位置,速度,加速度

暟椚㷕

痥㔐湡

⡘縧鸞䏝⸇鸞䏝

⡘縧鸞䏝⸇鸞䏝ךꟼ⤘׾ֶׁ׵ְ׃גֶֻ

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t

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r (t)

v (t) = dr (t) dt

a(t) = dv (t)

dt = d 2 r (t) dt 2 儗꟦tד䗍ⴓ

儗꟦

t

䗍ⴓ倯玎䒭

d 2 x(t)

dt 2 = a t, dx

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⸇鸞䏝ך䞔㜠

ちょっと先取り：

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䗍ⴓ倯玎䒭׾鍑ֻ

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⸇鸞䏝ך䒭 ⡘縧

さ鎘אך琎ⴓ㹀侧ָ䗳׆植׸׷

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14ٓفٓأ

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ך铎䊴׾孡ח׃זֽ׸לֿך猱꟦׾♧㹀鸞䏝ד鵚⡂׃ג׮״ְ

4UFQCZ4UFQ

⢽⸇鸞䏝BNT

ⴱ劍勴⟝כUךהֹחWˊNTYהׅ׷

UTַ׵ךþU猱꟦׾♧㹀鸞䏝ך麊⹛ד鵚⡂ׅ׷ה

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鸞䏝ˊNT⸇鸞䏝NT

♧㹀⸇鸞䏝ד倜׃ְ⡘縧٥鸞䏝׾鵚⡂鎘皾

UT YˊN WˊNT

鸞䏝ˊNT⸇鸞䏝NT

♧㹀⸇鸞䏝ד倜׃ְ⡘縧٥鸞䏝׾鵚⡂鎘皾

鸞䏝ˊNT⸇鸞䏝NT

♧㹀⸇鸞䏝ד倜׃ְ⡘縧٥鸞䏝׾鵚⡂鎘皾

4UFQCZ4UFQ

ֿך״ֲחþU猱׀הח儗꟦׾鹌׭זָ׵♧㹀鸞䏝٥

♧㹀⸇鸞䏝ך鎘皾׾׃גְֽל⟣䠐ך儗ⵟחֶֽ׷⡘

縧װ鸞䏝׾鵚⡂涸ח実׭׷ֿהָ〳腉կ

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ֿך鵚⡂涸ז䗍ⴓ倯玎䒭ך鍑ֹ倯׾ؔ؎ٓ٦岀הְֲ

ؔ؎ٓ٦岀כ֮ת׶⸬桦״ֻ鵚⡂ך礵䏝ָָ֮׏גְַ

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-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x

t -40

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

v

t

þUT

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x

t -40

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

v

t

þUT

宏葿כ⿑㺘鍑

4UFQCZ4UFQ

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植㖈ך⦼ַ׵ך׆׸倯

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׆׸倯ח湫䱸䕦갟׃זְ 㽷䨽䚍

W UEUW UEW

䗍ⴓ倯玎䒭ך䙼䟝

֮׷㖑挿儗挿ד饯ֹ׷植韋כ׉ך㖑挿儗挿ך暟椚ꆀ ך⦼׌ֽד寸ת׶黅ֻך㖑挿儗挿ך暟椚ꆀַ׵湫䱸 䕦갟׾「ֽזְ

׍׳׏ה׆א儗꟦׾鹌׭גְֻֿהד

黅ְ麓⿠劢勻ך鑧ָדֹ׷

䗍ⴓ倯玎䒭׾鍑ֻ

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微分方程式の有用性 䗍ⴓ倯玎䒭ד剅ַ׸׷岀⵱ך呎䎿ח֮׷䙼䟝

暟⡤ך麊⹛ה䗍ⴓ倯玎䒭

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⸇鸞䏝ָ⡘縧ח嫰⢽ׅ׷㜥さ

⸇鸞䏝ָ如ך䒭ד♷ִ׵׸׷״ֲז㜥さ׾罋ִ׷ Īכ㹀侧

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ֶ׮׶ך麊⹛ח湱䔲

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ֿך䗍ⴓ倯玎䒭׾鍑ְג鸞䏝װ⡘縧׾実׭גְֻկ

ֿך㜥さכ

⚕鴟׾⽃秪חUד琎ⴓ

⽃秪ז㢌侧ⴓꨄ

˟

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※色々工夫すれば，変数分離を使う形にもちこめる(後述)

