を 30

> ‑ ‑

20 

10 

0 

o 

5  10  15 km 

Kagoshima  Bay 

o 

5  10  15202530354045 

X‑AXIS 

C l   ( r o o )  

「

^{ーーーーーーーー rnin.‑max.. (measured)} 

18.4 

、

_sh 

= 

40 (calculaled) 

ロ 30 

18.2  18O  17.8 

‑ ̲  ー

17.4 

3  5  7  9 11  13  IS  17  19  21  Measured Point 

23 

図 3 ‑ 1 7  鹿 児 島 湾 に お け る 塩 分 濃 度 分 布 の 計 算 値 と 実 測 値 の 比 較 一111 ‑

3.  3.  4  ま と め

渦 動 粘 性 係 数 、 渦 動 拡 散 係 数 に 対 す る 式 (3.16)のβ hの値は、 β b= 10^.‑...， 40が 得 ら れ た 。 β bは 海 水 の 成 層 化 や風 の 影 響 を 受 け る と 増 加 す る 傾 向 に あ る。 こ れ

ら の フ ァ ク タ ー が β bの 値 に ど の く らい影 響 を 与 える か は、 今 後 の 研 究 テ ー マ と したし¥ 0

β bの 値 を 用 い る こ と に よ っ て 、 潮 流 が 支 配 的 な 湾 に お け る 流 れ や 拡 散 の特牲 に 関 し て 前 も っ て 何 の 知 識 も な い 場 合 で さ え 、 潮 流 と 物 質 拡 散 の計 算 を行 う こ と が 可 能 と な っ た 。

‑ 112  ‑

3.  4  結 言

こ の 章 で は 、 移 流 の 高 精 度 計 算 法 と し て 前章で 開 発 し た Six‑pointス キ ー ム を 水 域 の 拡 散 問 題 へ 応 用 し た 。

まず、 1次 元 移 流 拡 散 問 題 と し て 瀬 戸 内 海 を 取 り 上 げ 、 Six‑pointス キ ー ム を 用 い た 塩 分 濃 度 分 布 の 計 算 解 と 実 測 値 を 比 較 し 、 瀬 戸 内 海 の 場 所 毎 の 拡 散 係 数 を 推 定 す る こ と が で き た 。 こ の 方 法 に よ り 、 実 際 の 水 域 に お け る 場 所 毎 の 代 表 流 速 ・ 代 表 長 さ を 用 い る こ と に よ り 、 容 易 に 1次 元 の 拡 散 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 う こ と が 可 能 と な っ た 。 ま た 、 こ の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ り 瀬 戸 内 海 の 恒 流 流 量 の 大 き さ と 方 向 が 推 定 で き た 。

次に、 2次 元 移 流 拡 散 問 題 と し て 博 多 湾 、 有 明 海 、 鹿 児 島 湾 に お け る 潮 流 と 物 質 拡 散 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 っ た 。 計 算 で 用 い る 渦 動 粘 性 係 数 や 渦 動 拡 散 係 数 を 場 所 毎 の 代 表 流 速 、 代 表 長 さ の 積 で 表 し 、 Six‑pointス キ ー ム に よ る 計 算 解 と 実 測 値 の 比 較 か ら そ の 比 例 定 数 を 求 め た 。 得 ら れ た 結 果 を 用 い る こ と に よ

り 従 前 の 流 れ や 拡 散 能 の 情 報 が な い 場 合 で も 、 収 束 計 算 に よ っ て 潮 流 と 物 質 拡 散 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 う こ と が 可 能 と な っ た 。

以 上 の よ う に 、 こ の 章 で は 、 内 湾 ・ 内 海 等 、 潮 汐 が 拡 散 現 象 に 大 き く 影 響 す る 水 域 に お け る 拡 散 係 数 ・ 分 散 係 数 の 評 価 法 を 開 発 で き た 。 こ れ は 、 前 章 で 新 た に 開 発 ・ 提 案 し た 移 流 の た め の 高 精 度 計 算 ス キ ー ム を 用 い る こ と に よ っ て 初 め て 可 能 と な っ た も の で あ っ た 。

