速度・加速度

暟椚㷕暟椚㷕"

痥㔐խ鸞䏝ה⸇鸞䏝

鸞䏝٥⸇鸞䏝

װ׶׋ְֿה

ꟼ侧ך鑧

暟⡤ך麊⹛׾锃ץ׷

暟⡤ך⡘縧ה鸞䏝׾锃ץ׷ ֿ׸׵׾儗꟦ךꟼ侧ה׃ג邌׃׋ְ

ꟼ侧הכ

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ⴄ侧 PVUQVU

儗ղⵟղה㢌⻉׃גְֻ暟⡤ך⡘縧

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⡘縧ך鎸ꐮ

㹋欽涸חכֿ׿ז邌ָדֹ׷

t[s] x (x成分)[m] y (y成分)[m] z (z成分)[m]

0 0.2 0.5 -0.3

0.1 0.21 0.49 -0.31

0.2 0.22 0.47 -2.9

0.3 0.24 0.45 -2.7

0.4 0.26 0.46 -2.6

0.5 0.28 0.47 -2.5

0.6 0.30 0.45 -2.4

0.7 0.31 0.44 -2.3

… … … …

ぐ䧭ⴓך⽃⡘כN ꞿׁך⽃⡘

♧如⯋ך麊⹛

鑧׾知⽃חׅ׷׋׭ח如⯋ך麊⹛׾罋ִ׷

儗ⵟ

t

ֿך暟⡤ך鸞䏝׾罋ִ׷

鸞䏝הכ

⽃⡘儗꟦֮׋׶ך⡘縧ך㢌⻉կ 稆劰חכ ⡘縧ך㢌⻉

ַַ׏׋儗꟦

v = x(t) x(t

) t t

騃ꨄ

儗꟦ 鸞ׁ

䙼ְ⳿׃ג׫״ֲ

♧㹀鸞䏝ך麊⹛

♧㹀ך鸞䏝ד麊⹛׃גְ׷㜥さ׾罋ִ׷

x(t) = v (t t

) + x(t

) = vt + x(t

) vt

x t כ t ך如ꟼ侧חז׷

t

x t

x t ؚٓؿך⫘ָֹ v t

x

t x

x(t) x(t

)

t t

= v

如ꟼ侧ך䗁统

x

y y = f(x) = ax + b

b

⫘ֹ ⴖ晙

剑׮知⽃דⴓַ׶װְׅꟼ侧

չ⫘ֹպהכ

xָ㢌⻉ׅ׷꟦חyְָֻ׵㢌

⻉ׅ׷ַ׾邌ׅꆀկ a

1

x

a x

וךxך⦼ח㼎׃ג׮ו׿זþxך⦼ח㼎׃ג׮yך⦼כxך㢌⻉ך a⦓㢌⻉ׅ׷ 如ꟼ侧ך暴䗙 y = a x

x y

⫘ָֹײ׷װַ

⫘ָֹ䚈

و؎شأך⫘ֹ xtؚٓؿך⫘ֹכתׁח鸞䏝ח㼎䘔 嫰⢽ꟼ⤘

⢽겗

♧㹀ך鸞䏝ד⹛ְגְ׷暟⡤׾罋ִ׷կ

儗ⵟtחxחְ׋暟⡤ָ儗ⵟtTחxNפ獳⹛׃׋կ

ֿך暟⡤ך鸞䏝כְֻ׵ַ

儗ⵟtTחxNחְ׋暟⡤ָ儗ⵟtTחxˊNפ獳⹛׃׋կ

ֿך暟⡤ך鸞䏝כְֻ׵ַ

⢽겗

♧㹀ך鸞䏝ד⹛ְגְ׷暟⡤׾罋ִ׷կ

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ֿך暟⡤ך鸞䏝כְֻ׵ַ

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ֿך暟⡤ך鸞䏝כְֻ׵ַ

v = 10m 0

5s 0 = 2m/s

⢽겗

♧㹀ך鸞䏝ד⹛ְגְ׷暟⡤׾罋ִ׷կ

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ֿך暟⡤ך鸞䏝כְֻ׵ַ

v = 10m 0

5s 0 = 2m/s

v = 30m 15m

5s 2s = 15m/s

⢽겗

♧㹀ך鸞䏝ד⹛ְגְ׷暟⡤׾罋ִ׷կ

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鸞䏝כ倯ぢ׮ꅾ銲 و؎شأ倯ぢפ⡘縧ָ㢌⻉׃׋׵و؎شأך鸞䏝

