ガウスの法則とコンデンサー - はじめに本チャレンジガイドは, 物理チャレンジに挑戦しようと考えているチャレンジャーに, どのように物理を学習したらよいか, その指針を示すテキストとして

静電場を考える上で重要な法則であるガウスの法則を考える。ガウスの法則は，電気力線を考えることにより，クーロンの法則から導かれる。

2.1 電気力線とガウスの法則 (1) 電気力線

各点の電場を繋いだ曲線を電気力線（line of electric force）あるいは電場線（electric

field line）という。例えば，Q^{の２つの電荷の周囲}

の電場の様子を表すために，しばしば電気力線が描かれる。その際，電気力線の密度が，各点の電場の強さを表すように描かれる。図2.1において，各曲線上の

点A, B, Cでのそれぞれの電場E_A,E_B,E_Cは，各点

での曲線の接線方向を向いており，その強さは，それぞれの点での電気力線の密度に比例する。したがって，

電気力線の密度が大きいところの電場は強く，電気力線の密度の小さい点の電場の強さは弱い。図2.1では，

C B

A E E

E   である。

点電荷から放出される電気力線と吸収される電気力線

「各点で，電場に垂直な単位面積あたり電場の強さに等しい電気力線を引く」

と約束する。そうすると，点電荷q^（0）から放出される電気力線の数は，次のように考えると求められる。

図2.2のように，真空中で点電荷q^{を中心に半径}r^の球面Sをとる。球面S上の電場は，球の中心から離れる向きであり，その強さEは，真空の誘電率を



₀として，

4 0

1 r E q





となる。この電場は，球面S上のどこでもSに垂直で同じ大きさであるから，S を通して球面の外に出る電気力線の数Nは，

4 2





^q E

N   

と書ける。このNの値は，球面の半径r によらない。このことは，電荷q^{から放出され} る電気力線の数がN本であることを示し，また，真空中で電気力線は生成・消滅，さらに枝分かれすることもないがわかる。

0

q のとき，電気力線の向きはq 0の場合とすべて逆になるから，点電荷q^には，

Q Q

図2.1



B C

0 q r

図2.2



N  q 本の電気力線が吸収されることもわかる。

(2) ガウスの法則

多数の点電荷q₁,q₂,があったらどうであろうか。各点電荷から放出される電気力線の数は，それぞれ



q 本，



q _本，…

となり，q_i 0^（i 1,2,^{）とすると，}



本の電気力線を吸収する。また，電荷が存在しない真空中では，電気力線は吸収も放出もされず，連続的に繋がるから，全電荷から放出される電気力線の数は，

0 2 1 0

2 0

 



    



 q q q

q

となる。正負の電荷が連続的に分布していても同様であるから，次の法則が成り立つ。

任意の閉曲面から放出される電気力線の数の総和N ^は，

閉曲面内の全電荷が

Q

のとき，



N  Q

(2.1)

と書ける（図2.3）。これをガウスの法則（gauss’ law）という。

【発展】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

(3) ガウスの法則の積分表現

ガウスの法則を数式によって表すとどのように書けるか，示しておこう。

図 2.4 のように，微小面積dS の微小面に斜め方向に電場E

（E E）がかけられているとする。また，微小面に垂直で大きさが dSに等しい微小ベクトルをdSと表すことにする。この微小面のdS

（法線方向）と電場のなす角をとすると，微小面と電場に垂直な面とのなす角もである。したがって，この微小面を貫く電気力線の数は，

S E d dS

E cos



 

と書ける。これより，任意の閉曲面Sから放出される電気力線の総数Nは，



^



SE dS N

と書ける。ここで，



は，曲面Sに関する総和を表す積分記号であり，面積分（surface integral）とよばれるが，面積分の計算法などの詳細には触れない。

一方，微小体積dV の電荷密度（単位体積あたりの電荷）をとすると，この微小体積

任意の閉曲面

図2.3

S d

  dS

図2.4

内の電荷は



dV となり，閉曲面内の領域Vの電荷の総和Qは，





V dV



と書ける。ここで，



は領域Vに関する総和を表す積分記号であり，体積分（volume integral）とよばれるが，今回も，体積分の計算法などの詳細には触れない。

以上より，ガウスの法則は，積分記号を用いて，



^ ^ V

S d 10





E (2.2) と表される。(2.2)式は，積分形式のガウスの法則（Gauss’s law of integral form）とよばれる。

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆【発展終】

2.2 ガウスの法則の導体系への適用

静電場中に置かれた導体は，次の性質をもつ。この性質は，導体に電流が流れていないときに成り立つ性質であることに注意しよう。電流が流れているときには，このような性質は成立しない。

