご と に 決 定 す る 。

‑89  ‑

3.  2.  2 瀬 戸 内 海 の 自 然 条 件

( a ) 地 形

周 防 灘 か ら 大 阪 湾 ま で を 含む 瀬戸内 海 は 関 門、 豊 予、 鳴 門、 紀 淡 の 4つ の 海 峡 で 外 海 と 結 ば れ 、 東 西 約 450km、 南 北 お よ そ 18‑‑‑50km(平 均 は 約 33km)程 皮 で、 地 形 は 極 め て 複 雑 に 入 り 組 ん で い る 。 瀬戸内 海 に は 大 小 約 3、000の 島 が 存 在 し、 流 れ や 拡 散 の 現 象 を 一 段 と 複 雑 に し て い る 。

本 節 で は 瀬 戸 内 海 と 外 洋 の 海 水 交 流 を 考 え て い る の で 、 こ こ で は豊 後水道 や 紀 伊 水 道 を 含 め て 取 り 扱 う こ と に す る 。 速 水 ・ 宇野 木 (1970)に 倣 って 図 3‑3 

に 示 す よ う に 20km間 隔 の 計 算 格 子 点 を も ち 、 豊 後 水 道 と 周防 灘 の 交 点 (T )か ら 始 ま る 東 向 き の 1次 元 座 標 xを 考 え る 。 そ し て 、 豊 後 水 道 の南端 か ら交点 (T )  ま で を X l座 標 、 関 門 海 峡 か ら 交 点 (

T 

)までを X 2座 標 と す る 。 鳴 門 海 峡 は 断 面 積 が 紀 淡 海 峡 の 1/13と 小 さ く 、 播 磨 灘 に 流 出 入 す る 潮 流 も 明 石 海 峡 か らの方 が 圧 倒 的 に 大 き い こ と が 分 か っ て い る ( 和 田 ・ 角 湯 (1974)) の で 本 解 析では 無 視 す る 。 表 3‑ 1に 図 3‑ 3の 各 格 子 点 の 断 面 積 と 海 面 幅 を 速 水 ・ 宇野 本 (1970)

図 3 ‑ 3  瀬 戸 内 海 と 断 面 座 標

ドキュメント内 大串, 浩一郎 (ページ 86-115)