第五章 2・3ply における積層効果の確認
5.4 シミュレーションされた 2･3ply のヤング係数分布を用いた 2･3ply 強度分布(母集団
82
た 2･3 個のr1、r2及びr3を、それぞれ 2･3 次元ベクトル 、 及び と表す。
④ (Pe1, Pe2)を用いて の各要素を変換49,50)して 2･3 個のEhの値とし、これらを要素とす る 2･3 次元ベクトルを と表す。ただし、(Pe1, Pe2)は表 5.2に示すEhのパラメータ のうち、①で選択した分布の組み合わせによるパラメータを用いる。
⑤ (Pf1, Pf2)を用いて の各要素を変換49,50)して 2･3 個のFhの値とし、これらを要素とす
る 2･3 次元ベクトルを と表す。ただし、(Pf1, Pf2)は表 5.2に示すFhのパラメータ のうち、①で選択した分布の組み合わせによるパラメータを用いる。
⑥ (Pt1, Pt2)を用いて の各要素を変換49,50)して 2･3 個のFtの値とし、これらを要素とす
る 2･3 次元ベクトルを と表す。ただし、(Pt1, Pt2)は表 5.2に示すFtのパラメータの うち、①で選択した分布の組み合わせによるパラメータを用いる。
⑦ 積層数 2･3 と の各要素を(3.3)式に代入し、Eh(2・3)の計算値を求める。
⑧ 積層数 2･3、Eh(2・3)の計算値、 、 及び の各要素を(3.22)式に代入し、Fh(2･3)の計 算値を求める。
⑨ ②～⑧を 500 回繰り返し、Eh(2・3)とFv(2･3)の計算値を 500 組求める。
⑩ ⑨で求められた 500 組の計算値のうち、500 個のEh(2・3)の分布をED(2・3)calとし、500 個
のFh(2･3)の分布をSD(2･3)calとする。
5.4 シミュレーションされた 2･3ply のヤング係数分布を用いた 2･3ply 強度分布(母集団
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示したが、同図を見ても、3ply のEh(2・3)の範囲が 1ply のEh及び 2ply のEh(2・3)の範囲の下 方に偏る結果となった。この理由は、積層数が増す毎に試験体も大きくなり、大きさと量 に限りがあるLVL残部からの採取が難しく、試験体数の確保に限界があったためと考えら れる。以上より、SD(2･3)exも母集団分布から偏っている可能性があり、そのままSD(2･3)exを
SD(2･3)calとの比較に用いることはできないと考えた。
図5.2 S D
(2･3)calcと S D
(2･3)ex-Pとの比較.
注： ED(2･3)calc, SD(2･3)calc, SD(2･3)ex-P：表5.1を参照。
1plyの実験値
10 12 14 16 18 20
平使い方向の曲げヤング係数 （kN/mm2） 0
50 100 150
強度（N/mm2）
ED(2・3)calc
SD(2・3)calc
SD(2・3)ex-P 最尤法で推定した実験値
の母集団分布の範囲
シミュレーションによる 強度分布の範囲 図5.1 縦使い方向の曲げヤング係数と曲げ強度の関係
0 40 80 120 160
8 10 12 14 16 18 20
曲げ強度(N/mm2)
曲げヤング係数(kN/mm2) 1ply 2ply 3ply
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そこで、図 5.2に示すように、ED(2・3)calを用いて 2･3ply の実験値が最も確からしいと考 えられる強度分布SD(2･3)ex-P (SD(2･3)exの母集団分布と考えられる)を最尤法54)により推定し、
ヤング係数分布が共通となる SD(2･3)calとの比較を行うこととした。SD(2･3)ex-Pを求める方法 は、以下のとおりである
① 確率変数(x1, x2)の同時確率密度関数f1(x1, x2)は、次式で表される55)。 𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 1
2𝜋√1 − 𝜌02exp {− 1
2(1 − 𝜌02)(𝑧12− 2𝜌0𝑧1𝑧2+ 𝑧22)}𝑓1(𝑥1) 𝜑(𝑧1)
𝑓2(𝑥2) 𝜑(𝑧2)
(5.1) ここで、x1：2.3ply の曲げヤング係数を表す確率変数
x2：2.3ply の強度を表す確率変数 φ(･)：･の標準正規分布関数
z1：x1の任意の値で累積確率及び確率密度の値が等しい 等価な正規変数
z2：x2の任意の値で累積確率及び確率密度の値が等しい 等価な正規変数
f1(x1)：x1の確率密度関数 f2(x2)：x2の確率密度関数 ρ0：x1とx2の相関係数
② x1及びx2の確率分布として、N、LNまたは2PWの何れかを仮定する。これらの統計分 布は何れも 2 次のパラメータを持つことから、次のことが定義される。
αi：fi(xi) (i=1,2)の分布のパラメータで、fi(xi) (i=1,2)がN、
LNの場合は平均値、２PWの場合は尺度パラメータ を表す
βi：fi(xi) (i=1,2)の分布のパラメータで、fi(xi) (i=1,2)がN、
LNの場合は標準偏差、2PWの場合は形状パラメータ を表す。
③ 以上より、(5.1)式のパラメータは 5 次元ベクトル(α1,β1,α2,β2,ρ0)で表されるが、(α1,β1)
はED(2・3)calのパラメータとなる。
