複素関数・同演習 宿題 No. 3

複素関数・同演習 宿題 No. 3 (2021年10月6日出題, 10月13日(水)10:50 までにPDF 形式で提出) 年 組 番 氏名 (解答は裏面も使用可, A4レポート用紙に書いても可)

問3 (1) 以下の各 f: Ω → C に対して、f の実部・虚部 u, v を求め、それらを偏微分して、Cauchy-

Riemann 方程式が成り立つことを確かめよ。

(a) f(z) =z⁴ (Ω =C) (b) f(z) = 1

z+ 1 (Ω =C\ {−1}) (c) f(z) = e^iz +e^−iz

2 (Ω = C) (2) f(z) = (z)³ (z ∈C) の微分可能性を調べよ。

問3解説

(1) 例6.6 (第6回授業の動画part 3) の類題。複素関数の実部・虚部を求める計算と微分の計算。Cauchy-

Riemann方程式を書いて覚えること。

(a) (パスカルの三角形を書いて (a+b)⁴ =a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴. 後は複素数計算)

f(x+iy) = (x+iy)⁴ =x⁴+ 4x³(iy) + 6x²(iy)²+ 4x(iy)³+ (iy)⁴ =x⁴−6x²y²+y⁴+ (4x³y−4xy³)i であるから、f の実部・虚部u, v は

u(x, y) =x⁴−6x²y² +y⁴, v(x, y) = 4x³y−4xy³. ゆえに

u_x = 4x³−12xy², u_y =−12x²y+ 4y³, v_x = 12x²y−4y³, v_y = 4x³−12xy². 確かに R² 全体でCauchy-Riemann方程式 u_x =v_y, u_y =−v_x を満たす。

(b) (分母・分子に分母の共役複素数をかけて分母を実数化. a+bi (a, b∈R) の形にする。) f(x+iy) = 1

(x+iy) + 1 = 1

(x+ 1) +iy = (x+ 1)−iy

[(x+ 1) +iy] [(x+ 1)−iy] = (x+ 1)−iy (x+ 1)² +y² であるから、f の実部・虚部u, v は

u(x, y) = x+ 1

(x+ 1)²+y², v(x, y) = −y (x+ 1)²+y². ゆえに (商の微分(

f g

)_′

= ^f′g_g⁻2^{f g′} の計算)

u_x(x, y) = [(x+ 1)²+y²]·1−(x+ 1)·2(x+ 1)

[(x+ 1)²+y²]² = −(x+ 1)²+y² [(x+ 1)²+y²]², u_y(x, y) = [(x+ 1)²+y²]·0−(x+ 1)·2y

[(x+ 1)²+y²]² =− 2(x+ 1)y [(x+ 1)²+y²]², v_x(x, y) = [(x+ 1)²+y²]·0−2(x+ 1)·(−y)

[(x+ 1)²+y²]² = 2(x+ 1)y [(x+ 1)²+y²]², v_y(x, y) = [(x+ 1)²+y²]·(−1)−2y·(−y)

[(x+ 1)²+y²]² = −(x+ 1)²+y² [(x+ 1)²+y²]². 確かに R²\ {(−1,0)} で Cauchy-Riemann方程式u_x =v_y,u_y =−v_x を満たす。

(c) 実は f(z) = cosz であるが (ずっと後で説明する)、解答するためには必要ない。複素指数関数

の定義 e^x+iy = e^x(cosy+isiny) を用いてていねいに計算. 双曲線関数coshx = (e^x +e^−x)/2, sinhx= (e^x−e^−x)/2 を使うと式が簡単になって楽。使えるようにしておこう。

f(x+yi) = e^i(x+yi)+e^−i(x+yi)

2 = e^−y+ix+e^y−ix

2 = e^−y(cosx+isinx) +e^y(cosx−isinx) 2

= e^y+e^−y

2 cosx−ie^y −e^−y

2 sinx= cosxcoshy−isinxsinhy であるから、f の実部・虚部u, v は

u(x, y) = cosxcoshy, v(x, y) =−sinxsinhy.

ゆえに ((cosh)^′ = sinh, (sinh)^′ = cosh という公式を用いて)

ux =−sinxcoshy, uy = cosxsinhy, vx =−cosxsinhy, vy =−sinxcoshy.

確かにR² 全体で Cauchy-Riemann方程式 ux=vy, uy =−vx を満たす。

Mathematicaで検算

f[z_]:=z^4

ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]

ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]

u[x_,y_]:=ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]

v[x_,y_]:=ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]

D[u[x,y],{{x,y}}]

D[v[x,y],{{x,y}}]

f[z_]:=1/(z+1)

Simplify[ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]]

Simplify[ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]]

u[x_,y_]:=Simplify[ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]]

v[x_,y_]:=Simplify[ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]]

Simplify[D[u[x,y],{{x,y}}]]

Simplify[D[v[x,y],{{x,y}}]]

f[z_]:=(Exp[I z]+Exp[-I z])/2 あるいは f[z_]:=Cos[z]

Simplify[ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]]

Simplify[ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]]

u[x_,y_]:=Simplify[ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]]

v[x_,y_]:=Simplify[ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]]

Simplify[D[u[x,y],{{x,y}}]]

Simplify[D[v[x,y],{{x,y}}]]

(2) 例6.7 (第6回授業の動画part 3) の類題。実部・虚部は微分可能であるから、Cauchy-Riemann方程 式を満たすかどうかチェックする。原点でだけ微分可能となるが、論理が雑だと見落とすかも。

f(x+yi) =(

x+yi)3

= (x−yi)³ =x³ + 3x²(−iy) + 3x(−iy)²+ (−iy)³

=x³−3xy²+i(−3x²y+y³) であるから、f の実部u, 虚部v は

u(x, y) = x³−3xy², v(x, y) = −3x²y+y³. これらは、R² で定義され、C^∞ 級の関数であるから、(全)微分可能である。

u_x = 3x²−3y², u_y =−6xy, v_x=−6xy, v_y =−3x²+ 3y². これから

u_x =v_y ⇔6x²−6y² = 0⇔x=±y,

u_y =−v_x ⇔ −12xy= 0⇔(x= 0∨y= 0).

したがって

(u_x =v_y ∧u_y =−v_x)⇔((x=y∨x=−y)∧(x= 0∨y= 0))

⇔(x=y∧x= 0)∨(x=y∧y= 0)∨(x=−y∧x= 0)∨(x=−y∧y = 0)

⇔x=y= 0.

ゆえに原点でCauchy-Riemann方程式が成り立つが、それ以外の点では成り立たない。

以上から、f は 0で微分可能、それ以外の点では微分可能でない。

Mathematicaで検算

f[z_] := Conjugate[z]^3

Simplify[ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]]

Simplify[ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]]

u[x_,y_] := Simplify[ComplexExpand[Re[f[x+I y]]]]

v[x_,y_] := Simplify[ComplexExpand[Im[f[x+I y]]]]

Solve[{D[u[x,y],x] == D[v[x,y],y], D[u[x,y],y] == -D[v[x,y],x]}, {x,y}]