‑113  ‑

4.  1  緒 言

芸高 4  J零ヨー^{ニコe zュ}

~~三車泉主旦言十手~~α〉主広弓長

平 均 流 に よ る 物 理 量 の 輸 送 、 即 ち 移 流 は 、 水 理 学 の 実 際 的 な 問 題 に お い て ￡ 要 な 役 割 を 果 た す こ と が 多 い 。 河 川 や 湖 沼 に お け る 物 質 輸 送 の 問 題 や 、 開 水 路

の 非 定 常 問 題 に お い て 、 質 量 や 運 動 量 の 保 存 式 は 移 流 項 を 含 ん で い る 。 そ れ ら の 移 流 項 は 正 確 に 評 価 さ れ な け れ ば な ら な い に も か か わ ら ず 、 そ の 数 値 的 取 り 扱 い は 非 常 に 困 難 で あ る 。 近 年 、 拡 散 方 程 式 等 の 線 型 の 移 流 方 程 式 の 計 算 に お い て は 、 特 性 曲 線 法 に 基 づ い た い く つ か の 精 度 の 良 い 計 算 法 が 開 発 さ れ て き た

(Holly‑Preissmann(1977)， Komatsu  et  al. (1985))

。

一 方 、 非 線 型 移 流 に つ い て は 、 例 え ば 、 開 水 路 非 定 常 流 に つ い て 見 る と 、 ダ ム破壊、水門の緊急開放・閉塞等によって生じる時間的変化の急な流れは、 ~I:

線 型 移 流 項 の 卓 越 し た 流 れ で あ り 、 水 面 等 の 不 連 続 部 を 形 成 す る こ と が 多 い 。 不 連 続 部 を 境 に し て 上 流 と 下 流 で 流 れ の 性 質 が 異 な り 、 全 て の 領 域 を 単一の 数 値 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン で 精 度 良 く 解 く の は 非 常 に 困 難 で あ り 、 こ の よ う な 流 れ の 数 値 計 算 法 は ま だ 十 分 に は 確 立 さ れ て い る と は 言 え な い 。

Toda‑Holly(1988)は 、 特 性 曲 線 法 に 基 づ い た IIolly‑Preissmannス キ ー ム を 非 線 型 方 程 式 の 解 法 へ 拡 張 し 、 線 型 の 場 合 と 問 機 高 い 精 度 で 計 算 が 可 能 な こ と を 示 し た^o しかし、 こ の 方 法 は 、 各 格 子 点 で 各 時 間 ス テ ッ プ 毎 に ク ー ラ ン 数 に 関 す る 3 次 方 程 式 を 解 く 必 要 が あ り 、 特 に 純 粋 移 流 の 場 合 に は ク ー ラ ン 数 の 値 に 対 す る 制 約 が 厳 し か っ た 。 ま た こ の ス キ ー ム の 性 質 上 、 従 属 変 数 の 勾 配 ま で 移

一114 ‑

‑E 哩 国 圃 圃 園 田 園 田 岡 F

流 計 算 す る 必 要 が あ り 、 結 果 と し て 精 度 を 落 と し て し ま う 可 能 性 が 大 き か った。

本 章 で は 、 著 者 ら の 開 発 し た Six‑pointス キ ー ム CKornatsuet  al. (1985)) を 非 線 型 の 場 合 に 拡 張 す る こ と に よ っ て 、 Toda‑Hollyス キ ー ム 以 上 の 高 精 度 を 有

し か っ 計 算 が 大 幅 に 簡 単 化 さ れ た 新 し い計 算 法 を 提 案 す る 。 そ し て 、 上 述 の 非 線 型 移 流 項 の 卓 越 し た 不 連 続 部 を 形 成 す る 流 れ の 数 値 計 算 に 適 用 し て そ の有 効 性 を 検 証 す る 。

