数学 クイズ 2012解 答
担 当 深 谷友宏
2 0 1 2 年 7 月 3 0 日 (月),31日 (火)東 北大学理学部数学科オー プンキャンパス
1 球 画 幾 何 学 1 . 1 球面三角法
問題 1 図 2の よ うに,点 九 で孤 スBと 接 す る直線 と直線 0ど の交 点 を Dと し,同 様 に点 ど を定 め ます。
三 角形 ■DEに 平面 三 角形 の余弦定理 を適用 す る と,
IDE2=十 九D2+1カ ガ 2上 2十九つ‖スE COSα (1)
ここで,IDEは 辺 Dガ の長 さを表 します (他も同様 )̀三 角形 θDど に平面三角形 の余弦定理 を適用 す る と, 20D θ ど cos a=10D2+10D2̲IDど 12 (2)
角 OADは 直角で,0刀 =1な ので,pD2=1十 九つ 2,同 様 に lθE 2=1十 九E2を 得 ます.こ れ と式 (1) を用 いて式 (2)の右辺 を変形 す る と,
2 0 D 1 0 ご C O S a = 2 + 2 1 刀 つ ￨ 十九 E C O S a ( 3 )
1 0 引 = 1 / C O S C , A D I = S i n c / C O S C , 1 0 ど
￨ = 1 / C O S b , A D I = d n b / C O S b を 使 っ て 整 理 す
を得 ます。最後 に, る と,余 弦定理
が得 られ ます。
cos a=cos b cos c tt sin bsin c cOs O
図 2
問題 2 四 面体 0 ム』C の 体積 y を 求めてみます. 点 A か ら△O βσ に下ろした垂線の交点を C と します.
また, 九 C を 含み θβ と垂直に交わる平面 とO B の 交点を F と します. す ると 十九F I = S i n c です。 この とき σダ は 0 』 と垂直に交わるので ∠炉 σ = β です。従って 博GI=陣 rP sin β= s i n c s i n β。また二等辺三角形 θβσ の面積は 号sin aなので,四 面体 θttBσの体積は
y = : d W d n ぉ n β
図 3 四 面体 O t t B C
とな ります. と ころで今 は三角形 O B C を 底辺 と して体 積 を計算 した ので すが, 当 然三 角形 O σ A や θムβ を 底 辺 と して体 積 を計算 して も同 じ量 にな るはず です, 従 つて次 の等式 を得 ます。
6 y = s i n c s i n a s i n β= S i n b s i n c s i n 争= s i n a s i n c s i n o ( 4 ) 式 (4)の各辺をsin a sin b sin cで割って逆数を取 り,正 弦定理を得ます.
問題 3 地球上の二地点をP,cと し,そ れぞれの緯度を?p,れ,経 度をψP,ψ。とします。説明を簡単にする ために,鳥 9は 共に北半球の東経 0°から東経 180°の範囲にあると仮定します。また北極を Nと し,地 球の 半径を Rと します.球 面三角形 PNcに 余弦定理を適用 して,Pと Q間 の距離何を求めてみましよう。まず,
∠PN9=ψ p ψ 9で あり,∠NθP=90‑り ,∠川∽ =90‑マ 。です す ると余弦定理より
" = 鑑 C O S 一〕
O S 0 0 マ P ) C O く 9 0 ? q ) 十 立 n 0 0 の d n O o 7 9 ) 苺 n t t P ψ q ) )
= 舗 C O S ‑ 1 い n マp d n ψq t t c o s マp C O S ワq d n ω P ψ q ) )
問 1 で は半径 1 の 球面 を考察 しましたが, ここでは半径 P の 球面 を考察 している事に注意 して くだ さい, こ の 式 に各都市の緯度 と経度を当てはめれば, 都 市間の距離が計算で きます.
平 面 の 幾 何 学 との 関 係 局所的な性質
問題 4 3辺 の長 さが a、b,cで ある三角形 の スBCに 対す る球面三角法の余弦定理 cos a=cos b cos c tt Slll bttn c cos a
をテ ー ラー展 開 す る と
1 ‑ 琴 = ( 1 ‑ 琴
) ( 1 ‑
展開 して整理す ると, 次 が得 られ ます.
a 2 = b 2 + C 2 ̲ 2 b c c o s Q 十 ( a , b , C についての 3 次 以上の項) ( 7 )
これは球の半径 に対 して三角形の各辺が十分 に小 さければ, 平 面の余弦定理が 「ほ とん ど成立す る」ことを意味 して います。
2 2.1
の 項 以 上 の 次 い て ドに つ
十 α α 十 ０ ヽ
１
︐ ノ
伊ぅ 一 ２
3
2 . 2 大 域 的 な性質
問題 5 以 下 の証 明 は illから引用 しま した。 まず,弧 AB,BC)CDを 定 め るそれ ぞれ の大 円で分 け られ る 領域 に,図 4の 様 に記号 を付 け ます。 また ■)B,σ の対心点 を 九ネ
,βⅢ
,σネとします。 この とき,Iと Hの 面積 の和 は (α/2T)4打=2α です。 同様 に Iと HI,Iと IVの 面積 の和 はそれ ぞれ 2β,27で す。IVと IVⅢの面積が 等 しいので,I,II,III,IVの 面積 の和 は半球 の面積 2Tに 等 し くな り,
2 ( △A B C の 面積)=2α +2β +27‑2T とな り, 主 張を得 ます。
この ことか ら, 球 面三角形の内角の和は常 に T よ り大 き く,3Tよ り小 さい事が分か ります。 このように球面 三角形 は大域的には平面三角形 とは異なる性質を持っている事が分か ります.
図 4 球 面三角形 に対す るガウスーボ ンネの定理
参考文献
111奥村 善英 谷 日雅彦 双 由幾何 学 へ の招待 培 風館 ,1996