i) 導体内に電場は存在しない。

導体内に電場Eが生じたとすると，導体内の自由に動ける電荷

（多くの場合，電子）が移動し，電場E を打ち消す電場E



が生じ，合成電場はゼロとなる（図2.5）。

ii) 導体は等電位である。導体表面に生じる電場は，表面に垂直である。

電位の勾配を与える電場が導体内でゼロであるから，導体の電位はどこでも等しい。

また，導体表面に生じる電場が表面に平行な成分をもつと，表面に電位勾配が生じ，導体は等電位ではなくなる。したがって，導体表面の電場は，表面に垂直になる。

iii) 導体内に電荷は存在しない。導体に与えられた電荷や静電誘導で現れる電荷は，導体

表面のみに分布する。

導体内に電荷があると，電荷から周囲に電場ができる。これはi)に反するから，導体内に電荷は存在しない。導体表面であれば，導体の外部に電場を生じることによって存在できる。

(1) 導体表面の電荷と電場

真空中に置かれた導体の表面の点 P での電荷密度を



とする。図2.6のように，点Pを含み表面に平行な微小面積dSの底面をもつ円柱形の閉曲面をとり，この閉

 dS E

図2.6

P E

E

導体

図2.5

曲面にガウスの法則を適用する。導体表面に垂直な電場の強さをE^{は，真空の誘電率}



₀^を

用いてガウスの法則より，



 dS dS

E  

^∴



 

E

(2.3) と表される。

例題 2.1 導体表面に作用する力

真空中に置かれた導体の表面の点Pの電荷密度が



（



0）で与えられるとき，点P付近の単位面積あたりに作用する力を求めよ。

【解答】

点Pで表面に垂直に生じる電場E

 



₀^は，点P の表面電荷による電場だけではなく，点P とは異なる場所にある電荷によって生じる電場との合成電場である。なぜなら，表面電荷による電場は，導体内にも導体外にも同じ強さE₁の電場を逆向きにつくる（図2.7）。ところが，導体内の電場はゼロであるから，点 Pから離れたところにある電荷が強さE₁^{の電場を打ち消す}

電場E₂^（



E₁）をつくるはずである。このとき，電場E₂は，導体表面のすぐ内側とすぐ外側で等しい。こうして，導体表面外部の電場Eは，

1 E

E E

 

と書ける。これより，

2 E E E  

となる。

点P付近の電荷には，電場E₂から力を受けるから，求める力は，導体から離れる向きで，

その大きさは，



2 E E

f  

0 2

2



(2.4)

■

(2) 鏡像法

ガウスの法則と電場と電位の関係式を用いると，一般的に，

「空間内にいくつかの点電荷があり，それらの周囲（境界）の電位を決めると，境界の内部の電位と電場は一通りに定まる」

ことがわかる。

図2.7

 P

92 平面導体と点電荷

図2.8のように，真空中で無限に広い導体平板から距離

a

の点Aに，正の点電荷

Q

をおき，無限遠の電位をゼロとする。このとき，導体平板の点A側の空間内の任意の点の電位と電場は，

点Aの電荷

Q

^と，点^A^{の平板に関する対称点}^B^{に置かれた点}

電荷

 Q

による電場と電位に等しい。なぜなら，導体平板の電位は無限遠の電位ゼロに等しく，点 A と点 B の電荷

 Q

^によ

る線分ABの垂直二等分面（導体平板の表面の位置）Sの電位もゼロである。点 A から面 Sに引いた垂線を AOとし，点O を中心とした半径∞の半球面をS_^{とすると，平面} S と半球面

