1 あみだくじ 東北大学オープンキャンパス 2007 数学クイズ解答

1

東北大学オープンキャンパス

2007

黒木玄＠東北大学大学院理学研究科数学専攻

([email protected])

1

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

図

1:

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

図

2:

まずあみだくじ

(阿弥陀籤)

1

2

2

5

1

3, 5, 2, 1, 4

(実際にそうなることを確かめよ).

不思議なことにどのようなあみだくじであっても異なる番号を選んだ人は異なる番号に たどり着くことになる. たどり着く先に重複が生じることはない. (たとえば

3

5

問題

1

ヒント. 横線を複数本持つあみだくじは横線を一本しか持たないあみだくじの積み重ねで できている.

解答

.

i

i + 1

i

i + 1

横線が複数ある場合. 各々の横線はそれが繋いでいる隣り合った縦線を交換する置換 を与えている. したがって複数の横線で構成されたあみだくじ全体は隣り合った縦線を 次々に交換することによって作られた置換を与えていることがわかる. (図

3,

4

一般に番号

1, 2, . . . , n

1, 2, . . . , n

n

(permutation)

あみだくじではたどり着く先に重複が生じない. したがって

n

n

2

たとえば図

1

1, 2, 3, 4, 5

3, 5, 2, 1, 4

σ = ( ¹²³⁴⁵ ₃₅₂₁₄ )

1, 2, . . . , n

i ₁ , i ₂ , . . . , i _n

σ = ( _i ^{1 2}

_i

^··· _{··· i} ⁿ

)

問題

2 1, 2, . . . , n

1

n

σ = ¡ _{1 2 3 ··· n−2 n−1 n}

n 2 3 ··· n−2 n−1 1

¢

みだくじで横線の本数が

2(n − 2) + 1

(よって特に奇数本)

ヒント. あみだくじの横線は隣り合った番号の交換を与えている. 隣り合った番号の交 換の繰り返しで

1

n

n = 2, 3, 4, 5, 6

3

解答.

n = 6

3

1

n

n

1

n

6 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

図

3: 1

6

問題

3

ヒント. 置換をひもで表現し, あみだくじに変形する方法を考えよ.

解答. たとえば置換

σ = ( ¹²³ ₃₁₂ )

4

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

図

4:

3

問題

4

ヒント. その辺にいる数学科の学生もしくは大学院生に質問してみよ.

解答. 大学に入学すれば

1

置換群,対称群, 偶置換,奇置換, 符号, あみだくじ, あみだ籤, 阿弥陀籤.

線形代数の教科書としては個人的に

[佐武]

[長谷川]

[佐武]

p.44

[長谷川]

2

2

あみだくじと置換の理論を十五パズルに応用することができる.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

図

5:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

図

6:

14

15

問題

5

(図 5)

14

15

(図 6)

ヒント.

1.

16

16

σ

16

σ

5

1, 2, . . . , 16

ε (単位置換と呼ばれる)

6

1, 2, . . . , 14, 15, 16

14

15

τ

2.

(この操作を以下基本操作と呼ぶ)

3.

3

σ

4

k

σ

(−1) ^k

σ

(−1) ^k

σ

(signature)

6

τ

14

15

sgn(τ ) = −1

4

4.

σ

σ ⁰

sgn(σ ⁰ ) = − sgn(σ)

sgn(σ)

−1

16

m

ρ

2

ρ

σ ⁰

σ

ρ

σ ⁰

σ

このことから

sgn(σ ⁰ ) = − sgn(σ)

5.

σ

(16

i

j

p(σ) = (−1) ^i+j

(図 5)

7

(i, j)

(3, 2)

7

p(σ) = (−1) ³⁺² = −1

6.

p(σ)

7. f(σ) = sgn(σ)p(σ)

5

ε

f(ε) = 1

6

τ

f (τ) = −1

f (ε) 6= f(τ ).

8.

f(σ)

解答.

6.

i

j

p(σ)

−1

8.

4, 6

f(σ)

したがって

2

7

5

6

問題

6

p(σ)

証明の方針

.

[ITM]

3

15

(符号が 1

15

( ^{1 2} _{2 3} ^··· _··· ^{14 15} _{15 1} )

3

( ^{1 ···} 12 13 14 15

1 ··· 12 14 15 13 )

(少し面倒).

の

2

文献

[ITM]

見付けたら購入しておいても損がない.

参考文献

[佐武]

1, 324

[長谷川]

Linear Algebra,

[ITM]

ルーバックス

B1393, 2002