4.  2  1次 元Burger's方 程 式 に 対 す る 高 精 度 数 値 計 算 ス キ ー ム の 開 発

4.2.1  Six‑pointス キ ー ム の 非 線 型 移 流 計 算 へ の 拡 張

ま ず 、 最 も 簡 単 な 非 線 型 方 程 式 の 1つ で あ る 1次 元 の Burger's方 程 式 の計 算 に つ い て 検 討 す る 。

8u θU  8²u 

一 一8 

t . ‑ + u ‑

一8x 一一 = ν てー‑;‑8x G  (4.1) 

ここで、 U (x， t)は流速、 νは 拡 散 係 数 で あ る 。 こ の 方 程 式 は 、 Navier‑Stokes 方 程 式 の 非 線 型 性 と 同 様 の 性 質 を 持 ち 、 乱 流 ・ 衝 撃 波 の 問 題 の 原 型 方 程 式 と 見 な さ れ て 差 分 法 の 精 度 の 検 証 等 に 利 用 さ れ て 来 た 。 式 (4.  1)の 特 性 曲 線表 示 は

互

_d 

主

_t 

=

u(_‑‑，‑χ_‑， ， t ) 

上で

^du _{dt ー ν3χ2}^82u  (4. 2) 

である。 こ こ で は 、 移 流 と 拡 散 を 各 時 間 ス テ ッ プ 毎 に 各 々 別 個 に 取 り 扱 う ス プ リ ッ ト ・ オ ペ レ ー タ ー ・ ア プ ロ ー チ を 採 用 す る こ と に よ っ て 、 各 々 の 計 算 に 対 し て 最 良 の 計 算 ス キ ー ム を 選 ぶ こ と を 可 能 に し た 。 し た が っ て 、 数 値 計 算 が 難 し い と さ れ て い る 以 下 の よ う な 非 線 型 移 流 に つ い て だ け 独 立 に そ の 計 算 法 を工 夫 す る こ と が で き る 。

互 主 =

^U (X

， 

t) 

上で

dt  ^{(4.  3)} 

‑ 115  ‑

tn+1 

η 

_{(XI， tn+ 1 )} 

/ 

/ 

/  ^x 

、.

t n  

XI・1 XI  XI+1 

図 4 ‑ 1 1次 元 計 算 格 子

式 (4.  3)は 特 性 曲 線 上 で 流 速 u 一 定 を 意 味 し て い る 。 図 4‑ 1に お け る 破 線 は 、 点 η ( x1， 

t 

D+1)に 到 達 す る 特 性 曲 線 を 表 し て お り 、 こ の 曲 線 の

t

= 

t 

nに お け る 位 置 を ど と す れ ば 次 式 が 得 ら れ る 。

U~+1

= 

^Uり

=

u~ (4. 4) 

こ こ で 、 添 字 nは 時 間 tDを表し、 iは 計 算 格 子 点 X Iを表す。 u ヮ， U t は 各 々 、 特 性 曲 線 の η、 ξに お け る 流 速 で あ る 。

Six‑point

ス キ ー ム は 、 こ の 格 子 上 に な い 流 速 uを 格 子 上 の 既 知 の 他 で 内 挿 す る 方 法 で あ る

CKomatsu e t   a

l. 

(1985))

。

u~

=  ao + a1α+ a2α2 + a  3α3 

^{a nu z  rhd  ︑ ︑ ︐ f}

︐ ︐ ︐ ︑

ここで、 αは ク ー ラ ン 数 、 a ^0........  a ³は 計 算 格 子 上 の 既 知 の 流 速 の 値 か ら 求 ま る 係 数 で あ る 。

しかし、 こ こ で 、 ク ー ラ ン 数 αは 、 残 念 な が ら 未 知 数 で あ り 、 移 流 の 計 算 を

Six‑point

ス キ ー ム を 用 い て 計 算 す る た め に は 従 属 変 数 で あ る 流 速 uと 直 段 関 係 す る こ の ク ー ラ ン 数 を ま ず 評 価 し な け れ ば な ら な い 。

