第
1
章
L
p
空間と
L
p
loc
空間
本章においては, Lp関数とLploc関数に対して,それぞれLp収束 とLploc収束の意味における導関数と偏導関数の概念を定義し,その 基本性質について考察する. ここで, 1≤ p ≤ ∞であるとする. こ のような導関数と偏導関数の計算においては,弱微分の概念や超関 数の意味の微分の概念を必要としない. このようなLp収束の概念に基づいた解析学の研究分野をLp解析 学ということにする. 一般に, L1関数に対しては, 弱微分可能な関数の方がL1微分可 能な関数より多い. しかし, Lp解析学においては, Lp微分可能な関 数を主に考察する. その影響が現れるのはL1関数の場合だけであ る. しかし, L1関数に対しても L1微分可能な関数だけに限定して 研究することは可能である. Lp関数のフーリエ変換やLploc関数のフーリエ変換などの研究は Lp解析学の一つであると考えられる. また, L2 関数とL2loc関数の場合には, これらの結果はシュレー ディンガー方程式の解の研究において基本的な役割を果たす. 特に,微分方程式の超関数解を考察するときに真に超関数の概念 が必要となるだけである. 微分方程式のLp関数解あるいはLploc関 数解を考察することはLp解析学において研究すれば十分である. 従来, Lp関数あるいはLploc関数の弱導関数あるいは弱偏導関数は 超関数としての微分法によって理解していた. 本書においては,弱 導関数あるいは弱偏導関数はLpあるいはLp locの弱位相に関する微分法によって理解し,これらと超関数の意味での導関数あるいは偏 導関数を区別して考えた. その上で,一定の条件の下に, LpとLploc において,強位相,弱位相と超関数の位相による微分法に関して考え た3種の導関数あるいは偏導関数が一致していること証明した. し たがって, Lp関数あるいはLploc関数の微分法においては, Lp位相 あるいはLploc位相を用いて考えればよい. それ故に,この場合には 超関数の理論を用いる必要はなくなった. シュレーディンガー方程式の解の研究のために必要であるので, 以後本書において考える関数は特にことわりのない限り,実変数の 複素数値関数であるとする. 特別のことわりのない限り, 複素数値 関数を略式に関数と呼ぶことにする. 数学の研究においては,このように考える問題の理論的枠組みを 設定して考えると問題が鮮明に見えてくる. 設定した理論的枠組み におさまらない数理現象に遭遇したときには, そこで改めて, その ような数理現象の理論的基盤となるような理論的基礎付けを考えれ ばよい. そのような例は数学の歴史に数多く見られることである.
1.1
関数空間
L
p 本節においては, 1≤ p ≤ ∞であるとするとき,関数空間Lpの定 義を与え,その基本性質について考察する. d≥ 1であるとするとき, Rdはd次元ユークリッド空間であると する. EはRdのルベーグ可測集合であるとする. (E, ME, µ)を ルベーグ測度空間であるとする. このとき,関数空間Lp= Lp(E)を次のように定義する. 1≤ p ≤ ∞に対し, E上の複素数値可測関数f (x)で, ∫ E |f(x)|pdx <∞を満たすもの全体のつくる集合をLp = Lp(E)と表す. ただし, f (x) = g(x), (a.e. x ∈ E)のとき, f とgを同一視する. 厳密にい うと,関係f (x) = g(x), (a.e. x ∈ E)はLp(E) における同値関係に なっていて,この同値関係に関する同値類の一つ一つをLp(E)の元 と考えるべきであるが, ここではf (x)の一つ一つをLp(E)の元と することにして,適宜上のような同一視を行うことにする. Lp(Rd)を簡単にLpと表すことがある. 定理 1.1.1 Lp(E)は複素数体C上のベクトル空間である. 特 に, f, g∈ Lp(E)ならば, f + g ∈ Lp(E). また, f ∈ Lp(E), α∈ C ならば, αf∈ Lp(E)が成り立つ. このとき, f + gとαfの演算によって, Lp(E)はC上のベクトル 空間の公理を満たす. 定理 1.1.2 f, g ∈ L2(E)に対し, (f, g) = ∫ E f (x)g(x)dx と定義するとき, (f, g)をf とgの内積であるという. このとき, L2(E)は内積空間である. すなわち, f, g, f 1, f2 ∈ L2(E), α ∈ C に対し,内積は次の(1)∼(4)を満たす: (1) (f, f )≥ 0. 特に, (f, f ) = 0となるのはf = 0, (a.e.x∈ E) のときに限って成り立つ. (2) (f, g) = (g, f ). (3) (f1+ f2, g) = (f1, g) + (f2, g). (4) (αf, g) = α(f, g). 上の定理1.1.2において,関数f (x)はf (x)の複素共役関数を表す.
