4 水面波の理論

４ 水面波の理論

海面上では、風浪、うねりのような波浪のほか、津波など、さまざまな 波動が伝播する。前の章では津波の特性について考えた。ここでは、津 波以外の波動を含めて、海面を伝播する波動の一般的な特性を論じる。

４．１ 風浪とうねり

海上風によって海面に生じる波（波浪）を風浪(wind sea)という。風が弱くな っても波はすぐに消えるわけではなく、波長が長くなめらかな形をした波が残 る。このような波長の長い波はより遠くへ伝播する。これをうねり(swell)とい う。

波の高さ（波高）(wave height)は、水面がもっとも高くなっている場所と低 くなっている場所との高さの差として定義される。波動論における振幅の２倍 の値になるので注意する。一方、津波情報においては、波動論での考え方と同 様に、平均海面からの高さを津波の高さとしているので、この点にも注意が必 要である。実際の風浪やうねりには、さまざまな高さの成分が含まれている。

波高が上位３分の１の波を選んだものを有義波(significant wave)といい、有義 波の波高を平均したものを有義波高(significant wave height)という。

「波の高さ」と有義波高の値との関係 波の高さ 有義波高

やや高い 有義波高が 1.25 m を超える 高い 有義波高が 2.5 m を超える しけ 有義波高が 4 m を超える 大しけ 有義波高が 6 m を超える 猛烈なしけ 有義波高が 9 m を超える

波高は、海上風速だけでなく、吹走距離(fetch)や持続時間(duration)にも依存 する。吹走距離が長いほど、また、持続時間が長いほど、波高は高くなる。ま た、波長が長いうねりは遠方まで伝わりやすいため、台風が遠方の海洋上にあ る場合でも、高いうねりが海岸まで到達することがある。このようなうねりを 土用波とよぶことがある。

気象庁では、海岸に設置された沿岸波浪計によって波浪を観測している。現 在ではレーダー式沿岸波浪計が使われている。レーダー式沿岸波浪計は、海岸 から海面に向けてマイクロ波を発射し、ドップラー効果により変調された反射 波を測定することにより、波高（有義波高）のほか、周期（有義波周期）、波向 を観測している。波高は、沿岸波浪計のほか、船舶や人工衛星によっても観測 されている。沿岸波浪実況図や予想図には、有義波高のほか、波の向き（卓越 波向）と周期（卓越周期）、海上風向・風速が示される。卓越波向、卓越周期、

海上風向・風速は、実況図を含めて、観測値ではなく数値モデルによる推定値 を用いている。

４．２ 基本方程式系

ここでは、鉛直構造をもった波の伝播を考察するので、水平-鉛直面（x-z平 面）内での流体の運動を考えることにする。圧力偏差をp'とすると、運動方程 式は、

1 ' x p Dtu

D



 

  (1)

1 ' z p Dtw

D



 

  (2)

w z u x

t Dt

D



 



 



 

と書ける。ただし、海水の密度は一定とする。また、コリオリ力や粘性は無 視した。さらに、微小振幅を仮定して、波の振幅が小さいとすれば、2次の量で ある移流項を無視することができて、

1 ' x p

tu 

 

 



 (3)

1 ' z p

tw 

 

 



 (4)

と表せる。このようにして 1 次の項だけを残すことを線形化という。一方、連 続の式は、



 







 



 

 w

u z x Dt

D  (5)

と書けるが、海水の密度は一定とみなせるので、

0



 



 w

u z

x (6)

と表せる。

また、境界条件としては、底面（_z0）では、鉛直速度はゼロだから、

0

w （z0） (7)

が成り立つ。一方、水面付近（zH）では、水面の高さの偏差に対応した圧力 偏差が生じると考えれば、

gh

p' (8)

が成り立つ。ただし、gは重力加速度である。両辺のラグランジュ微分をとると、

Dth g D Dt p

D '  (9)

となるが、

H z h H

z w

w Dth

D





 

 (10)