Toda‑Holly (1988)

は、

Holly‑Preissmann

ス キ ー ム に 基 づ い た

3

次 方 程 式 を 解 い て αの 値 を 求 め て い る が 、 本 節 で は 、 第 1近 似 と し て 式 (4.1)の 左 辺 を 保 存 型 表

‑ 116  ‑

示 したのち、 後 方 差 分 を 用 い て ク ー ラ ン 数 を 決 定 し た 。 こ う し て 得 ら れ た ク ー ラン 数 を Six‑pointスキ ー ム に 代 入 し て 再 度 流 速 uを計算し、 IILj者 の おj

i l l  

_{~F. j~} Jを 最終 的 な uの 値 と し た。 すなわち、

u?1=κu? 吋+

(1一

κ

)U

c

つ 二

^{n  ム}

^t(  ( t C   ) 

^{2  (} 

t C

‑l) 2 ¥ 

uγ

= 

^{Uγ 一 一一一一￨一一一一一一一} 一 一 一 一 一 ￨

ムχ¥

2  2  } 

U

c  = 

aO + alα+ a2α2 + a 3α3 

(4. 6) 

α 

4 ι

一ム一

γA

M

u

一 I一ム

多 く の 数 値 実 験 の 結 果 、

l

次 元

Burger

・

s

方 程式 に 対 し て は荷 重

κ =O .  7 2

が 肢 も 良 い 結 果 を 与 え た 。

4.  2.  2 衝 撃 波 の モ デ ル 計 算 例

前 節 で 導 い た 非 線 型 方 程 式 の 計 算 法 を 用 い て 、 い く つ か の 厳 密解 が 分 か つて い る 非 線 型 の モ デ ル 計 算 を 行 い 、 そ の 適 用 性 に つ い て 検 討 し た 。 そ の う ち の 例 に つ い て こ こ で は 紹 介 す る 。

拡 散 な し に 下 流 へ 伝 わ る 理 想 化 さ れ た 衝 撃 波 (Lax(19S4)) を考 える 。 こ れ は 急 、 峻 な フ ロ ン ト を も っ 波 の 伝 播 の一例 で あ る 。 初 期 条 件

nunu <注一

n u n u  

x x  

一一 χ χ  

1 0  

ri﹄

la EJ

︑ ・

・

1a

'i︑

n 一 一

U 

χ 

u 

( 4. 7) 

の 時 、 解 析 解 は 次 の よ う に 求 ま っ て い る 。

r 

1  ( (χ ‑

x 

0)/ 

t

豆1/2)

U(

χ

，  t )   = 

~

L 0  (( 

x  ‑x 

0) / 

t  > 

1/2)  ^(4. 8) 

式 (4.8)は 、 解 析 解 が 波 速1/2で 下 流 へ 伝 播 す る 不 連 続 波 で あ る こ と を 示 して い る 。 計 算 条 件 は 、 以 下 の よ う で あ る 。

‑ 117  ‑

Case a‑l:  sx=O.Ol

， 

Case 

a‑2:

ム

χ=0.0

，1

ム

t =0.0

 ，1

t  = 0 .  2 ，  0 . 4 ，  0 . 6  

ム

t = 0 . α E ，  t  = 0 .  2 ，  O .  4 ，  0 . 6  

共 通 の パ ラ メ ー タ ー と し て xo‑2fix、 境 界 条 件 u (O，t)=1.0を丹]t、 た 。 図 4

‑ 2はCase a‑1の 計 算 結 果 で あ り 、 図 4‑ 3はCase a‑2の 計 算 結 果 で あ る 。 図 4 ‑ 2に は 比 較 の た め に Lax‑Wendroffス キ ー ムの 計 算 結 果 も 描 か れ て い る 。 Lax‑Wendroffス キ ー ム で は 、 位 相 誤 差 は あ ま り な い代 わ り に 振 幅 誤 差 が 見 ら れ

