基礎総合数理演習Ｉ（物理担当：鎌田） ２００８．６．２ 問題３１：
斜面が１３ｍの長さを持ち、その底辺は１２ｍの長さである。 質量０．８０ｋｇの物体 がその頂点から１００ｃｍ/sの初速度で滑り落ちる。斜面の最下点に達した時の速度と 運動エネルギーはいくらか。
問題３２：
質量２０ｋｇの物体が５０ｍs−1の初速度で垂直に打ち上げられる。(a)はじめの運動エ ネルギーK,位置エネルギーU,力学的エネルギーE、(b)３秒後のK, U,(c)高度１００ｍ
でのK, U,(d)Kが８０％に減少したときの、物体の高度をそれぞれ計算せよ。
問題３３：
質量０．５ｋｇの物体が、水平に対し４５ °の傾きをもった滑らかな斜面に沿って静止の 状態から滑り始める。３ｍ滑ったのち斜面の下端にその一端が固定されているスプリング
（ばね）にぶつかる。スプリングのばね定数k = 400Nm−1とすると、最大のちじみはい くらとなるか。
問題３４：
質量５ｋｇの物体をばね定数k = 2000Nm−1のばねにつるす。ばねの長さが自然長のま まに物体を手で支えておいて、その後ばねが非常にゆっくりと伸びるようにしたとき、物 体はいくら下がるか。また手を急に離したとき(a)その加速度をもとめよ。更に(b)物体 が０．０１０ｍ、０．０２４ｍ、０．０３０ｍ下がったときの加速度及び速度を求めよ。
(c)この場合物体はど こまで下がるか。
問題３５：
質量mの質点に、そのポテンシャルエネルギーが
U(x) =ax2−bx3 (a, b >0)
で与えられる力が働く。(a)Uの図を描け。(b)力を求め、変数xの適当な各範囲におけ る力の向きを求めよ。(c)異なる力学的エネルギーの値に対する質点の可能な運動につい て論ぜよ。またすべての平衡点を求めよ。(d)質点が原点x= 0を速度ucをある臨界速度 とするとき、もし |u0|< ucならば 、質点は原点付近の領域に閉じ 込められたままでいる ことを示せ。またucを求めよ。
問題３６∗：
質量ｍの質点に力F =−kx+kx3/a2(k, a;定数）が働いている。(a)位置エネルギーU(x) を求め、生じる運動について論ぜよ。(b)E = 1
4ka2の時、エネルギー積分から、x0, t0を 適当に選んでx(t)を求めよ。
問題３７：
位置エネルギーU(x) =− U0
cosh2αx =− U0
eαx+e−αx 2
2 がある場合、そこに生じている力を 求めよ。また、−U0 < E <0の場合、エネルギーEにおける一次元的な運動の周期を求 めよ。
問題３８：
問題３７同様、位置エネルギーU(x) =U0tan2αxの場合はど うか。（ 力、周期を求めよ。）
問題３９：
２原子分子の２個の原子の間に働く力のポテンシャルは近似的に、
U(x) =−a/x6+b/x12(a, b >0)
で与えられる。ここでxは原子間の距離である。(a)力を求めよ。(b)原子のうちの１つ は非常に重く、静止したままでいると仮定し 、他方は両者を結ぶ直線に沿って運動すると して、可能な運動について論ぜよ。(c)軽い方の原子の質量をmとして、平衡状態での距
離及びそのまわりの微小振動の周期を求めよ。
問題４０：
ポテンシャルエネルギーU(x) =D[1−e−a(x−x0)]2(D, a, x0 >0) の場合について、前問 同様の設問に答えよ。
問題４１：
ポテンシャルエネルギ ーが U(x) = 1
2kx2 − 1
3ax3(a > 0, a << k)で与えられ る力のもと で、振動している質点を考える。(a)U(x）のプロットを行え。曲線はx= 0に対して対称 か。エネルギーが増加すると 、振動の中心はどの方向にずれるか。（ ｂ）xの関数として 力を求め、プロットせよ。（ｃ）微小振動の周期を求めよ。
問題４２：
ポテンシャルエネルギーがU(x) = 1
2kx2−1
4ax4(a >0, a << k)の場合は、問題４１に比 べてど のように変わるか。
問題４３：
減衰振動の解：x(t) =ae−γtcos(ω1t+α)で、ω20 −γ2 =ω21が非常に小さい時は、短い時 間に対しては 、それは臨界減衰の解：x(t) = (At+B)e−γtと等しくなることを示せ。ま た、定数A, Bとa, αとの関係はど うなるか？
問題４４：
体重計が 、７０ｋｇの人がのると体重計の面が１ｃｍ下がるように設計されている。その 運動が臨界減衰になるために必要なばね定数k及び減衰係数γを求めよ。従って、それよ りも軽い人に対しては運動は過減衰となることを示せ。
問題４５：
力F0e−βtが質量m、ばね定数k、減衰係数のばねに働く。外力と同じ時間依存性をも
つ特解が存在するとして、一般解をもとめよ。
問題４６：
始めに静止していた単振動（ 角振動数ω0）に時刻t = 0の時に外力F0sinωtが働きはじ める。x(t)を求めよ。
問題４７：
前問で、もし ω=ω0ならば 、ω=ω0+ǫに対する解で、極限ǫ→0をとることによって特解 を求めよ。