系 1.1.1 f, g, g1, g2 ∈ L2(E), α∈ C であるとする. このと き,次の(3)′, (4)′が成り立つ: (3)′ (f, g1+ g2) = (f, g1) + (f, g2). (4)′ (f, αg) = α(f, g). ここで, αはαの複素共役を表す. 1≤ p < ∞に対し, f ∈ Lp(E)のノルムは,関係式 ∥f∥p = { ∫ E |f(x)|pdx}1/p によって定義する. これをfのLpノルムであるという. ∥f∥pを∥f∥ と略記することがある. L∞= L∞(E)のノルムは,関係式 ∥f∥∞= ess.sup
x∈E |f(x)| = inf{α; |f(x)| ≤ α, (a.e. x ∈ E)} によって定義する． 定理 1.1.3 1≤ p ≤ ∞に対し, Lp = Lp(E)はノルム空間であ る. Lpのノルムに対して, f, g ∈ Lp(E), α ∈ Cであるとすると, 次の(1)∼ (3)が成り立つ: (1) ∥f∥ ≥ 0. 特に, f = 0はf = 0, (a.e. x∈ E)のときに限って 成り立つ. (2) ∥f + g∥ ≤ ∥f∥ + ∥g∥, (三角不等式). (3) ∥αf∥ = |α|∥f∥. 特に, L2ノルムは関係式 ∥f∥2 = √ (f, f )
を満たす. このとき,次の定理が成り立つ. 定理 1.1.4 f, g ∈ L2(E)ならば,次の関係式(1) ∼(3)が成り 立つ: (1) |(f, g)| ≤ ∥f∥ ∥g∥, (シュワルツの不等式). (2) ∥f + g∥2+∥f − g∥2 = 2(∥f∥2+∥g∥2), (三角形の中線定理). (3) 4(f, g) =∥f + g∥2− ∥f − g∥2+ i(∥f + ig∥2− ∥f − ig∥2). 1≤ p ≤ ∞とするとき, f, g, h∈ Lp(E)に対して, ρ(f, g) =∥g − f∥ とおいて,これをfとgの距離であるという. 定理 1.1.5 1≤ p ≤ ∞に対して, Lp(E)は距離空間である. す なわち, f, g, h ∈ Lp(E)に対し,距離関数ρ(f, g)は次の(1)∼(3) を満たす: (1) ρ(f, g)≥ 0. 特に, ρ(f, g) = 0となるのはf = g, (a.e. x∈ E) のときに限って成り立つ. (2) ρ(f, g) = ρ(g, f ). (3) ρ(f, g)≤ ρ(f, h) + ρ(h, g). さらに, Lp(E)はこの距離に関して完備である. すなわち, Lp(E) はノルム∥ · ∥pに関して完備である. この意味でLp(E)はバナッハ 空間である. 以下にこのことを示す.
関数列{fm} ⊂ Lp(E)が関数f ∈ Lp(E)にノルム∥ · ∥pに関して 収束するとは, lim m→∞∥fm− f∥p = 0 が成り立つことをいう. このとき,{fm}はfにp次平均収束すると いう. 一般に2次平均収束のことを平均収束であるといい, l.i.m.fm(x) = f (x)
と表す. 記号l.i.m. は“limit in mean”と読む. これを“limit in the mean”と読むこともある. 関数列{fm} ⊂ Lp(E)がコーシー列であ るとは lim l, m→∞∥fl− fm∥p = 0 が成り立つことをいう. 定理 1.1.6 1 ≤ p ≤ ∞に対し, Lp(E)はノルム∥ · ∥pに関し て完備である. すなわち, Lp(E)の任意のコーシー列{fm}は,ある Lp(E)の元f に収束する. したがって, Lp(E)はバナッハ空間であ る. 特に, L2(E)はヒルベルト空間である. 注意 1.1.1 上の完備性の証明において,ルベーグ積分の性質が 基本的に重要である. 定理 1.1.7 1≤ p ≤ ∞であるとするとき, fm ∈ Lp(E), (m = 0, 1, 2, · · · )に対し, lim m→∞∥fm− f0∥p = 0ならば, {fm}の適当な 部分列{fm(k) : k = 1, 2, · · · }をとって, lim k→∞fm(k)(x) = f0(x), (a.e. x∈ E)となるようにできる. 命題 1.1.1 µ(E) < ∞であるとすると, 1 ≤ p ≤ ∞に対し, Lp(E)⊂ L1(E)が成り立つ.