を考慮すると、

H

wz

g Dt p

D

 

'

と表せる。さらに、微小振幅を仮定して、波の振幅が小さいとすれば、2次の量 である移流項を無視することができて、

gw t p 



 ' （zH ） (11)

が得られる。

４．３ 水面波の分散関係

方程式系(3)、(4)、(6)において、(3)をzで、(4)をxで偏微分すると、

1 ' z p u x

z

t 





 

 







 1 '

z p w x

x

t 





 

 







 となる。これらの式からp'を消去すると、

0



 







 







 u

w z x

t (12)

が得られる。(12)はx-z平面内での渦度が時間変化しない、つまり常にゼロであ ることを示している。(12)をxで偏微分すると、

2 0

2 



 











 







 u

z w x

x t

となる。(6)を用いてuを消去すると、

2 0

2 2

2  



 







 







 w

z x

t (13)

が得られる。

また、水面での境界条件(11)をxで偏微分すると、

xw g x p

t 

 







 ' 

となる。なお、(11)はzH でのみ成り立つので、zで偏微分することはできな いことに注意する。(3)を用いてp'を消去すると、

xw g t u 

 



 ²₂ (14)

が得られる。さらに、xで偏微分すると、

x w g xu

t ²

2 2

2



 







 

となる。(6)を用いてuを消去すると、

x w g zw

t ²

2 2

2



 







 （z H） (15)

が得られる。

ここで、東西、時間方向には波型を仮定して、

 





 

w

wRe ˆ exp  (16)

とおく。wˆはzのみの関数（複素数）であり、kは東西波数、は角振動数であ る。ただし、k 0、 0とする。このとき、(13)は

ˆ 0

2 2

2  



 



 

 w

dz k d i となるから、

ˆ 0

2 2

2  



 



  w

dz

k d (17)

が得られる。

また、水面での境界条件(15)は、

w gk dzw

d ˆ ²ˆ

2 

 （zH ） (18)

となる。

ここで、(17)の解を考える。(17)はwˆ についての定数係数の線形常微分方程式 であり、斉次（同次）形になっている。したがって、この微分方程式の一般解 は、

kz

kz C e

e C

wˆ  ₁  ₂ ^ （C₁、C₂は定数） (19) と書ける。底面（z0）での境界条件より、





ˆ z C₁ C₂  w

1

2 C

C  (20)

となる。(20)を(19)に代入して、





 

C

wˆ  ₁ ^kz  ^kz 2 ₁sinh (21)

が得られる。これを水面（z H）での境界条件(18)に代入すると、

 

 

2 

 ² gktanh

 

となる。これが水面波(water wave)の分散関係式である。位相速度cは、

 

g

ck  tanh ₍₂₃₎

である。

水面波の分散関係

水面波の位相速度

まず、波長が水深に比べてじゅうぶんに長い場合、つまり、水深Hが波長 k

 2

に比べてじゅうぶんに浅い場合について、解(22)の性質を検討する。この場合、

1

kH だから、一般に、

 

が成り立つ。したがって、分散関係式(22)は H gk²

2 



k

 gH

 (24)

となる。このとき、位相速度cは、

k gH c 

(25) である。これは、浅水波の分散関係に一致する。

次に、波長が水深に比べてじゅうぶんに短い場合、つまり、水深Hが波長 k

 2

に比べてじゅうぶんに深い場合について、解(22)の性質を検討する。この場合、

1

kH だから、一般に、

 

gk

2

 gk

 (26)

深水波 c g/k

浅水波 c gH

となる。このとき、位相速度_cは、

k g

ck  ₍₂₇₎

である。このような波動を深水波(deep-water wave)という。上の図をみると、

水深が波長の 1/2 倍よりも深いとき（kH  のとき）には、ほぼ深水波とみな せることがわかる。深水波は、浅水波とは異なり、波数によって位相速度が変 化する。このような波動を分散性波動(dispersive wave)という。分散性波動は、