瘝鸞䏝麊⹛

IUUQTXXXZPVUVCFDPNXBUDI W*L;ZC766

瘝鸞䏝麊⹛

IUUQTXXXZPVUVCFDPNXBUDI W*L;ZC766

鸞䏝ⱄ罋

⡘縧ך㢌⻉ַַ׏׋儗꟦הְֲ鎘皾כꬊ植㹋涸 Ⰻֻ搀䠐㄂הְֲ׻ֽדכזְ

⢽넝鸞麣騟׾⢪׏גLN⯓תד獳⹛ׅ׷ךחו׸

ֻ׵ְך儗꟦׾鋅鴥׭ל葺ְַ

⢽䖝娄ד獳⹛ׅ׷ꥷך鸞䏝כ׌ְ׋ְו׸ֻ׵ְַ

♳鎸ך״ֲזֿה׾罋ִ׷ꥷח⢪ֲչ鸞䏝պך姻然ז䠐

㄂הכז׿׌׹ֲַ

䎂㖱ך鸞䏝ה澓꟦ך鸞䏝

儗ⵟ

t

t þ t

儗ⵟ

t

t

þ

t

侧㷕ד涫㜥ׅ׷䗍ⴓך㹀纏׉ך׮ך

֮׷暴㹀ך儗ⵟך䞔㜠׌ֽדכ鸞䏝כ寸ת׵זְկ

䗍㼭ח儗꟦ָ穗׏׋הֿ׹דⱄן⡘縧׾庠㹀ׅ׷䗳銲ָ֮׷կ

¯

v = x(t + t) x(t) t

v (t) = lim

t!0

x(t + t) x(t)

t = dx(t)

dt

♧菙ך㜥さ

x

t x

t ַַ׏׋儗꟦

⡘縧ך㢌⻉

x0

v = x

t ⫘ָֹ鸞䏝

x(t) = vt + x₀ y = ax + b

⯓玎ך如ꟼ侧ך鑧ה㼎䘔 xָtך如ꟼ侧ד֮׸ל

鸞䏝vכוֿד׮ずׄ

x

t

醱꧟ז䕎ךꟼ侧ך㜥さ

㖑䕎׌ה䙼ִל

㜥䨽ח״׏ג⫘ָֹ麩ֲ

儗ⵟח״׏ג鸞䏝vָ殯ז׷

⢽겗

x t at

t

֮׷儗ⵟ

t

x t at

ֿך儗ⵟַ׵þU׌ֽ儗꟦ָ穗麓׃׋הֹׅז׻׍儗ⵟ

t

t

x t

t a t

t

״׏ג

t 0

v (t) = lim

t 0

v ¯ = 2at

¯

v = x(t + t) x(t)

t = a(t + t)

at

t

= a(t

+ 2t t + t

) at

t = a(2t + t)

⢽겗

x t at

t

⡘縧ך䗍ⴓָ鸞䏝חז׷ַ׵⽃ח儗꟦ד䗍ⴓ׃ג׮ずׄ

瘶ִָ䖤׵׸׷կ

v (t) = dx(t)