定理 1.1.8 実数p, qは1 < p, q <∞であるとし,条件 1 p + 1 q = 1 を満たすとする. EはRdのルベーグ可測集合であるとするとき, Lp = Lp(E)であるとする. このとき,次の同型が成りたつ: Lp = (Lq)′ = (Lp)′′. 定理 1.1.9 d≥ 1, 1 < p < ∞であるとし, Lp = Lp(Rd)であ るとする. D = D(Rd)はRd上のコンパクト台のC∞関数全体の つくるTVSであるとする. このとき,DはLpにおいて稠密である. 定理 1.1.10 d≥ 1, 1 < p < ∞であるとし, Lp = Lp(Rd)で あるとする. Lpの関数列を{fn}であるとし, f ∈ Lpであるとする. このとき,次の(1), (2), (3)は同値である: (1) Lpのノルムに関してf n→ fが成り立つ. (2) Lpの弱位相に関してfn→ fが成り立つ. (3) D′の位相をLpに制限した位相に関してfn→ fが成り立つ.
1.2
関数空間
L
ploc 本節においては,一般の関数空間Lplocについて考察する. ただし, 1≤ p ≤ ∞であるとする. d≥ 1であるとする. 集合Rdはd次元ユークリッド空間である とする.1≤ p < ∞であるとするとき, Rdの任意のコンパクトKに対し て,条件 ∫ K |f(x)|pdx <∞ を満たす複素数値可測関数fは局所p乗可積分であるという. Rd上 の局所p乗可積分関数全体のつくる集合をLploc = Lploc(Rd)と表す. 集合Lplocは複素ベクトル空間になる. 1 ≤ p < ∞であるとき, f ∈ Lplocであるための必要十分条件は, 任意のR > 0に対して, ∫ |r|≤R|f(x)| pdx <∞ となることである. 特に, L1locの元を局所可積分関数であるという. 1≤ p < ∞であるとき, Lplocの関数列{fm}がf ∈ Lploc に収束す るとは, Rdの任意のコンパクト集合K に対して, ∫ K |fm(x)− f(x)|pdx→ 0, (m → ∞) が成り立つことであると定義する. すなわち, Lplocにおける位相は 各コンパクト集合上Lp収束の位相である. これによって, Lplocは位 相ベクトル空間になる. 特に, L∞loc= L∞loc(Rd) はRdの任意のコンパクト集合Kに対し, 条件 ∥f∥∞, K = ess.sup x∈K |f(x)| = inf{α; |f(x)| ≤ α, (a.e. x ∈ K)} < ∞ を満たす関数全体のつくる位相ベクトル空間である. L∞locのセミノ ルムを ∥f∥∞, K = ess.sup x∈K |f(x)|
によって定義するとき, L∞locの位相はセミノルムの系 {∥ · ∥∞, K; KはRdのコンパクト集合} によって定義する. L∞loc関数の列{fm}がf ∈ L∞locに収束するとは, Rd の任意のコ ンパクト集合Kに対して, ∥fm− f∥∞, K → 0, (m → ∞) が成り立つことであると定義する. すなわち, L∞locの位相は各コン パクト集合上L∞収束の位相である. これによって, Kloc∞ は位相ベ クトル空間になる. このとき, 1≤ p ≤ ∞に対し,包含関係 Lploc⊂ L1loc が成り立つ. 1≤ p ≤ ∞であるとき, LpcはLpの関数でコンパクト台をもつも の全体のつくるTVSであるとする. このとき, LplocはFS∗空間で あって, LpcはDFS∗空間であるから, LplocとLpcは反射的である. したがって,次の定理が成り立つ. 定理 1.2.1 実数p, qは条件 1≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, 1 p + 1 q = 1 を満たすとする. このとき,次の同型(1), (2)が成り立つ: (1) Lploc = (Lqc)′= (Lploc)′′. (2) Lqc = (Lp)′ = (Lqc)′′.
定理 1.2.2 1≤ p ≤ ∞であるとするとき,関数空間DはLpcに おいて稠密である. 定理 1.2.3 1≤ p ≤ ∞であるとするとき, Lplocの関数列{fm} とLplocの関数fに対し,次の(1)∼(3)は同値である: (1) Lplocの強位相に関して, fm→ fが成り立つ. (2) Lplocの弱位相に関して, fm→ fが成り立つ. (3) D′の位相をLplocに制限した位相に関してfm → f が成り 立つ.