低波数成分と高波数成分とでは進行する速さが異なるので、伝播しながら形が 変わっていく。深水波の場合、高波数（短波長）成分の位相速度が遅くなって いる。

海洋でみられる波浪は水深が浅い場合を除き、深水波とみなせる。波浪は波 長の長い成分のほうが速く伝播するが、これは、深水波の分散関係式によって 説明できる。波浪のうち、長波長の成分が遠方に伝播したものがうねりである。

また、水面に物を投げ入れたときに生じる波紋も深水波に近い。ただし、波紋 のような短波長の水面波においては表面張力(surface tension)の効果も無視で きないため、分散関係にずれが生じる。

分散関係式の導出にあたって、振幅は小さいと仮定して 2 次の量である移流 項を無視した。現実には、振幅が大きくなると移流項の効果によって波の形が 歪み、三角関数からずれた形になって、波がしらが崩れ始める。波高の上限は、

波長の 7 分の 1 程度であり、この上限を超えると波がしらが崩れるとされてい る。

４．４ 水面波の構造

水面波の構造、つまり流速

 

 

wˆ  sinh （Cは定数） (28) とおく。さらに、(16)と同様に、u、hについても東西、時間方向に波型を仮定

して、 u Reuˆ

 





 

 





h

hReˆexp  (30)

とおく。uˆ、hˆはzの関数であることに注意する。このとき、(16)、(28)、(29) を(6)に代入して、

 

 



 

 

  



 

 

 w i kx t

t z kx i

x u  

 





 





 

u

ikˆexp   cosh exp 

 

uˆ cosh (31)

となる。一方、(10)において、微小振幅を仮定すると、

H

wz

th ^



 (32)

と表せる。(16)、(28)、(30)を(32)に代入して、

 

 







 



 

t    



 ˆexp ˆ exp

 





 





 

h

i   

 ˆexp sinh exp

 

iC hˆ sinh

  (33)

が得られる。

以上の結果において、u、w、hの位相の関係に注目して、水面波の水平構造 を考える。 まず、(31)、(33)より、uˆはhˆの正の定数倍になっていることがわか る。つまり、水面の高さの偏差hが極大（極小）になるとき、水平流速uも極大

（極小）になる。また、u、hはwに比べて位相が/2だけ進んでいる。これは u、hの極大（極小）がwの極大（極小）に比べて1/4波長だけx方向にずれ た位置にあって、時間的には1/4周期だけ遅れていることを示している。

さたに、u、w、hのz依存性に注目して、水面波の鉛直構造を考える。まず、

波長が水深に比べてじゅうぶんに長い場合、つまり、水深Hが波長 k



2 に比べて

じゅうぶんに浅い場合について、(31)、(28)で表される水面波の構造を検討する。

この場合、kzkH 1だから、一般に、

 

 

が成り立つ。したがって、(31)、(28)は iC uˆ 

Ckz wˆ 

ˆ 0

ˆ kz u

w (34)

となる。つまり、水平流uに比べて鉛直流wはじゅうぶんに小さいことがわかる。

これは水平方向の往復運動を意味する。この流速場は浅水波の構造に一致する。

次に、波長が水深に比べてじゅうぶんに短い場合、つまり、水深_Hが波長 k

 2

に比べてじゅうぶんに深い場合について、水面波の構造を検討する。この場合、

1

kH だから、底面付近（_z0）を除いて_kz1である。このとき、一般に、

 

2 cosh  1

 

2 sinh  1

が成り立つ。したがって、(31)、(28)は iCekz

u 2 ˆ 1

Cekz

w 2 ˆ  1

ˆ 1 ˆ  u w

(35)

となる。つまり、水平流uと鉛直流wは、位相が/2だけずれるが、振幅は同程 度であることがわかる。これは円運動を意味する。また、円運動の振幅は、水 面付近で最大であり、水深とともに指数関数的に減少する。実際に、微小振幅 の深水波の場合、水面に浮いている物体は、波の伝播にともなって円運動をす る。

