波動関数の時間発展は

量子力学における時間発展

波動関数の時間発展は、時間による

r方 程式で記

づ ん

:)ヴ

,(″,t)==∬

ヴ

∬ =ギ 多十 yは 、ι >oの ときに時間に依

(ι

>0の

y=y(")。

)

従来の取扱い:ハ ミル トニアンの固有関数は φπ(χ)と すると、

∬φ

)=ERφ η

そのときに、変数分類を使 うと、

解は ψη

フ オ

づ 島

φη

となる。従って、ψ(″フオ)は全ての ιに対してハ ミル トニアン の固有 関数である :″ψγ^](″,ι

)=島

次の関数 も_(1)の 解である ^:

ψ

)=Σ

α

島ι ィ

η

η

存しない とする。

し二        

・

■Ｌ●一

︺鮮 糠臨暉織朧場＝島瞥一■ｔ︲︲︱︱︲

恥

︱ ︱ １ １

素叫いＬ↑・

(2)

(3)

し   一

(4)

卜

(展開係数 απは任意。_)し か し、ハ ミル トニアンの固有関数で 述 され る ^:

ハ ミル トニアン

(1)

はない

ψ

例えば、「初期条件」がある場合を考える ^:

ψ(″

,t=0)≡

)=与

    (5)

(3)は それ を満たすことができないが、_(4)の係数 αηを適 当に

し

(6)

選ぶ と可能である。

一般論 ^:

初期条件 _(5)を満たす ^schrёdinger方 程式 _(1)の解を求めた い。固定した時刻 ι

>oに

ψ

,t)=Σ

α η

π

η

[な

ぜならば、

η

エルミート演算子 ∬ の固有関数系 なので、直交完全系 となる。従って、任意の関数を

について展開できる。

(6)を ^schrёdinger方程式 _(1)に代入し、左か ら φ為(″)を かけ て積分し、直交性か ら、

ノ

';L(″

)φ^7ι(″

)=δ

を使 って 、展 開係数 απ_(ι)に ついての方程式が得 られ る ^: づん

島α_{7屁(ι) == Ettα}鶴(ι)

⇒ απ_(ι)=C Jttt/ん ^α7■(t=0).

2

従って、ゎπ

時間に依存しない。

α_7■(0)を 求めるために、_(6)で ι

=0と

α

為

為

(8)

かけて積分する ^:

７

／

′ ｌ ヽ

︐ 一  

︐  一 一

・・ 一一 一一 ヽ 一り︲﹂

・ 一⁚ ﹂一一一

︐   ︐ 一一 

︲・¨ヽ 一一

︐︲

．■ 一■ 一■ 一燎 憮議 躙鵬 躙織 蝶諄 一■■ り■ ｒ構 轟＝ 攣

結果 として、初期条件 _(5)を 満たす _(1)の解が得 られた ^:

ψ (",t)=Σ α η

φ ぼχ

7ι

但し、仇(″)は (2)か ら、απ_{(o)は (7)か} ら求まる。

例 :ポ_{テンシャルは時刻 ι}

=oで

1.井戸型ポテ ンシャル ^:

ι

<0の

し、基底状態にあるとする。ι

=oの

幅は 2Lと なった。ι >oの ときの波動関数を求めよ。

式

φη

して、「新しいポテンシャル」

の 井戸型ポテンシャル

対する波動関数を使 う

￨″

￨<五

COS紛

″

。

Sin競

″

。

ｒ ｌ ｌ ノ ヽ １ １

︑

上

√

φ

)=

￨″

￨>五 でφ η

エネルギー固有値は二ι =嘉

初期条件か ら、ォく

oの

ψ

″ ≡

￨″

￨>L/2で ψ

エネルギー固有値はε =嘉

展開係数 _(71は、働=2,4,… 。のときはゼロ。_(奇関数を 一∞

か ら 十∞ まで積分すればゼロ。_)η =1,3,∴ 。の ときに

α η

全 ∠

2C°S(:I:″

) COS(::″)d″

= 

モ

「 172(cos11:″ (1+;)]・ ^COS11:π (1丁 :)￨)

下 I:戸・

÷ (1+η/2 Sin:[(1‑十 ^1;)―

十

T再要:万ァ】

Sin' (1‐ ￨;))