1.3
L
p関数の微分法
1.3.1
L
p微分可能性
本項においては, Lp微分可能性の概念について考察する. 開区間(−∞, ∞)におけるp乗可積分関数全体のつくる関数空間 をLp= Lp(−∞, ∞)と表す. ただし, 1≤ p ≤ ∞であるとする. このとき, Lp微分可能性の概念の定義を与える. すなわち, Lp関 数の微分法の概念をLpノルムによる収束の意味で考える. このとき,次の定義1.3.1を与える. 定義1.3.1(Lp 微分可能性) 関数y = f (x)は開区間(−∞, ∞) において定義されたLp関数であるとする. このとき,独立変数xの 増分∆xにともなう関数y = f (x)の増分∆yを ∆y = f (x + ∆x)− f(x)= A(x)∆x + ε(x, ∆x)∆x と表す. ここで, A(x)は，xのみの関数で，∆xに依存しないとす る. ε = ε(x, ∆x)はxと∆xに依存する関数である. このとき,関数y = f (x)が開区間(−∞, ∞)においてLp収束の 意味で微分可能であるとは，開区間(−∞, ∞)において, Lp収束の 意味で条件 ∆x−→ 0ならば, ε(x, ∆x)−→ 0 が成り立つことをいう． すなわち,これは lim ∆x→0∥ε(x, ∆x)∥ = 0 が成り立つことと同値である． このとき, ε(x, 0) = 0, (x∈ (−∞, ∞))と定義を拡張することに する. ここで, Lp収束の意味で微分可能であることを,簡単に, Lp微分 可能であるという. 一般の開区間(a, b)におけるp乗可積分関数全体のつくる関数空 間をLp= Lp(a, b)と表す. このとき,任意のf ∈ Lp(a, b)に対し, e f (x) = f (x), (x∈ (a, b)), 0, (x /∈ (a, b)) とおくとき, ef (x)∈ Lp(−∞, ∞)である. このとき, f (x)∈ Lp(a, b) にf (x)e ∈ Lp(−∞, ∞)を対応させる対応は 1対1であるから, こ れによってL2(a, b)をL2(−∞, ∞)の部分空間と考えることがで きる. したがって, Lp(a, b)に属する関数f がLp 微分可能であるとは, 関数fをLp(−∞, ∞)に属する関数と考えてLp微分可能であるこ とと定義する.
いま,関数y = f (x)は開区間(a, b)においてLp 微分可能である とする. このとき,定義1.3.1の条件より, Lp収束の意味において,極限 lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim∆x→0 f (x + ∆x)− f(x) ∆x = f ′(x) が存在する. この極限f′(x)をy = f (x)のLp導関数であるという. Lpの完備性によって, f′(x)もLp(a, b)の元である. Lp収束の性質より, f′(x)は(a, b)においてほとんどいたるとこ ろ定められた実数値をもっている.
1.3.2
L
p導関数の基本性質
D = D(R)はR上のコンパクト台をもつC∞関数全体のつくる関 数空間であるとする. Lp= Lp(R)であるとする. ただし, 1≤ p < ∞ であるとする. ここで, Lp関数の弱導関数の定義を次のように与え る. 弱導関数という概念は偏微分方程式論における弱解の概念と同 様の概念である. 定義 1.3.2 f (x)∈ Lpであるとする. このとき, f (x)の弱導関 数w-f′(x)∈ L1locは条件 (w-f′, φ) =−(f, φ′), (φ∈ D) を満たす関数であると定義する. このとき,次の定理が成り立つ. 定理 1.3.1 1 ≤ p < ∞であるとし, f (x)∈ Lpであるとする. f (x)がLp微分可能であれば, f (x)は弱微分可能で,そのLp収束の意味における導関数f′(x)は弱導関数w-f′(x)と一致する. すなわ ち,等式 f′(x) = w-f′(x) あるいは,等式 (f′, φ) = (w-f′, φ), (φ∈ D) が成り立つ. 証明 条件により, Lp収束の意味で, lim ∆x→0 f (x + ∆x)− f(x) ∆x = f ′(x) が成り立つ. したがって, 任意のφ ∈ D に対し, 次の等式が成り 立つ: (f′(x), φ(x)) = ( lim ∆x→0 f (x + ∆x)− f(x) ∆x , φ(x) ) = lim ∆x→0 ( f (x + ∆x)− f(x) ∆x , φ(x) ) = lim ∆x→0 1 ∆x {( f (x + ∆x), φ(x))−(f (x), φ(x))} = lim ∆x→0 1 ∆x {( f (x), φ(x− ∆x))−(f (x), φ(x))} =− lim ∆x→0 1 ∆x ( f (x), 1 −∆x ( φ(x− ∆x) − φ(x))) =− ( f (x), lim ∆x→0 φ(x− ∆x) − φ(x) −∆x ) =−(f (x), φ′(x))=(w-f′(x), φ(x)). ゆえに,等式 f′(x) = w-f′(x)
が成り立つ. // このとき, f (x)∈ Lpの弱導関数w-f′(x)はLp関数である. 定理 1.3.2 1 < p <∞であるとし, f (x)∈ Lp であるとする. f (x)の弱導関数w-f′(x)が存在して, w-f′(x) ∈ Lp であるならば, f (x)はLp微分可能であって, f (x)のLp 収束の意味の導関数f′(x) に対して, w-f′(x) = f′(x)が成り立つ. 定理 1.3.3 1≤ p < ∞であるとし, 関数列fn(x)∈ Lp, (n = 1, 2, 3, · · · )に対し, f, g∈ Lpが存在して fn−→ f, (n −→ ∞), fn′ −→ g, (n −→ ∞) であるとすると, f′ ∈ Lpが存在して f′ = g が成り立つ. すなわち,微分作用素 d dx は閉作用素である. 定理1.1.10によって, 1 < p <∞であるとき, Lp微分可能性, Lp 弱微分可能性と超関数の意味の微分可能性は一致することがわかる. さらに,このとき, Lp関数のLp 導関数, Lp弱導関数と超関数の 意味の導関数は一致する.