S上の電位がゼロと決められたので，その内部の電位は一通りに定まるからである。電位が一通りに定まれば，電場も一通りに定まる。

例題 2.2 平板導体表面の電荷分布と作用する力

(a) 図2.8のように導体平板と点電荷

Q

を置いたとき，平板導体表面上の点Pに誘起され

る電荷の面密度を求めよ。ただし，O,P間の距離を

x

とする。

(b) 点電荷

Q

に作用する力を求めよ。ただし，真空の誘電率を



₀とする。

【解答】

(a) 点Pに生じる電場は，点Aに点電荷

Q

^，点Bに点電荷

 Q

^{を置いたとき，点}Pに生

じる電場に等しい。∠PAO=



とし，

x

a a

 



cos

を用いると，点Pの電場Eは，

真空の誘電率



₀を用いて，

 



 



₀ ² ²

^cos 4

2 1

x a

E Q

₂ ₂ ₃ ₂

2 ( a x )

aQ

 

誘起される電荷は負であることに注意して，電荷密度



は，





 

₀E



₂ ₂ ₃ ₂

2 (a x )^/ aQ

 



(b) 導体平板の点A側には，点Aに

Q

^，点Bに

 Q

の点電荷を置いたときと同じ電場が

できる。よって，点Aの点電荷

Q

に導体平板表面に誘起された電荷から作用する力は，

点Bの点電荷

 Q

から作用する力に等しい。よって，求める力の大きさF は，







²₂

2 4 1

) ( a F Q



₀ ²

16 a Q



■

2.3 コンデンサー

他の物体と絶縁された物体に電荷

Q

^{を与えれば，}

Q

はどこへ逃げることもできず蓄えら



 

a a

B A

Q Q

O x P

図2.8

れる。そこで，その導体をコンデンサー（condenserあるいはcapacitor）とよび，その導体の電位をV として，

V

C  Q

(2.5)

をコンデンサーの電気容量（electric capacityあるいはcapacitance）という。電気容量は，

蓄えた電荷や導体の電位によらず，導体の形状だけで定まる。

【発展】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

例題 2.3 導体球コンデンサー

真空中に置かれた半径

a

の導体球をコンデンサーと見たときの電気容量を求めよ。ただし，真空の誘電率を



₀とする。

【解答】

導体球に電荷

Q

を与えると，球の周囲には，中心のまわりに球対称な電場が生じる（図2.9）。球の中心Oから距離

r

^{の点の電場の強さ}

E (r )

は，ガウスの法則より，

4  r  ^Q r

E ( )  

∴

4 r r Q

E ⁽ ⁾ ^ 

となる。これは，点電荷

Q

^から

r

^{離れた点の電場の強さ}

に等しい。これより，無限遠の電位を基準とした導体球表面（すなわち，導体球そのもの）の電位V は，



 

a^



a^

r dr dr Q

r E

V

₂

4 

)

( a

Q 4 

よって，導体球の電気容量Cは，

  V

C Q



₀a ■

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆【発展終】

２つの導体に，同じ大きさの正と負の電荷を与える場合，その１対の導体をコンデンサーという。２つの導体にQ^（Q 0）の電荷を与えたら，それら導体間に電位差V が生じたとする。このとき，(2.5)式で与えられるCをコンデンサーの電気容量という。電位差のことを電圧（voltage）ともいう。

(1) 平行板コンデンサー

同じ形の２枚の平面導体（これを極板（capacitor plates）という）を向き合わせて並べたものを，平行板コンデンサー（parallel-plate capacitor）という。極板の面積をS ^，極板間隔をd^{とし，間隔}dは極板の大きさ（極板が長方形のとき，その１辺の長さ，極板が円形であればその直径など）に比べて十分小さいとする。このとき，極板の端での

図2.9

r Q

a O

ドキュメント内はじめに本チャレンジガイドは, 物理チャレンジに挑戦しようと考えているチャレンジャーに, どのように物理を学習したらよいか, その指針を示すテキストとして, 作成されました内容は, 高校物理を基本としますが, 学習指導要領にはとらわれず, ある程度の微分積分 ( 高校数学で習う程度 ) を使用 (ページ 92-98)