数学コンクール 3 月号 解答
, , 2
( , , , )
, ( , , , ) , ,
1 , , ,
, ( , ,
k n
k
k k n
n
k n
i i z z i z z i
i P x n
P a bi k n P a bi
a bi P a bi k n i
k
a a a a
a a a
a a
2
2 2
1 1
0
0 1
1
0 1 2 1 0
1 2 0
0 1 2
より は積について閉じている. つまり ならば 係数がすべて に属する多項式 と 以上の整数 が
かつ を満たしたとする.
とおくと である.
補題 は相異なる.
証明 仮定より , )
, , ,
( ) ( ) ,
, ( )
k l
n l n l
k n l k l n
n k l n
P P k n l n
a a a a a a
1
0 1
0 0 1
である.
次に に対し であるとすると
より 矛盾である. 補題 の証明終
2 , ,
( ) ( )
,
,
( )
| |,| |, ,| | | |
(
m m
m
j j
j j j j
n n
i m
P P
i
P x i j
i
d d
a b
a b
a b
a b
a a b ab b
a b
a a a a
0
1 2 2 1
0 1
2
4 2 2
補題 が相異なるとき 正の整数 に対し である.
証明 の係数もすべて に属する.したがって が正の整数のとき であることと が和と積に ついて閉じていることから従う. 補題 の証明終
のうち最大のものが であると仮定する.
*
*
) | |
, ,
, 0
1,2 ,
( i ) ,| | | |
, | | | | ( | |)
, ( )
n n n n n
n n n
n n n
n n n
n
n n n
n n n n
i i
i
d d
d
a
a a a a
a a a a
a a
a a a
a a
a a a a
0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1 1
2 2
2 2
2 2
を示したい.
これは のときは明らかであるから とする.
以下 から要素 を除いた集合を とかく.
補題 より である.
のとき である.
よって
より |a0 | である.
( ii ) ,| | | |
,| | | | | |
, | | | | (| | | |) ( | |)
, ( ) | |
(iii) ( i ),( ii )
n n
n n n
n n
n n n
n n n n n
n n n
n
n n n
d
d d
d
z w a a
a a a
a a
a a a a
a a a a a a
a
a a a
a a a a
0
0 0
0
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
0 0
2 2
2 2 2 2
4 2 2
0
のとき である.
一方 である.
よって
より である.
以外のとき であるから
( , , )
,
0 ,
| |
( , ) , | | | |, | |, ,
, | |
0 , ,
,
n n n
n
n
n n n
z w i
zw z
zw z
zw
z w d
d
zw z
z w
a a a
a a
a a a a
a a
a a a
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0 0
1
1 1
1 1
1
2 0
2 2
1 0 1 0
1
0
とおける.
を消去すると となる.
あ のとき となる.
は有限通りであり と分かる.
矛盾するものもあるが 少なくとも である.
い のとき より となる.
つまり であり
, | |
, , ,
| |
n n n
t n n
t n n n
d
a a a a
0 0
0 0
0 0
0
2
0 2
2
0
となる.
ここで とおく.
とすると より となるから
である.
, 1,2 , *
,
, | | | | | | | |
, | |
, ,, , | | ( ) | | ,
0, ( ) | |
n n t
n n n
n t n n n n
k
t i
n n
d d
d
k n
i a a
a a
a a a a a a
a
a a
a
0 0
0 0 0
0
0 0
0
0 0
0
2
2 2
0 1 4 2 2
4 2 2
とすると 補題 より が従う.
厳密には の符号の場合分けを行う よって
より である.
以上より に対し が成り立つので
複素数平面上で中心 半径 の円の内部または周上にある の要素の個数を Mとおくと,n1 Mである.よって,N M1ととれば
題意が成り立つ.