1.3.3
L
p微分可能性
Rdにおけるp乗可積分関数全体のつくる関数空間をLp = Lp(Rd) と表す. ここで, d≥ 2, 1 ≤ p < ∞であるとする.このとき, Lp微分可能性の概念の定義を与える. すなわち, Lpに 属する関数の微分法の概念をLpノルムによる収束の意味で考える． このとき,次の定義1.3.3を与える. 定義 1.3.3(Rd微分可能性) 関数y = f (x)はRdにおいて定義 されたLp関数であるとする. このとき, 独立変数xの増分∆xにともなう関数y = f (x) の増 分∆yを ∆y = f (x + ∆x)− f(x) = d ∑ i=1 Ai(x)∆xi+ ε(x, ∆x)ρ と表す. ここで, Ai(x), (i = 1, 2, · · · , d)は, x のみの関数で∆x に依存しないとする. ε = ε(x, ∆x)はxと∆xに依存する関数で ある. このとき,関数y = f (x)がRdにおいて, Lp収束の意味で微分可 能であるとは, Rdにおいて, Lp収束の意味で条件 ∆x−→ 0ならば, ε(x, ∆x)−→ 0 が成り立つことをいう. すなわち,これは lim ∆x→0∥ε(x, ∆x)∥p= 0 が成り立つことと同値である. このとき, ε(x, 0) = 0, (x∈ Rd)と定義を拡張することにする. ここで, Lp収束の意味で微分可能であることを,簡単に, Lp微分 可能であるという. いま, Rdの一般の領域Dにおけるp乗可積分関数全体のつくる 関数空間をLp = Lp(D)と表す. 1変数関数の場合と同様にして,
Lp(D)はLp(Rd)の部分空間であると考えることができる. した がって, Lp(D)に属する関数fがLp 微分可能であるとは,関数fが Lp(Rd)に属する関数と考えてLp微分可能であることと定義する.
1.3.4
L
p偏導関数の基本性質
d≥ 2, 1 ≤ p < ∞であるとする. いま, f (x) ∈ Lp = Lp(Rd)がLp微分可能であるとすると, 1 ≤ j ≤ dに対し,極限 ∂y ∂xj = lim h→0 (τ−hejf )(x)− f(x) h がLp位相の意味で存在する. ただし, 1≤ j ≤ dに対し,{e1, e2, · · · , ed}はl2(d)の標準基底であるとし, τy, (y ∈ Rd)は平行移動作用素 を表す. このとき, 偏導関数 ∂y ∂xj , (1≤ j ≤ d)もLp関数である. これを, Lp偏導関数であるという. このとき, ∂y ∂xj , (1≤ j ≤ d)はほとんど いたるところ実数値が定まっている. Lp関数y = f (x)のLp偏導関数が存在するとき, y = f (x)はLp 偏微分可能であるという. したがって, f (x)∈ LpがLp微分可能で あれば, f (x)は1 ≤ j ≤ dに対し,各xjに関してLp偏微分可能で ある. このとき, f (x)がLp微分可能であれば, f (x)のLp収束の意味の 偏導関数は弱偏導関数であると考えられる. しかし, その逆の主張 の判別は容易ではない. ここで,弱偏導関数の定義を次のように与える.定義 1.3.4 いま, 1≤ p < ∞, 1 ≤ j ≤ dであるとし, f (x)∈ Lp であるとする. このとき, f (x)の弱偏導関数w-∂f ∂xj ∈ L 1 locは,条件 ( w-∂f ∂xj , φ ) =− ( f, ∂φ ∂xj ) , (φ∈ D) を満たす関数であると定義する. このとき,次の定理が成り立つ. 定理 1.3.4 いま, 1≤ p < ∞, 1 ≤ j ≤ dであるとし, f (x)∈ Lp であるとする. f (x)がLp偏微分可能であれば, f (x)は弱偏微分可能 で,そのLp収束の意味における偏導関数 ∂f ∂xj は弱偏導関数w-∂f ∂xj と一致する. すなわち,等式 ∂f ∂xj = w-∂f ∂xj , (1≤ j ≤ d) あるいは,等式 ( ∂f ∂xj , φ ) = ( w-∂f ∂xj , φ ) , (φ∈ D, 1 ≤ j ≤ d) が成り立つ. このとき, f (x) ∈ Lpの弱偏導関数w-∂f ∂xj , (1≤ j ≤ d)はLp関 数である. この事実はf (x)∈ Lpに対して無条件に成り立つ性質で はない. 定理 1.3.5 いま, 1 < p <∞, 1 ≤ j ≤ dであるとし, f (x)∈ Lp であるとする. このとき, f (x)の弱偏導関数w-∂f ∂xj が存在して, w-∂f ∂xj ∈ L pであるならば, f (x)はLp偏微分可能であって, f (x)のLp