dt = 2at

x t ؚٓؿה鸞䏝

t x

䎂㖱ך鸞䏝ؚٓؿ♳ך挿꟦׾穠ע湫简ך⫘ֹ

t

t

⫘ָֹ

t 0

v = dx dt

⫘ָֹ䎂㖱ך鸞䏝

t

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1

- 1.0

- 0.5

0.5

1.0

-5 -4 -3 -2 -1 1

-1.0 -0.5 0.5 1.0

䗍ⴓ岀ך䠐㄂

t x

1 1

O

0.8 0.9 1 1.1 1.2 t

0.8 0.9 1 1.1 1.2 x

1

x(t) = t²

䗍ⴓ岀ך劤颵כ刼简׾䱸简ד鵚⡂ׅ׷ֿהח֮׷

䗍ⴓ岀ך䠐㄂

t x

1 1

O

0.8 0.9 1 1.1 1.2 t

0.8 0.9 1 1.1 1.2 x

1

x(t) = t²

䭁㣐

䗍ⴓ岀ך劤颵כ刼简׾䱸简ד鵚⡂ׅ׷ֿהח֮׷

䗍ⴓ岀ך䠐㄂

t x

1 1

O

0.8 0.9 1 1.1 1.2 t

0.8 0.9 1 1.1 1.2 x

1

x(t) = t²

t x

1 1

O

0.8 0.9 1 1.1 1.2 t

0.8 0.9 1 1.1 1.2 x

1

䭁㣐

䗍ⴓ岀ך劤颵כ刼简׾䱸简ד鵚⡂ׅ׷ֿהח֮׷

䗍ⴓ岀ך䠐㄂

t x

1 1

O

0.8 0.9 1 1.1 1.2 t

0.8 0.9 1 1.1 1.2 x

1

x(t) = t²

t x

1 1

O

0.8 0.9 1 1.1 1.2 t

0.8 0.9 1 1.1 1.2 x

1

䭁㣐

饔ְ简 刼简׾

ꫬְ简 湫简ד 鵚⡂דֹ׷

䗍ⴓ岀ך劤颵כ刼简׾䱸简ד鵚⡂ׅ׷ֿהח֮׷

䗍ⴓ岀ך䠐㄂

ז׭׵ַזꟼ侧ד֮׸ל֮׷挿ך鵚⩸ד刼简ך

ؚٓؿ׾湫简ד鵚⡂דֹ׷

ֿ׸ָ䗍ⴓ岀ך㛇劤嚊䙀

ꨇ׃ְ醱꧟זꟼ侧׾知⽃ד椚鍑׃װׅ

ְ如ꟼ侧ד鵚⡂׃ג䪔ֲ

地球 兛媮ך欰崞דכ

㖑椔כ䎂׵׌ה 䙼׏ג♶鿪さכ זְ

ֿ׸הずֿׄה׾װ׏ג

ְ׷חֺׅזְ

瘝鸞䏝麊⹛ח״׷鵚⡂

x

t 䙼ְֹ׶䭁㣐

t

x

þt׾ꣲ׶זֻ㼭ֻׁׅ׷

t 0

ꣲ׶זֻ㼭ֻׁה׏׋þt׾dtה邌ׅ

tך䗍ⴓ

׮׃ꟼ侧ָהָ׏גְ׋׵׉ֿכ

ְֻ׵䭁㣐׃ג׮䱸简ד鵚⡂דֹזְ

䗍ⴓ♶〳腉 䗍ⴓׅ׷䗍ⴓ⤘侧׾実׭׷ֿה 䗍ⴓ䗍㼭㢌⻉ⴓ

• •

v(t) = dx(t) dt

ꣲ׶זֻ㼭ׁז xך㢌⻉

ꣲ׶זֻ㼭ׁז tך㢌⻉

醱꧟ז麊⹛׮䗍ⴓ〳腉ז鿇ⴓכ䗍㼭 儗꟦ך瘝鸞䏝麊⹛׾אז־׋׮ךד邌

ׇ׷կ

如⯋ך㜥さ

v(t) =

dx(t) dt dy(t)

dt dz(t)

dt

䧭ⴓד邌ׅ

r(t₀) + dr dr

䗍㼭儗꟦ך麊⹛כ 溪׏湫ּז♧㹀鸞䏝 ך麊⹛ה鵚⡂דֹ׷

׾㢌⡘كؙزٕהְֲ

r

暟⡤ך⡘縧׾⡘縧كؙزٕד邌ׅ

鸞䏝ה鸞ׁ

չ鸞䏝պ WFMPDJUZכ⽃⡘儗꟦֮׋׶ך⡘縧ך㢌⻉זךד

倯ぢ׮ꅾ銲

չ鸞ׁպ TQFFEכ鸞䏝ך㣐ֹׁ׾邌ׅ

كؙزٕꆀ

أؕٓ٦

如⯋麊⹛ך㜥さכفٓأ٥و؎شأך痗〾אֹד邌ׅ

v = | v |

⸇鸞䏝הꥡ䗍ⴓ

⽃⡘儗꟦֮׋׶ך鸞䏝ך㢌⻉׾⸇鸞䏝הְֲ

˟׋הִ幾鸞׃גְג׮չ⸇鸞䏝պ

a(t) = lim

t 0

v(t + t) v(t)