る。 一方、 Toda‑Hollyス キ ー ム や 式 (4.  6)に よ る 計 算 結果 は 振 幅 誤 差 lこ 対 し て は 非 常 に 良 い 精 度 を 示 し て い る 。 た だ 、 Toda‑Hollyス キ ー ム は式 (4. 6)の ス キ ー ム に 比 べ て よ り 大 き い 位 相 誤差 が あ る 。 ま た 、 図 4 ‑ 3で は、 Lax‑Wendroffス キ ー ム は 大 き い 位 相 誤 差 を 生 じ 、 一 方 、 そ の 他 の ス キ ー ム はCasea‑1と 同 械 の 精 度 の 良 い 結 果 を 与 え て い る 。

t4 

1.2  ^Ml.2  0.4  0.6 

¥.0  ^'f4 h ・ ， ハ，h  ， 'A h 

、t _可

11'，  0.6 

u  0.6  Q4 

0.2 

00 

。

10  20 

. 

30  COMPUTATIONAL GRID INTERVALS 

‑0.2 

40 

ytにaJ ωlon  WendroH 

Tα1a‑HoIty  (4.6) 

図 4‑2  急 峻 な フ ロ ン ト を も っ 波 の 伝 播 (Case a‑l) 

‑118 ‑

t4

， 

1 

^AX‑‑o.Ol 

1.2ト ^.:11‑0α)5 

1".  I・

一~.-tl

)へい，

anal凶 叫

0.6  olutlon 

u  ^{・M・・・陶‑‑‑圃.̲田}_l^・_a.^・圃.̲_x^・_.WendroH  0.6  t:O.2  0.4  0.6  一 一 ー ー

T叫aHolly Q4  ^{.固胆・・園町恒・‑‑‑‑ーー圃・圃恒‑唱・‑}

Eq.(4.6)  02 

0.0 

I o  

_{¥0  20  30  40} 

COMPUTATlONAL GRID INTERVALS 

‑0.2 

図

4‑ 3 

急 峻 な フ ロ ン ト を も っ 波 の 伝 播

( C a s e a ‑ 2 )  

一119 ‑

4.  3  非 線 型 移 流 項 の 車 越 し た 流 れ の 計 算 へ の 適 用

洪 水 流 に 代 表 さ れ る よ う な 時 間 的 変 化 の 緩 や か な 、 不 連 続 部 の な い 流 れ に お い て は 、 既 に い く つ か の 数 値 計 算 法 が 利 用 さ れている 。 一 方、 不 連 続 部 を 含 む 、 時 間 的 変 化 の 激 し い 流 れ に お い て は 非 線 型 移 流 項が 卓越し、 通 常 の 数 値 計 算 法 で は 実 用 に 適 さ な い 場 合 も 起 こ り う る 。 本 研 究 で は 、 前 節で 得 ら れた 計 算 手 法 を 非 線 型 移 流 項 の 卓 越 し た 流 れ の よ う な 厳 し い 条 件 の 下 で 適 用 し 、 段 波 等 の モ デ ル 計 算 を 行 な っ て そ の 精 度 を 検 証 し た 。

4.  3.  1 非 定 常 1次 元 関 水 路 流 れ の 数 値 計 算 法

St.  Venantの 仮 定 に 基 づ く 1次 元 開 水 路 の 非 定 常 流 れ の 支 配 方 程 式 は 次 式 で 表 わ さ れ る 。 た だ し 、 水 路 は 一 様 断 面 で 摩 擦 の な い 水 平 な 開 水 路 で あ る と す る 。

n u  

q

一χ

一 一

内ぴ

+ 

三U

h一‑ t

内U三U ( 4.  9) 

n u  

h g一

2

3

+ 

一 白

ポ 一

h

3一白

+ 

n u A

一4 ι

内U三U (4.10) 

