bsin

a に等しいベクトルと定義し，cabと書く。

外積については，

交換法則：baab，

分配法則：(ab)cacbc が成り立つ。

磁場の定義とローレンツ力の性質

電荷qの速度ベクトルをv ，磁束密度のベクトルをBとすると，qに磁場から作用す るローレンツ力f は，

B v

f q  (4.2) と書ける。ここで，f ^は，v とBに垂直であることに注意しよう。さらに，電場Eの定 義式(1.2)と一緒にして，速度v で運動する電荷qに作用する電磁気力f は，

) (E v B

f q   (4.3) と表される。

一般に，(4.3)式によって，電場Eと磁場としてのB（磁束密度）を定義する。すなわ ち，電荷に作用する力の元になる空間（これを場（field）という）として，電場と磁場 を定義する。したがって，(4.3)式は電磁気の基本法則ではなく，電場と磁場の定義式で ある。

例題 4.1 磁場中での荷電粒子の運動

磁束密度の大きさBの一様な磁場中に，磁場に垂直に電荷q，質量mの荷電粒子が速さv で飛び込むと，荷電粒子は速さv の等速円運動をする。このときの円軌道の半径と円運動の 周期を求めよ。

【解答】

図4.5のように，磁場の向きにz軸正方向（紙面表か ら裏の向き）をとり，荷電粒子がx軸正方向に速さv で 飛び込むとする。このとき，荷電粒子にはy方向に大 きさqvB のローレンツ力が作用する。ローレンツ力は粒

a b

b a c 



図4.4

c

b a

r qvB

q v

B

x

y z

図4.5

119

子の速度に垂直であるから，粒子の速さv に変化はなく，その向きだけが変わる。こうして，

荷電粒子は速さvの等速円運動をする。円軌道の中心はy軸上にあり，その半径r ^は，粒子 の円運動の式より，

r qvB

mv²  ∴ r  qB mv

周期Tは，一定の速さvで円軌道を一周する時間であるから，



 v T 2



r

qB



m 2

円軌道の半径r^{は入射粒子の速さ}v に比例するが，円運動の周期Tは，粒子の速さによら ないことに注意しよう。 ■

荷電粒子に磁場から作用する力

図 4.6 のように，磁束密度の大きさBの磁場と角



の向 きに，電荷qの荷電粒子が速さvで飛び込むと，粒子には，

磁場と垂直な向きに大きさq(vsin



)B^{の力がはたらく。こ} れより，粒子の磁場に垂直な速度成分v_ vsin



に大きさ

B

qv_ の力が作用し，磁場に平行な速度成分v_// vcos



に 力は作用しないと考えることができる。そうすると，荷電 粒子を磁場に垂直な平面に射影した点は，速さv_で等速円 運動し，磁場の方向に一定の速さv_//で等速運動をする。そ の結果，荷電粒子は，磁場に沿ったらせん軌道を描いて運 動する（図4.7）。

例題 4.2 磁場に斜めに飛び込む荷電粒子

x軸正方向に磁束密度の大きさBの一様な磁場がかけられている。原点Oに質量m，電 荷qの荷電粒子が，xy平面内でx軸と角



をなす向きに速さvで打ち込まれた。この粒 子が再度x軸上に戻る点のx座標を求めよ。

【解答】

z

y 平面に射影した粒子の点は，x軸に垂直な速度成分の大きさvsin



で等速円運動を するので，粒子がx軸上に戻るまでの時間はT

qB



m

 2 となる。この間，粒子はx軸に沿っ て，



v T x _//

qB mv





cos 2

だけ進む。 ■

v

q B



図4.6

 cos v

 vsin v_ 

B

図4.7

120 例題 4.3 電磁場中の荷電粒子の運動

図4.8 のように，y軸正方向に強さEの電場をかけ，それと同時 にz軸正方向（図の紙面表から裏の向き）に磁束密度B の磁場をか ける。原点Oに質量m，電荷q（0）の荷電粒子を静かに置く。

その後，荷電粒子はどのような運動をするか定めよ。ただし，重力 は無視する。

【解答】

速度v₀ (v₀,0,0)で運動する荷電粒子には，電場と磁場から力 )

), (

,

(0 ₀ 0

0  qEv B

f

が作用する。したがって，v₀ E/Bのとき，この粒子にはたらく合力は0であり，力はつ り合う。よって，粒子は速さv₀でx軸正方向に等速直線運動をする。

また，磁束密度Bの磁場だけがz軸正方向にかけられているとき，速度v (v_x,v_y,0)で 運動する荷電粒子に作用するローレンツ力f は，

) , ,

(qv_yB qv_xB 0

 f と書ける。

元の座標系をSとし，S系に対して速さv₀E/Bでx軸正方向に等速直線運動している 座標系をSとする。座標系Sで荷電粒子の速度がv (v_x,v_y,0)のとき，座標系Sでの速度 は，