t = dv(t)

dt

鸞䏝ך㜥さהず圫ח罋ִ׸ל״ְկ

ֿֿד鸞䏝ה⡘縧ךꟼ⤘ח岣湡ׅ׷ה 如⯋ך麊⹛ד֮׸ל

a(t) = lim

t 0

v(t + t) v(t)

t = dv(t)

dt

a(t) = dv(t)

dt = d dt

dr(t)

dt = d²r(t) dt² a(t) = dv(t)

dt = d²x(t)

dt² 如⯋ך㜥さ

ꟼ侧׾㔐鸬竲䗍ⴓׅ׷ֿ

ה׾ꥡ䗍ⴓׅ׷הְֲ

ꥡ䗍ⴓ

a(t) = dv(t)

dt = d²x(t) dt²

ך⡘縧ח岣䠐

ⴓ嫡כdtָ⛦ׁ׸גְ׷ָⴓ㶨כdָ⛦ׁ׸גְ׷

xך䗍㼭㢌⻉ dxךׁ׵ח䗍㼭ז㢌⻉

d²x

dt² = d(dx) (dt)²

⸂㷕דכ⾱⵱ה׃גꥡ䗍ⴓתדָ涫㜥ׅ׷կ ꥡ䗍ⴓ⟃♳כקה׿ו⳿גֿזְկ

ꥡ䗍ⴓך䠐纏

Ⰻגךꥡ䗍ⴓ〳腉זꟼ侧כ䗍㼭⼒꟦דכ如ꟼ侧׮׃ֻכ 如ꟼ侧 ꥡ䗍ⴓ⤘侧ָך㜥さד鵚⡂דֹ׷կ

⢽겗

如⯋ך麊⹛׾罋ִ׷կ

儗ⵟUחֶֽ׷暟⡤ך⡘縧ָ如ד♷ִ׵׸׷הֹ

ֿך暟⡤ך鸞䏝ה⸇鸞䏝׾邌ׅ䒭׾実׭״կ

A

x(t) = A cos(2t)

⢽겗

如⯋ך麊⹛׾罋ִ׷կ

儗ⵟUחֶֽ׷暟⡤ך⡘縧ָ如ד♷ִ׵׸׷הֹ

ֿך暟⡤ך鸞䏝ה⸇鸞䏝׾邌ׅ䒭׾実׭״կ

A B

~ r (t) = (A cos(2t), Be

, 3t

+ 3)

䗍ⴓך鎘皾ٕ٦ٕ

䗍ⴓ岀ך鎘皾ٕ٦ٕ

ⴱ瘝ꟼ侧ך䗍ⴓ

3.2

23

表 3.2 基本的な関数の導関数。

f (x)

x

αx

sin x cos x

cos x − sin x

tan x

e

e

ln x

■微分と連続

f (x)

x = x

f (x)

x = x

f (x)

x = x

x = x

■微分計算の基礎公式 関数

f (x)

g (x)

x = x

•

: f (x) ± g (x)

x = x

d(f (x

) ± g (x

)) dx

= lim

∆x→0

(f (x

+ ∆x) ± g (x

+ ∆x)) − (f (x

) ± g (x

))

∆x

= lim

∆x→0

f (x

+ ∆x) − f (x

)

∆x ± lim

∆x→0

g (x

+ ∆x) − g (x

)

∆x ,

より，

d(f (x

) ± g (x

))

dx = df (x

)

dx ± dg (x

)

dx . (3.58)

•

: f (x)g (x)

df (x

)g (x

) dx

= lim

∆x→0

f (x

+ ∆x)g (x

+ ∆x) − f (x

)g (x

)

∆x

= lim

∆x→0

1

∆x { (f (x

+ ∆x) − f (x

))(g (x

+ ∆x) − g (x))

+(f (x

+ ∆x) − f (x

))g (x

) + f (x

)(g (x

+ ∆x) − g (x

)) }

= lim

∆x→0

f (x

+ ∆x) − f (x

)

∆x

g (x

+ ∆x) − g (x

)

∆x ∆x +

!