収束の意味の偏導関数 ∂f ∂xj に対して, w-∂f ∂xj = ∂f ∂xj , (1≤ j ≤ d) が成り立つ. 次に,偏微分の順序交換の定理を証明する. 定理 1.3.6 1 ≤ p < ∞であるとし, f (x)∈ Lpであるとする. 1 ≤ i, j ≤ d, (i ̸= j)に対し, Lp収束の意味において ∂ 2f ∂xi∂xj と ∂2f ∂xj∂xi が存在すれば,等式 ∂2f ∂xi∂xj = ∂ 2f ∂xj∂xi が成り立つ. 証明 定理の条件のもとにおいて, 関数f (x)に対し, 2階の弱偏 導関数w- ∂ 2f ∂xi∂xj とw- ∂ 2f ∂xj∂xi が存在して, ∂2f ∂xi∂xj = w- ∂ 2f ∂xj∂xi , ∂2f ∂xi∂xj = w- ∂ 2f ∂xj∂xi が成り立つ. このとき, w- ∂ 2f ∂xi∂xj = w- ∂ 2f ∂xj∂xi が成り立つから, ∂2f ∂xi∂xj = ∂ 2f ∂xj∂xi
が成り立つ. // 定理 1.3.7 1 ≤ p < ∞であるとするとき, 関数列fn(x) ∈ Lp, (n = 1, 2, 3, · · · )に対し, f, g ∈ Lpが存在して fn−→ f, (n −→ ∞), ∂fn ∂xj −→ g, (n −→ ∞) であるとすると, ∂f ∂xj ∈ L p が存在して ∂f ∂xj = g が成り立つ. ここで, 1 ≤ j ≤ dとする. すなわち, 偏微分作用素 ∂ ∂xj は閉作用素である. 定理1.1.10によって, 1 < p <∞であるとき, Lp偏微分可能性, Lp 弱偏微分可能性と超関数の意味の偏微分可能性は一致すること がわかる. このことは, Lp微分可能性, Lp弱微分可能性と超関数の 意味の微分可能性についても成り立つ. さらに, 1 < p <∞であるとき, Lp関数のLp偏導関数, Lp弱偏 導関数と超関数の意味の偏導関数は一致する.
1.4
L
ploc関数の微分法
1.4.1
L
ploc微分可能性
本項においてはLploc微分可能性の概念について考察する. 開区 間(a, b)上定義された局所p乗可積分関数全体のつくる関数空間を Lploc = Lploc(a, b)と表す. ただし, 1≤ p ≤ ∞であるとする.このとき,開区間(a, b)上定義された局所p乗可積分関数に対し てLploc空間の収束の意味での微分可能性について考察する. このとき,次の定義1.4.1を与える. 定義1.4.1(Lploc 微分可能性) 関数y = f (x)は開区間(a, b)上 定義された局所p乗可積分関数であるとする. ただし, 1≤ p ≤ ∞ であるとする. このとき,独立変数xの増分∆xにともなう関数y = f (x)の増分 ∆yを ∆y = f (x + ∆x)− f(x) = A(x)∆x + ε(x, ∆x)∆x とおく. ここで, A(x)は, xのみの関数で, ∆xに依存しないとする. ε = ε(x, ∆x)はxと∆xに依存する関数である. このとき,関数y = f (x)が開区間(a, b)において, Lploc収束の意 味で微分可能であるとは, 開区間(a, b)において, Lploc収束の意味 で条件 ∆x−→ 0ならば, ε(x, ∆x)−→ 0 が成り立つことをいう. すなわち,これは, a < c < d < bなる任意の実数の対c, dに対し lim ∆x→0q[c, d](ε(x, ∆x)) = lim∆x→0 ( ∫ d c |ε(x, ∆x)|pdx)1/p= 0 が成り立つことと同値である. このとき，ε(x, 0) = 0, (x ∈ (a, b))と定義を拡張することに する． ここで, Lploc収束の意味で微分可能であることを,略式に, Lploc微 分可能であるという.
いま,関数y = f (x)は開区間(a, b)においてLploc 微分可能であ るとする. このとき, 定義1.4.1の条件より, 各x ∈ (a, b)に対し Lploc収束の意味において,極限 lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim∆x→0 f (x + ∆x)− f(x) ∆x = f ′(x) が存在する. このとき,この極限f′(x)をy = f (x)のLploc導関数で あるという. Lplocの完備性によって, f′(x)もLploc(a, b)の元である. Lploc収束の性質より, f′(x)は(a, b)においてほとんどいたるとこ ろ定められた実数値をもっている.