ここで、 qは 単 位 幅 当 り の 流 量 、 hは水深、 gは 重 力 加 速 度 を 示 し て い る 。 方

程 式 (4.10)を 特 性 曲 線 表 示 す る と 、

で

上

q

一h9・U

d一d χ一

t 一 一 7 2 + ( g ト自立 ^{= 0}

^{t︐ ︐}

^︑

^{an官 • ‑ ‑ epSA  ︑ ︼/}

で あ り 、 特 性 曲 線 上 で 上 式 を 積 分 す る と 次 式 が 得 ら れ る 。

4' b 

d 

q

一h

9U  

明H i

︐ ル 炉

︑

M

a ' t ν

︐ ︐ ι 

f t j  

ル

一 一

炉︑ s

x 

明H︐χ  nU 

Au  

h一χ

内び

一

d

_μ 三d

‑ n  

H

g r a

‑ ‑E E

︐J 

+ 

n u z   n u A  

︑ ︐ ︐

Jn︐b 

'i  

a nu

忌

︐ ︐ ︐ ︑ ︑

ここで、 どと ηは、 4.  2と 同 様 に 特 性 曲 線 の 出 発 点 と 到 着 点 を 表 わ す 。 どに お け る 水 深 ht と 単 位 幅 流 量 qt を 1次 精 度 風 上 差 分 ス キ ー ム と Six‑pointスキ

一120‑

ー ム の 荷重 平均 と し て 求 め て 式 (4.9)と(4.12)を 差 分 化 す る と 次 式 が 得 ら れ る 。

︑ ︑ IJ

円︑u

1i

a ‑  

n uz  

‑

‑ ︑

(  rl n+l・ー̲rl n+l  ，... n ̲̲  ，... n i 

+↑θ4 ム→+(1ーθ)~ ぷ川 =0

⁝ ω 

( 附 (

^q7+1)21 げ -h7~:

9 

h i

一_(h 

7 +

¹) 2 J「 ムχ

q7+¹‑ q 

c  + 

(4.14) 

κ

h c   + 

(1ー κ

) hc

. . . . . .   ....  ，‑

<.....  <.....  tt.. 

κqc +O‑IC)qc  h 

t= 

工 百 二 =五五

ム

t

(q7ー1 ‑q7 ) 

+ 

h7  qc 

= 

hg= 

ム

t r 

(q 

7  ) 

^{2  (} q 

7 ‑ 1 ) 

² 

1 

s 

t  I 

9 ( J' n ¥ ?   J' n ¥ ?  1 

1 

一一一{

_{ム x}

_l h 

7 

ー h 

7 ‑ 1   J 

ト一一sx 一1L :{

2  "

(h7)

.  ‑ " 

2ー (， h . ‑

7 ‑ 1

，‑"

) 

 2} 

' J   1 + 

q 

7 

q7+¹

一

一

q c   = 

ー‑ 3

a 3 α 

一一2

+ 

a 2 α 

+ 

a o  + 

h 

f= 

b

3

α 

3 

a 1 α  

+ 

=  2 

_一

_{~ム t}

_一一

=2 _~

一一q 

c

一 ‑

ム t

h

以 耳 ム

^χ

一一 2

b2

α 

b1

α +  

dχ ム

t

dt

ム

χ

bo 

+  q c   = 

α 

b 0........  b 3は 式 中 の a0........  a 3は 水 位 hj (j=i‑3. i‑2

， . . . .  

i+2)よ り 求 ま る 係 数 で 、

。は時 間 単 位 幅 流 量 Q j (j=i‑3. i‑2... i+2)に よ り 求 ま る 係 数 で あ る 。 また、

方 向 の 重 み 係 数 で あ る 。

式 (4.14)は 非 線 型 で あ る た め hn + 1とQ n + 1に つ い て こ の ま ま で は 解 け な い。 し た が っ て 線 形 化 す る た め 次 の 式 を 仮 定 し 、

︑︑ ︐

Jr︑U 4EA •

8q   t︐ ︐

︑

h7 

+

ムhi

q7 

+ ム

qi h?+1= 

q7+¹_一

一

‑ 121 

ドキュメント内 大串, 浩一郎 (ページ 117-139)