=可

「

(COS l讐

1)(丁

l可

+1̲署

)

=乎 Sn4fη

2・

但し、

=cos廿 =洗

)(η =1,3,5,7,̲)

￨″

￨<五 /2の ときに、

︲ １︲︱︲︲ ⁚︱︱︱︲ ﹁ 卜 鮎 肝 卜

● 肝

・ ・﹁ 卜

4

従って、ォ >oの ときの波動関数は ψ

)=

7ι』:,3(72     8石^戸_)θ

̲づEnt/ん

φ7L(χ ) 一 一 S

kπ  71 4‑

(螢)2、

φ児

与えられる。

(10)

(11)

(η =1,3,… ^。)

但し、民ι =嘉

■

﹂麟 ド 聾 恥 時 鰤 朧 朧 鸞 朧 鰯 獅 躙 帥 琳 鵬

︶︵

﹂・

﹂・

・・

・

一■＝ヽ﹁■

︱ ⁚ ︲ ⁚ 一一出ヽ薫い驚駅珊欄謝＝＝■Ｊ＝翠﹁一

︲ ︲ ︱ ︲

﹁■﹁﹁■一一

¨世Ｗ幅性Ｆ﹁■城般購搬騰朧腱躍織躍駅燎嶋順撻＝獅樵岬椰藻幅け融嘘喫Ｌ

展開係数 α η

物理的解釈

が広がった後、粒子の波動

色 々な固有 関数 φ^7](")は混ざ つている。粒子が状態 φη(″)

に存在する確率は _lαη(ι)12で与え られ る^:

64

lαη_(ι)12=lα^7](0)12=

難

尭 ,轟 だ 。

7「2(η2二 ₄₎₂

エネルギーは保存 され るか ?

t>0の ときのハミル トニアンの期待値を計算する

(・)≡

″

ζ ″

―

:;;ili:)lψ ^(χ,ι

)=F7二

,31α

7](t)12正

フ γ ι

但レ、ψ

鷹

α η

η

使った。

期待値 _(11)は時間に依存しないので保存 され る。ι→

oの

ヽ ｌ

︲

′

／

し

嘉 鵬 )ψ^(″,0)

(I)== 1lψ

:

２

︲し一   

﹂・   ﹂

・    

・

= lilテ_2ψ^*(″

'0)(―

―

;1:脇

[ψ (″,0)は 「古いハ ミル トニアン」の固有 関数で、固有値

は εとなることを使 った。₎

従 って、ι

<oの

t>oの

ε

= 

η=1,3,.…

調和振動子ポテンシャル^:

t<oの ときに粒子は調和振動子ポテンシャル

)=

守ら 2の 基底状態にある。 t=oの ときに突然ポテンシャ ルを cだ けずらし、世数″―

なった。 t>oの ときの

波動 関数 を求め よ。

し

)の

ギー を φη

ι        とすると、「新し

いポテンシャル」の固有関数と固有エネルギーは φ

ム である。初期条件から、ι =oの ときに ψ

t>0の ときの波動関数は

ψ

,t)=Σ

耽

φη

̲C)

7ι=0

但し、展開係数 %(o)は 次のようになる

%l(0) == 

嵐 φ鳥

一

))==此 φ為

+C)

= 

(爾

[(12̲卜

(.+C)2)

但し、ν =√ 票エルミート多項式についての公式

I17L(γ)== (2"―

…

島

を使って、この積分を行える。結果は

%t(0)T (一

;号^)7ι

#

lαη(0)12 == (α^2)η

 ギ ^{(α ≡≡}

重 竺 ==C標 ₎

従って、ι >oの ときに、粒子が調和振動子の固有関数 仇

一

存在する確率分用は

son分 布となる。

ηの平均値

(η)= lα7](0)12.η

=c

∞ Σ Ｈ

←^22)7〕

1 0α₂

(協 ‑1)!

∞Σ 間   認

﹁    α

η         １

        ２

や ∞ ん 祠 一     蜘

θ

ギっ

写^1ザ

従 って、

lαη(1)12=豊 (緬レ)71ギ

０

Ａ

︲ リ

注意

すなわち、確率の最大の ηは ηの平均値 と異なる。

布の特徴。

′