④ N、LN及び2PWの 3 通りの仮定の元で5.3に従いED(2・3)calを算出し、それぞれ分布の パラメータを求める。
⑤ ④に従い求めた 3 通りの分布のパラメータは ED(2・3)calの計算値を用いて K-S 検定を行 い、最も適合した分布のパラメータを用いて(α1,β1)を固定する。
⑥ (α1,β1)が既知となったことから、3 次元ベクトルP＝(α2,β2,ρ0)を最尤法53)の推定対象とする。
⑦ 実験値(x1-1, x2-1),…,(x1-N, x2-N)による尤度関数𝐿 = ∏𝑁𝑖=1𝑓(𝑥1−𝑖, 𝑥2−𝑖)を最大にするPを求 めるが、これは次式のLL=－logLを最小にすることと同義である。
𝐿𝐿 = 𝑁log(2𝜋) +𝑁
2log(1 − 𝜌02) + 1
2(1 − 𝜌02)∑(𝑧1−𝑖2− 2𝜌0𝑧1−𝑖𝑧2−𝑖+ 𝑍2−𝑖2)
𝑁
𝑖=1
85 − ∑ log{𝑓1(𝑥1−𝑖)}
𝑁
𝑖=1
+ ∑ log{𝜑(𝑧1−𝑖)}
𝑁
𝑖=1
− ∑ log{𝑓2(𝑥2−𝑖)}
𝑁
𝑖=1
+ ∑ log{𝜑(𝑧2−𝑖)}
𝑁
𝑖=1
(5.2)
⑧ LLを最小にするPは、(5.2)式をα2、β2、ρ0のそれぞれで偏微分して 0 と置いた(5.3)式の 非線形連立方程式を解くことにより求められる。ただし、(5.3)式を解析的に解くこと は不可能なので、Newton法による数値計算の収束値をPの推定値とする。
{
𝜕𝐿𝐿 𝜕𝛼⁄ 2 = 0
𝜕𝐿𝐿 𝜕𝛽⁄ 2 = 0
𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜌⁄ 0 = 0
(5.3)
⑨ x2の分布がN、LN及び2PWの 3 通りの仮定の元で、①～⑧に従いP＝(α2,β2,ρ0)の推定 値を求める。
⑩ ⑨による 3 通りの推定値のうち、LL の残差二乗和が最小となる推定値のパラメータ (α2,β2,ρ0)を、2･3ply の強度母集団分布のパラメータ(の一部)とする。
⑪ α2とβ2で表される分布をSD(2･3)ex-Pとし、ρ0をED(2・3)calとSD(2･3)ex-Pの相関係数とする。
5.4.2 推定した強度分布のパラメータ
2･3ply については、5.4.1のアルゴリズムに従い推定した母集団を実験値として用いる。
従って、Eh(2･3)、Fh(2･3)、Fv(2･3)、Ft(2･3)及びFc(2･3)の各実験値は、N、LNまたは2PWの 3 通 りとなるEhの実験値の分布毎に、ED(2･3)calとSD(2･3)ex-Pを算出した。その結果、Fh(2･3)につ いては表 5.4に示したが、同表の分布のパラメータのうちEh(2･3)がED(2・3)calを表し、Fh(2･3)
がSD(2･3)ex-Pを表す。以下同様に、Fv(2･3)については表 5.5に、Ft(2･3)については表 5.6に、
Fc(2･3)については表 5.7に示した。
以上より、Fh(2・3)については、Fh(2・3)については、0 以上 1未満の独立一様乱数を 500組発生
35)させ、それぞれ表 5.4に示す 2ply または 3ply の強度分布のパラメータに従う 2 個 1 組の 有相関乱数に変換35,49,50)する。そのうち 500 個のEh(2・3)の分布をSD(2･3)calと共通のED(2・3)cal とし、500 個のFh(2・3)の分布をSD(2･3)ex-Pとする。また、Eh(2・3)とFh(2・3)の実験値の分布の組 み合わせは表 5.4に示すとおり、2ply と 3ply の別に 3×1=3 通りとなるので、この組み合
N N LN 14.33 (kN/㎜2) 1.54 (kN/㎜2) 0.64 194.67
LN LN LN 0.56 196.69
2PW 2PW LN 14.96 (kN/㎜2) 0.67 196.33
N N LN 14.26 (kN/㎜2) 1.35 (kN/㎜2) 0.75 108.80
LN LN LN 0.76 109.26
2PW 2PW LN 14.92 (kN/㎜2) 0.80 108.67
注：
2.66
4.57 0.22 2.66 0.10 4.58 0.22 積層数
分布 パラメータ
残差二乗和
Eh Fh(2・3)
Eh(2・3) (SE(2・3)Calc) Fh(2・3) (SD(2・3)ex-P)
ρ
P1 P2 P1 P2
Eh(2・3)
表5.4 最尤法で推定した2plyと3plyの強度の母集団分布のパラメータ１
－平使い方向の曲げ強度－
N, LN, 2PW, Eh, Eh(2・3), Fh(2・3)：表5.1を参照。 P1：分布がNとLNの場合は平均値、2PWの場合は尺度パラ メータを表す。 P2：分布がNとLNの場合は標準偏差、2PWの場合は形状パラメータを表す。ρ：Eh(2・3)と2・3 plyの 強度との相関係数を表す。
2ply
4.55 0.25 0.10 4.54 0.24 11.03 4.54 0.25
12.15 4.59 0.25 3ply
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わせに従いED(2・3)calとSD(2･3)ex-Pを算出する。以下同様に、Fv(2・3)は表 5.5に、Ft(2・3は表 5.6 に、Fc(2・3)は表 5.7に示すパラメータにそれぞれ従い、ED(2・3)calとSD(2･3)ex-Pを算出する。2ply と 3ply の別に算出する分布の組み合わせも、Fh(2・3)と同様に 3×1=3 通りとなる。