∆x

lim

f (x

+ ∆x) − f (x

)

∆x

"

g (x

) + f (x

) lim

∆x→0

g (x

+ ∆x) − g (x

)

∆x ,

となる。ここで最後の式の第一項目は

f (x)

g (x)

∆x → 0

0

df (x

)g (x

)

dx =

! df (x

) dx

"

g (x

) + f (x

) dg (x

)

dx , (3.59)

䗍ⴓ岀ך鎘皾ٕ٦ٕ

関数 af(x)+bg(x)をxで微分する。

d(af(x) + bg(x))

dx = adf(x)

dx + b dg(x) dx 関数 f(x)g(x)をxで微分する。

d(f(x)g(x))

dx = df(x)

dx g(x) + f(x) dg(x) dx

d(f(x)g(x))

dx = df(x) dx

dg(x)

dx とやってはいけない!!

♴鎸ךٕ٦ٕהⴱ瘝ꟼ侧ך䗍ⴓ׾濼׏גְג呎䚍ִׁ֮׸ל

ⴱ瘝ꟼ侧ך穈さׇדדֹ׋ꟼ侧כו׿ז醱꧟ז׮ךד׮䗍ⴓדֹ׷

さ䧭ꟼ侧חאְג

さ䧭ꟼ侧הכ

אךꟼ侧׾さ䧭׃׋ꟼ侧

3.2 微分 19

図 3.10 合成関数の構成

という 2段階の手順を踏んで x とz が結びつけられているのが，合成関数である。

例 (合成関数の例). f(x) = x + sinx，g(x) = x+ x² とすると，これらから，合成関数

g(f(x)) = (x + sinx) + (x+ sinx)² , (3.45)

を構成することができる。

ここで列挙したようなやり方によって，多項式関数，指数関数，対数関数，三角関数を組み合わせて作られる関数を 初等関数 (elementary function) という。例えば，

sinhx ≡ e^x −e^−x

2 , coshx ≡ e^x +e^−x

2 , (3.46)

のような双曲線関数 (hyperbolic function) 等も初等関数の一種である。

3.2 _微分

■微分の定義 変数 x に対する関数f(x) を考える。この関数に対して，ある点 x = a を考える。このとき，

∆xlim→0

f(a +∆x)− f(a)

∆x , (3.47)

zg f x

ת׆yf x׾実׭

⳿גֹ׋⦼׾zg y ח➿Ⰵ׃גz׾実׭׷

zg f xכⰋ⡤ה׃ג x׾JOQVU׃גzָ寸ת׷

״ֲחז׏גְ׷կ

䗍ⴓ岀ך鎘皾ٕ٦ٕ

さ䧭ꟼ侧ך䗍ⴓ dg(f(x))

dx = dg(y) dy

df(x) dx

さ䧭ꟼ侧ך䗍ⴓך⢪ְ倯

x(t) = (3t 1)

+ 2(3t 1)

3(3t 1) + 1

y = 3t 1

x(y ) = y

+ 2y

3y + 1 dx

dt = dx dy

dy

dt = (3y

+ 4y 3)3

=3 3(3t 1)

+ 4(3t 1) 3 y

ח䨱ׅ

䗍ⴓ岀ך鎘皾ٕ٦ٕ

鷞ꟼ侧ך䗍ⴓ

例えば f(x) = x^{2 の逆関数は} f ¹(x) = x

f f^ˊ x׾弫׋ׅꟼ侧f^ˊ x׾f xך鷞ꟼ侧הְֲկ

ֿֿד稱➜׃׋ⴱ瘝ꟼ侧ך䗍ⴓֶ״ן䗍ⴓ鎘皾ך㛇劤

ٕ٦ִׁٕ椚鍑׃גֶֽל׋ְגְך䗍ⴓך鎘皾כ䙳ֻ

זְկ֮הכ孡さה呎䚍ך㉏겗կ