PDF No. 4 (2020 10 14 , 10 月20 日13:30 までに PDF 形式で提出

(1)

複素関数・同演習宿題 No. 4 (2020年10月14日出題, 10月20日13:30 までにPDF 形式で提出) 年組番氏名 (解答は裏面も使用可, A4レポート用紙に書いても可)

問4 (1) f: C\ {0} →C を f(z) = log|z| (z ∈C\ {0})で定める。f はいたるところで微分できないことを示せ。(2) Ω は C の領域、f: Ω→C は正則、f の実部・虚部を u, v とするとき、以下の問に答えよ。(a) v は調和関数であることを示せ。(b) v の共役調和関数を求めよ。(3) この講義では、z ∈C に対して、e^z =e^x(cosy+isiny) (ただしz =x+iy (x, y ∈R)) として指数関数を定義した。(e^z)^′ =e^z であることを示せ。

ヒント: (1)などむしろ先週の問題かも。(2)(a)は簡単のはず。(b)授業で説明したようにuは答えでないけれど。

(2)

問4解説

(1) f の実部・虚部をそれぞれ u, vとする。

f(x+iy) = log|x+yi|= log√

x²+y² = 1

2log(x²+y²) であるから

u(x, y) = 1

2log(x² +y²), v(x, y) = 0.

これらはR²\ {(0,0)} でC^∞ 級であるから、(全)微分可能である。Cauchy-Riemann方程式を満たすかチェックする。

u_x = 1 2

2x

x²+y² = x

x²+y², u_y = 1 2

2y

x²+y² = y

x²+y², v_x = 0, v_y = 0.

(x, y) ∈ R² \ {(0,0)} とすると、x ̸= 0 または y ̸= 0. x ̸= 0のとき u_x ̸= 0 = v_y. y ̸= 0のとき u_y ̸= 0 = −v_x. ゆえにつねに Cauchy-Riemann方程式は満たさない。以上から、任意の z ∈C\ {0} に対して、f は z で微分可能ではない。

(2) f が正則であることから、f の実部・虚部u, v は(全)微分可能であり、Cauchy-Riemann方程式 u_x =v_y, u_y =−v_x

が成り立つ。u, v は実は C^∞ 級である。

(a)

v_xx+v_yy = ∂

∂xv_x+ ∂

∂yv_y = ∂

∂x(−u_y) + ∂

∂y(u_x) =−u_yx+u_xy. uはC²級であるから、u_xy =u_yx. ゆえに v_xx+v_yy = 0.

(b) うっかり書き忘れたが、Ωは領域とする。

U :=v とおく。調和関数 V が v の共役調和関数であるためには

(1) U_x =V_y, U_y =−V_x

を満たすことが必要十分である。(1)が成り立っていれば

V_x =−U_y =−v_y =−u_x, V_y =U_x =v_x =−u_y.

これから (V +u)x = (V +u)y = 0. ゆえに(定義域が領域であるから)V =−u+C (C は定数)。逆にV =−u+C のとき (1) を満たすことはすぐ分かる。

以上から、v の共役調和関数は −u+C (Cは任意の定数)。

(f =u+iv より、実部が v である正則関数を探すと、−if =v−ui が見つかる。これから −u がvの共役調和関数であることが分かる。一つ見つかれば、共役調和関数は定数だけの差しかないことが分かるので、−u+C (C は定数) が v の共役調和関数全体である。)

(3) (方法1)複素指数関数についても指数法則は証明してあるので、任意の z∈C, h∈C\ {0}に対して f(z+h)−f(z)

h = e^z+h−e^z

h = e^ze^h−e^z

h =e^ze^h−1 h .

h=h_r+ih_i (h_r, h_i ∈R)とするとき、h→0 とすると h_r, h_i →0 であるから、e^h−1 =e^h^r(cosh_i + isinh_i)→e⁰(cos 0 +isin 0) = 1. ゆえに

hlim→0

f(z+h)−f(z)

h =e^z·1 = e^z.

(3)

ゆえにf は C で正則であり、(e^z)^′ =e^z。 (方法2)f(z) :=e^z の実部 u,虚部 v は

u(x, y) = e^xcosy, v(x, y) =e^xsiny.

ともにC¹ 級であるから(全)微分可能である。また

u_x =e^xcosy, u_y =−e^xsiny, v_x =e^xsiny, v_y =e^xcosy

であるから Cauchy-Riemann 方程式が成り立つ。ゆえに f は正則である。講義で示したように、正則関数f に対して一般に

f^′(x+yi) = u_x(x, y) +iv_x(x, y) が成り立つ (f^′ =ux+ivx = ¹_i(uy +ivy) の左半分)。今の場合は

f^′(x+yi) =e^xcosy+ie^xsiny=f(x+yi).

すなわち f^′(z) = f(z) = e^z.