ⴓꨄדֹגזְ

劢濼

倯玎䒭׾鍑ֻהְֲֿה

倯玎䒭׾鍑ֻֿהך䠐㄂׾罋ִ׷

⢽Y

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ֿ׸כ⡦זךַ

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ִ׵׸׋倯玎䒭׾弫׋ׅ׮ך׾実׭׷ֿהկ

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如倯玎䒭חכ剑㣐דאך呎ָ㶷㖈ׅ׷ַ׵Yָ鍑կ

˟׋׌׃䗳銲ז鍑ָⰋג実ת׏גְ׷ַכ銲然钠

鍑ך⦪酡׾䙼ְאֻ

ꟼ侧׾ꥡ䗍ⴓ׃׋׵荈ⴓ荈魦ָ⳿גֹ׋կ׋׌׃⤘侧כ頾

d(cos t)

dt = sin t , d(sin t)

dt = cos t

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x(t) = A sin t + B cos t

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d 2 x(t)

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简䕎俕如倯玎䒭ך㜥さ鍑׾ְֻאַ鋅אֽ׷ה

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x t f t

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x t C f t C g t

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x(t) = A sin t + B cos t

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x(t) = A sin t + B cos t

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锃侭ׅ׷ֿהד鍑ָ⡲׸׷կ

ⴱ劍勴⟝׾弫׋ׅ鍑

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x(t) = A sin t + B cos t

v (t) = dx

dt = A cos t B sin t

x(0) =A sin 0 + B cos 0 = B = x 0

v (0) =A cos 0 B sin 0 = A = v 0 B = x 0 , A =

v 0

x(t) = v 0

sin t + x 0 cos t

ו׿זⴱ劍⡘縧ⴱ鸞䏝 ח㼎׃ג׮鍑ָ䖤׵׸׷

ⴽזꟼ侧ד鑐׃ג׫׷

x(t) = e t

䗍ⴓ׃ג荈ⴓ荈魦ָ⳿גֻ׷ךכF

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d 2 e t

dt 2 = d( e t )

dt = 2 e t

״׏ג ד֮׸ל0,׌ָ˘

贞侧

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e i = cos + i sin

ؔ؎ٓ٦

ˑ0VSKFXFM˒

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d 2 x(t)

dt 2 = ! 2 x(t)

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鍑ך⦪酡ָא鋅אַ׏׋

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x(t) = C + x + (t) + C x (t)

然ַח0,

d 2 x(t)

dt 2 = ! 2 x(t)

d 2

dt 2 (C + x + (t) + C x (t)) =C + d 2 x + (t)

dt 2 + C d 2 x (t) dt 2

= ! 2 C + x + (t) ! 2 C x (t)

= ! 2 (C + x + (t) + C x (t))

ؔ؎ٓ٦Ⱅ䒭ךⵃ欽

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㹋侧ך⚅歲חֶֽ׷Yך♧菙鍑ָ実ת׏׋

x(t) =C + (cos ! t + i sin ! t) + C (cos ! t i sin ! t)

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x(t) = A cos ! t + B sin ! t B ⌘ i(C + C )

ؔ؎ٓ٦Ⱅ䒭ךⵃ欽

ⴽז鍑ֹ倯 㢌侧ⴓꨄך䘔欽

⚕鴟ח

v = dx

dt

dv

dt = 2 x

v dv

dt = 2 x dx dt v dv

dt = 1 2

d(v 2 )

dt

1 2

d(v 2 )

dt =

2

2

d(x 2 ) dt x dx

dt = 1 2

d(x 2 )

ֶ״ן

dt

⚕鴟׾Uד琎ⴓ׃ג

琎ⴓ㹀侧

v 2 = 2 x 2 + 2 C 2

㢌侧ⴓꨄ㘗חז׏׋

ָ׿ל׏ג琎ⴓׅ׷ה˘

DPTך鷞ꟼ侧 琎ⴓ㹀侧

1

1 X 2 dX = arccos X

״׏ג

dx

dt = ± C 2 x 2

± 1

C 2 x 2 dx = dt

± arccos x

C = t +

cos( t + ) = x C

x = C cos( t + )