1.4.2
L
ploc導関数の性質
D = D(R)はR上のコンパクト台をもつC∞関数全体のつくる 関数空間であるとする. さらに, Lploc = Lploc(R) であるとする. た だし, 1≤ p ≤ ∞であるとする. ここで,弱導関数の定義を次のように与える. 定義 1.4.2 1≤ p ≤ ∞であるとし, f (x)∈ Lplocであるとする. このとき, f (x)の弱導関数w-f′(x)∈ L1locは条件 (w-f′, φ) =−(f, φ′), (φ∈ D) を満たす関数であると定義する. このとき,次の定理が成り立つ. 定理 1.4.1 1≤ p ≤ ∞であるとし, f (x)∈ Lplocであるとする. f (x)がLploc微分可能であれば, f (x)は弱微分可能で, そのLploc収束の意味における導関数f′(x)は弱導関数w-f′(x)と一致する. す なわち,等式 f′(x) = w-f′(x) あるいは,等式 (f′, φ) = (w-f′, φ), (φ∈ D) が成り立つ. このとき, f (x)∈ Lplocの弱導関数w-f′(x)はLploc関数である. 定理 1.4.2 1≤ p ≤ ∞であるとし, f (x)∈ Lplocであるとする. f (x)の弱導関数w-f′(x)が存在して, w-f′(x)∈ Lplocならば, f (x) はLploc微分可能であって, f (x)のLploc収束の意味の導関数f′(x)に 対して, w-f′(x) = f′(x) が成り立つ. 定理 1.4.3 1 ≤ p ≤ ∞であるとするとき, 関数列fn(x) ∈ Lploc, (n = 1, 2, 3, · · · ) に対し, f, g∈ Lplocが存在して, fn−→ f, (n −→ ∞), fn′ −→ g, (n −→ ∞) であるとすると, f′ ∈ Lplocが存在して, f′ = g が成り立つ. すなわち,微分作用素 d dxは閉作用素である. 定理1.2.3によって, 1≤ p ≤ ∞であるとき, Lploc微分可能性, Lploc 弱微分可能性と超関数の意味の微分可能性は一致することがわかる.
したがって, このとき, Lploc関数のLploc 導関数, Lploc弱導関数と超 関数の意味の導関数は一致する
関数の微分可能性や導関数の計算は局所的な概念と考えられる. 特に,包含関係L1 ⊂ L1locが成り立っているから, L1関数の導関数 の計算はL1loc関数として計算すればよいことを注意する. したがっ て, L1関数の弱導関数は, そのL1loc導関数がL1関数になっている ことと考えればよい.
1.4.3
L
plocの意味での微分可能性
DはRdの一般の領域であるとする. ただし, d≥ 2であるとする. 領域D上定義された局所p乗可積分関数全体のつくる関数空間 をLploc= Lploc(D)と表す. ただし, 1≤ p ≤ ∞であるとする. このとき,領域D上定義された局所p乗可積分関数に対して, Lploc 収束の意味での微分可能性について考察する. このとき,次の定義1.4.4を与える. 定義1.4.4(Lploc 微分可能性) 関数y = f (x)は領域D上定義さ れた局所p乗可積分関数であるとする. ただし, 1≤ p ≤ ∞である とする. このとき, 独立変数xの増分∆xにともなう関数y = f (x) の増 分∆yを ∆y = f (x + ∆x)− f(x) = d ∑ i=1 Ai(x)∆xi+ ε(x, ∆x)ρ と表す. ここで, Ai(x), (i = 1, 2, · · · , d)は, x のみの関数で∆x に依存しないとする. ε = ε(x, ∆x)はxと∆x に依存する関数で ある. このとき,関数y = f (x)が領域DにおいてLploc収束の意味で微 分可能であるとは,領域Dにおいて, Lploc収束の意味で,条件 ∆x−→ 0ならば, ε(x, ∆x)−→ 0が成り立つことをいう． すなわち，1≤ p < ∞のとき,これは,領域Dの任意のコンパク ト部分集合Kに対し, lim ∆x→0qK(ε(x, ∆x)) = lim∆x→0 ( ∫ K |ε(x, ∆x)|pdx)1/p= 0 が成り立つことと同値である． p =∞のとき, L∞loc(D)のセミノルムの系に関して同様の性質が 成り立つ. このとき，ε(x, 0) = 0, (x∈ D)と定義を拡張することにする． ここで, Lploc収束の意味で微分可能であることを,略式に, Lploc微 分可能であるという.