) , , (

) , ,

(v_x v_y 0  v_x v₀ v_y 0 これより，S系で荷電粒子に電磁場からはたらく力fは，

) , ,

( ) , ) (

( , ( ) ), (

,

(qv_yB qEv_xB 0  qv_yB qE v_x v₀B 0  qv_yB qv_xB 0

 f

となり，fの表式から電場Eは消える。これをローレンツ力f の表式と比較すれば，S系で荷電粒子には，磁束密度Bの磁場 からローレンツ力だけが作用することがわかる。

粒子の初速度は，座標系 Sで0であるから，座標系Sでは，

) , ,

(v₀ 0 0 となり，粒子はS系で，図4.9のように，点(0,r,0) を中心に速さv₀の等速円運動する。その半径r は，円運動の式 より，

B r qv

mv⁰²  ₀ ∴

qB r mv⁰

この運動を元の座標系Sでみると，円軌道の中心は速さv₀で

x

y B z

E S系

図4.8

 v0 z

r

y

B x

図4.9

S系

121

x軸正方向に動き，そのまわりに反時計回りに速さv₀で等速円運動するから，軌道は図4.10 のようなサイクロイド曲線を描く。

例題 4.4 電流密度

一様な重力場中に，単位体積あたりn個の電子とn 個の１価の正イオンからなる電離し た気体がある。そこに，磁束密度Bの磁場を水平方向にかけると，磁場に平行で水平方向 に電流が流れる。そのときの平均の電流密度（電流に垂直な単位面積あたりに流れる平均 の電流）を求めよ。ただし，重力加速度の大きさをg，電子の質量をm，イオンの質量をM とする。このとき，M mであることから，電流へのほとんどの寄与は，イオンである か，電子であるか。

【解答】

図 4.11 のように，鉛直下方にy軸，水平方向にx軸とz軸を とり，z軸正方向に磁束密度Bの磁場をかけるとする。例題4.2 の電場からはたらく力qEのかわりに重力が作用すると考えれば，

例題4.2と同様に，イオンと電子は，初速度0であればx軸に沿 ったサイクロイド曲線を描く。１価の正イオンと電子の回転中心 の速度v_i,v_eは，それぞれy軸方向（鉛直方向）の力のつり合い

i 0

evB

Mg ^，mg ev_eB 0 ^∴

eB v_i  Mg ^，

eB v_e mg

となる。イオンあるいは電子のx方向の平均速度がそれぞれv_i,v_eであるから，それぞれの 平均電流密度j_i, j_eは，



 _i

i nev

j B

nMg ， j_e n(e)v_e  B nmg

これより，電流へのほとんどの寄与はイオンであることがわかる。 ■

(3) 電流に磁場から作用する力

実験によると，図 4.12 のように，磁束密度Bの磁場中で磁 場と角



をなす導線に強さI の電流が流れているとき，長さl の 電流には大きさ

0

r 2

x E B

y

qB T 2m T

v₀ z

図4.10

S系

■

x

y z

M e B

Mg

図4.11：^{イオンの場合}

I

 B

図4.12

F

122



sin IBl

F  (4.4) の力がはたらく。その力の向きは，図4.12の紙面表から裏の向きである。この力のベク トルF は，電流のベクトルI と磁束密度のベクトルBを用いて，

l B I

F   (4.5) と書ける。

例題 4.5 電流に作用する力とローレンツ力

電荷が移動することによって電流が流れることを考慮すると，(4.5)式で表される力は，

ローレンツ力(4.2)から導かれることを示せ。

【解答】

断面積S，長さlの導線に大きさI の電流が流れているとする。導線内を自由に動くこと のできる電荷qの数密度（単位体積中の電荷の数）をn ，電荷が電流の向きに移動する速 さをvとすると，電流の大きさIと導線内の電荷の数N は，

qnSv

I  ^， N nSl と書ける。

図 4.13のように，導線と角



の向きに大きさB の磁束密度の磁場がかけられている場合，導線内の

N 個の電荷に作用する力は，紙面表から裏の向き，

すなわち，電流Iに作用する力の向きに一致し，そ の合力の大きさNf は，ローレンツ力の大きさ(4.1) を用いて，







sin sin

sin qnSv Bl IBl

qvB nSl

Nf     

となり，(4.4)式で与えられる電流にはたらく力の大

きさF に一致する。こうして，(4.5)式で表される力F は(4.2)式で与えられるローレンツ力 f から導かれる。 ■

直線電流間に作用する力

図4.14のように，真空中で距離rだけ離れた十分長い２本の平行 導線に，強さI₁とI₂の電流が流れている場合を考える。実験によれ ば，電流間に作用する力は，２つの電流が同じ向きのとき引力で，

逆向きのとき斥力となり，その強さは電流I₁とI₂の積に比例し，距 離rに反比例することがわかる。そこで，その比例定数を





2

0 とお

いて，真空の透磁率（permeability of vacuum）



₀を定義する。そ うすると，無限に長い直線電流間に作用する力の強さF は長さl あ たり，

q v l

I

B

S

図4.13



I1 I₂

F

r

図4.14

同じ向きの電流 間に作用する力

123 r l I F I





2

2 1

 0 (4.6) と表される。

電流の定義

真空中で 1m 離れた２本の直線導線に同じ強さの電流を流すとき，それぞれの導線の 1m あたりにはたらく力の強さが210^7 Nとなる電流を 1 A と定義する。この定義を (4.6)式に用いると，

2 7 0 4



10^ N/A



ドキュメント内 はじめに 本チャレンジ ガイドは, 物理チャレンジに挑戦しようと考えているチャレンジャーに, どのように物理を学習したらよいか, その指針を示すテキストとして, 作成されました 内容は, 高校物理を基本としますが, 学習指導要領にはとらわれず, ある程度の微分積分 ( 高校数学で習う程度 ) を使用 (ページ 122-127)