ⴽז鍑ֹ倯 㢌侧ⴓꨄ

x(t) = A sin t + B cos t A = C sin , B = C cos

x(t) = C cos( t + ) = C sin sin t + C cos cos t

ו׏׍׮劤颵涸חずׄ鍑

C 2 = A 2 + B 2 , tan = sin

cos = A B

ⴽז鍑ֹ倯 㢌侧ⴓꨄ

秷侧㾜Ꟛ

秷侧㾜Ꟛ׾ⵃ欽׃׋鍑岀׮֮׷կ

x(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + · · · a n t n + · · ·

ぐ如侧׀הח⤘侧׾嫰鯰׃ג׫׷ה

n(n 1)a n = 2 a n 2

秷侧㾜Ꟛ

n(n 1)a n = 2 a n 2 a n+2 =

2

(n + 2)(n + 1) a n

ז׿חׇ״

x(t) = A sin t + B cos t sin x = x x 3

3! + x 5 5!

x 7

7! + · · · + ( 1) k 1

(2k + 1)! x 2k+1 + · · · cos x = 1 x 2

2! + x 4 4!

x 6

6! + · · · + ( 1) k 1

2k ! x 2k + · · ·

t

תה׭

濼׏גְ׷ꟼ侧׾鑐ׅ

♲錬ꟼ侧

䭷侧ꟼ侧ؔ؎ٓ٦Ⱅ䒭 㢌侧ⴓꨄ

秷侧㾜Ꟛ׾ⵃ欽׃׋鍑岀

ְ׆׸ח׃ג׮㹋侧ꟼ侧ך⚅歲דך♧菙鍑כ

d 2 x(t)

dt 2 = ! 2 x(t)

ו׍׵ך䕎䒭ד׮葺ְ

㹀侧⤘侧ꥡ简䕎俕如倯玎䒭

♧菙ח㹀侧⤘侧ךꥡ简䕎俕如倯玎䒭

כ如ך״ֲח׃ג鍑ֻֿהָדֹ׷կ

ת׆ הְֶג䒭ח➿Ⰵׅ׷կ

ך鍑׾ĝ

ָ♧菙鍑ה׃ג䖤׵׸׷կ ĝָꅾ鍑׾׮אהֹכ

הׅ׸ל״ְկ

鍑ך圫㶨׾锃ץ׷

x = C cos( t + ) C = x 2 0 + v 0 2

t x

– C

x 0

ワ劍כ

2

⽃䮶⹛ 锃ㄤ䮶⹛הְֲ

䱇噟ⰻ㺁ך椚鍑䏝然钠

4*חֶֽ׷㛇劤ך暟椚ꆀה׉ך⽃⡘׾鶢ץ״

䱸걧鳤ה侧⦼ךكؗח״׷邌׃倯׾然钠ׇ״

儗ⵟ׾庠㹀ׅ׷חכוך״ֲחׅ׸ל葺ְַ

⡘縧׾庠㹀ׅ׷חכוך״ֲחׅ׸ל葺ְַ

أؕٓ٦ꆀהكؙزٕꆀך⢽׾׉׸׊׸א׆א䮙־״

䱇噟ⰻ㺁ך椚鍑䏝然钠

⡘縧٥鸞䏝٥⸇鸞䏝ך꟦ך湱✼ךꟼ⤘׾鶢ץ״

鸞䏝הכչ⽃⡘儗꟦֮׋׶ך⡘縧ך㢌⻉պ׌ָֿ׸ָ

⡘縧ך儗꟦䗍ⴓד♷ִ׵׸׷ךכ⡦佦ַ

⟣䠐ך儗ⵟחֶֽ׷暟⡤ך鸞䏝ָ♷ִ׵׸׋儗⡘縧׾

実׭׷חכוֲׅ׸ל״ְַ

ⴱ劍勴⟝הכ⡦ַ

䱇噟ⰻ㺁ך椚鍑䏝然钠

⟣䠐ך儗ⵟחֶֽ׷暟⡤ך⸇鸞䏝ָ儗꟦ךꟼ侧ה׃ג♷

ִ׵׸׋㜥さ⡘縧׾実׭׷חכוֲׅ׸ל״ְַ Ⱗ

⡤涸ז㉏겗׾♧א⡲׶鍑岀׾爙ׇկ

⟣䠐ך儗ⵟחֶֽ׷暟⡤ך⸇鸞䏝ָ鸞䏝ךꟼ侧ה׃ג♷

ִ׵׸׋㜥さ⡘縧׾実׭׷חכוֲׅ׸ל״ְַ Ⱗ

⡤涸ז㉏겗׾♧א⡲׶鍑岀׾爙ׇկ

⟣䠐ך儗ⵟחֶֽ׷暟⡤ך⸇鸞䏝ָ⡘縧䏟垥ח嫰⢽ׅ׷

㜥さ暟⡤ך麊⹛ָוֲז׷ַ׾鶢ץ״կ