1.4.4
L
ploc遍導関数の性質
Rdの一般の領域Dに対し, Lploc = Lploc(D)であるとする. ただ し, d≥ 2, 1 ≤ p ≤ ∞であるとする. いま, f (x)∈ LplocがLploc微分可能であるとすると, 1≤ j ≤ dに 対し,極限 ∂y ∂xj = lim h→0 (τ−hejf )(x)− f(x) h がLploc収束の意味で存在する. ただし, 1≤ j ≤ dに対し,{e1, e2, · · · , ed}はl2(d)の標準基底であるとし, τy, (y ∈ Rd)は平行移動 作用素を表す. このとき,偏導関数 ∂y ∂xj , (1≤ j ≤ d)もLploc関数である. これを, Lploc偏導関数であるという. このとき, ∂y ∂xj , (1≤ j ≤ d)はほとん どいたるところ実数値が定まっている.ここで,弱偏導関数の定義を次のように与える. 定義1.4.5 いま, 1≤ p ≤ ∞, 1 ≤ j ≤ dであるとし, f (x)∈ Lploc であるとする. このとき, f (x)の弱偏導関数w-∂f ∂xj ∈ L 1 locは条件 ( w-∂f ∂xj , φ ) =− ( f, ∂φ ∂xj ) , (φ∈ D) を満たす関数であると定義する. このとき,次の定理が成り立つ. 定理1.4.4 いま, 1≤ p ≤ ∞, 1 ≤ j ≤ dであるとし, f (x)∈ Lploc であるとする. f (x)がLploc偏微分可能であれば, f (x)は弱偏微分 可能で, そのLploc収束の意味における偏導関数 ∂f ∂xj は弱偏導関数 w-∂f ∂xj と一致する. すなわち,等式 ∂f ∂xj = w-∂f ∂xj , (1≤ j ≤ d) あるいは,等式 ( ∂f ∂xj , φ ) = ( w-∂f ∂xj , φ ) , (φ∈ D, 1 ≤ j ≤ d) が成り立つ. このとき, f (x) ∈ Lplocの弱偏導関数w-∂f ∂xj はLploc関数である (1≤ j ≤ d). この事実はf (x)∈ Lplocに対して無条件に成り立つ性 質ではない. 定理 1.4.5 いま, 1 ≤ p ≤ ∞であるとし, f (x) ∈ Lplocである とする. このとき, 1≤ j ≤ dに対し, f (x)の弱偏導関数w-∂f ∂xj が
存在して, w-∂f ∂xj ∈ L p locならば, f (x)はL p loc 偏微分可能であって, f (x)のLploc収束の意味の偏導関数 ∂f ∂xj に対して, w-∂f ∂xj = ∂f ∂xj , (1≤ j ≤ d) が成り立つ. さらに,次の偏微分の順序交換の定理が成り立つ. 定理1.4.6 1≤ p ≤ ∞であるとし, f (x)∈ Lplocであるとする. 1 ≤ i, j ≤ d, (i ̸= j)に対し, Lploc収束の意味において ∂ 2f ∂xi∂xj と ∂2f ∂xj∂xi が存在すれば,等式 ∂2f ∂xi∂xj = ∂ 2f ∂xj∂xi が成り立つ. 証明 定理の条件のもとにおいて, 関数f (x)に対し, 2階の弱偏 導関数w- ∂ 2f ∂xi∂xj とw- ∂ 2f ∂xj∂xi が存在して, ∂2f ∂xi∂xj = w- ∂ 2f ∂xj∂xi , ∂2f ∂xi∂xj = w- ∂ 2f ∂xj∂xi が成り立つ. このとき, w- ∂ 2f ∂xi∂xj = w- ∂ 2f ∂xj∂xi
が成り立つから, ∂2f ∂xi∂xj = ∂ 2f ∂xj∂xi が成り立つ. // 定理1.4.7 1 ≤ p ≤ ∞であるとするとき, 関数列fn(x) ∈ Lploc, (n = 1, 2, 3, · · · )に対し, f, g ∈ Lplocが存在して fn−→ f, (n −→ ∞), ∂fn ∂xj −→ g, (n −→ ∞) であるとすると, ∂f ∂xj ∈ L p locが存在して ∂f ∂xj = g が成り立つ. ここで, 1≤ j ≤ dであるとする. すなわち, 偏微分作 用素 ∂ ∂xj は閉作用素である. 定理1.2.3によって, 1 ≤ p ≤ ∞であるとき, Lploc偏微分可能性, Lploc弱偏微分可能性と超関数の意味の偏微分可能性は一致すること がわかる. このことは, Lploc微分可能性, Lploc弱微分可能性と超関数 の意味の微分可能性についても成り立つ.
さらに,このとき, Lploc関数のLploc偏導関数, Lploc弱偏導関数と超
関数の意味の偏導関数は一致する.
包含関係L1⊂ L1
locが成り立っているから, L1関数の弱偏導関数