問 4.1 周期が 6 秒、9 秒、12 秒の深水波について、それぞれの波長と位相速 度を有効数字２けたで求めよ。重力加速度はg 9.81m/s²とする。

問 4.2 周期が6秒、9秒、12秒の水面波について、水深2 mの場合において、

それぞれの波長と位相速度を有効数字２けたで求めよ。いずれの水面波につい ても、浅水波であることを仮定してよい。重力加速度はg 9.81m/s²とする。

課題 4.1 水深Hがじゅうぶんに深い場所で生じた水面波が、水深の浅い沿岸の 海域に向かって、水面波の分散関係

 

2 

 [1]

をみたしながら伝播しているとする。kは波数（k 0）、は角振動数、gは重

①一般に_{0tanhx1}（_x0）であることを用いて、_kの値の下限k_minをとg で表せ。

②k k_minおよび_{k }における_Hの値を求めよ。

③[1]の両辺にkをかけたうえで、_kで微分し、

dk

dH を求めよ。また、

dk

dH の符号

（正負）を検討せよ。_kと_H以外は定数であることに注意せよ。

④k k_minおよび_{k }における dk

dH の値を求めよ。

⑤③の解を_kで微分し、

2 2

dk H

d を求めよ。また、

2 2

dk H

d の符号（正負）を検討せよ。

⑥水深_Hの変化とともに波数_kはどのように変化するか、概形を図示せよ。横 軸を水深_H、縦軸を波数_kとする。

水深と水面波の波長との関係

周期6秒 周期12秒

周期9秒

補遺 定数係数の線形常微分方程式の解法

たとえば、_xについての関数yに関して、次のような定数係数の線形常微分方 程式を考える。

x y y

y''2 '3 9 (1)

(1)を解くためには、まず、右辺をゼロとして、

0 3 ' 2 '

'  y y 

y (2)

の解を考える。(1)のような形の定数係数の線形常微分方程式のうち、右辺がゼ ロであるものをとくに斉次（同次）形(homogeneous form)という。ここで、

Ce x

y ^ （_Cは定数） (3) とおいて、斉次方程式(2)に代入すると、

0 3

2Ce^x 2Ce^x  Ce^x 

 (4)

となるから、

0 3

2 2  

 (5)

である。これを特性方程式(characteristic equation)という。(5)の解は、

3 , 1

  (6)

だから、(2)を満たすyは、

x

x Ce

e C

y  ₁  ₂ ^3 （C₁, C₂は定数） (7) である。これを斉次（同次）解(homogeneous solution)という。一方、(1)を満 たす解のひとつとして、

2 3 



 x

y (8)

を挙げることができる。このような解を特殊解(particular solution)という。(1) を満たす解は他にもあるが、ここでは例をひとつ挙げれば十分である。線形常 微分方程式の解は斉次解と特殊解との和であるから、(1)の解は、

2

3 3

2

1   

Ce C e^ x

y ^{x x} （C₁, C₂は定数） (9)

と表せる。これを一般解(general solution)という。一般に、n階常微分方程式 はn個の任意定数を含む。

特性方程式が複素数解を持つ場合でも同様に考えることができる。たとえば、

0 ' ' y 

y (10)

に対して、特性方程式

0

2 1

 (11)

の解は、

i

 (12)

だから、(10)を満たすyは、

ix

ix C e

e C

y  ₁  ₂ ^ （C₁, C₂は定数） (13)

x i x

e^ix cos  sin (14)

に注意して、(13)を書きかえると、

   

   

x C x C

x C C i x C

C

x i x C x i x C y

sin ' cos

'

sin cos

sin cos

sin cos

2 1

2 1 2

1

2 1





















　 （C₁', C₂'は定数） (15)

と表せる。

また、

0 ' 2 '

'  yy

y (16)

のように特性方程式が重解をもつときは、

x

x C xe

e C

y  ₁ ^  ₂ ^ （C₁, C₂は定数） (17)

が解である。