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… ､…蒜蔑燕｡幽謡洲燕"駕織:ふふ､ ､鮴…論:癖"膳念捧鶴欝躍錯鳶;螢訴凝皇ゞ患…§息: ､霧" "域〆怠聯鷺"為轍！

NobuyukiTOSE

July04,2017

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Taylorの定理 (No.2))

NobuvukiTOSE

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TayIorvsTheorem

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Theorem

3階微分可能な関数f: (A,B)→Rがあるとします． このときα≠b

を満たすα,bE(A,B)に対してαとbの間にビが存在して

ご

州=抑)+ルル")+竿( ‑",．+'鞘 ‑")。

が成立します．

『，山…､､ｪ…垂とE塾嗣罫･品…茜 .四!…牢乎…垂曇 呼 響睡野些、…T.…頚扉蓉辱手雨坐&歯垂垂 皇F種 函一……蹄。 J窒竺､ …‑竿睡聖.｡,F…塞了'竺寺騨垂凸雫,写再転｡"』 閥｡. …士辿皇幽甲

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NobuyukiTOSE _{i〉 、鳥 蕊} ^蕊 _{､ ､；}^．， _．

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…霞一 命で

Proof

Proof関数F(")とG(")を

厩(麹)=抑)一八･)‑ﾙﾙ‑･)‑il,‑")', G(,"‑")"

と定義すると、高階の導関数が

F'(")=f'(")‑f'(Q)‑f"(a)(勿一α), G'(")=3(錘一α)2 F''(")=f''(")‑f''(a), G''(")=3!(勿一α）

F(3)(")=f(3)("), G(3)(")=31

と計算されます． このときMoreoverwehave

F(a)=F'(Q)=F''(a)=0, G(a)=G'(Q)=G"(a)=0

ー ₋

が成立します．

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f)Qe

3／10

ロ 鄙 −

4 .Iaylorの定理(No.2)) NobLlyUkiTOSE

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Proof(2)

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F(Q)=G( ）

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一 一

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§αとbの間に存在します．

:G'(Q)=̲Q が成立します力1̲E

を満たすC1

次にF'(α）

^{､ 用できて}

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｜

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^C1

G'(c')‑

の間に存在しま

を満たすC2 ､a ^{と C}

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一一‐

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0へ

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4／10

口 毎

Taylorの定理(No.2 )）

NobuvukiTOSE

"*にﾉｰ 、 ＃忠̲Proof(3) ' '｢瀞#f " . &熱＆、‑嶢;j;1i

G"(α)＝0を用いると、 CauChyが適用できて 最後にF"(α）

^{■■■■■■■}

〃 。

F(3)(C3)

F"(c2)

:＝＝ ^一一

G(3)(C3) G''(c2)

、

を満たすC3がαと ここでC3がbとa^がbとα

C2の間に存在します。 ^くつ

、

の間にあって

一一一一 1 _−手一

"1=""3) "T , 、

@3

5×

f(6)‑f(q)−ﾉ'(Q)(6‑a)一等1(b−α)2 f(3)(@) 1、

から

(b−α)3

^3！

が導かれます。 ^{Ｆ﹄一一 一一一一一} ､OQG

5/10

口 毎

，ぶふTayl6rの定理(No.2))

NobuvukiTOSE

I

￨ ≦

Example

f(t)=log(1+t)とすると LL= 1ゞ迄器=̲{

=r¥r,'"(t)=‑(,=,),"'{''(''=(,=,)' 州=壷,'"(t)=‑(,+職)2"'㈹( ，=(,+ )，

から ！'｡；イ

T

f(0)=0,f'(0)=1;f''(0)=‑1 c乱飛入

が成立します． 3階のTaylorの定理を用いるとt(≠0)と0の間にcが

あって

2！

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(1fc)3t3

が成立します．

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謹 塞

一 の ●

Taylorの軍埋(No.2)) 6/10

NobuvukiTOSE

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一一再一町一 一 師一角−一一

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Exam

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t>‑1 、‐′ 〆−1

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−1 七C‑･ O ここで−1<cが成立することを用いると

●１３

1

3>0 (t>0)

可

●１−３

<0 (t<0),

（

○ △0

従って，不等式

log(1+t)薑‑;t' (ｵ薑0)

を得ます．

軸︾一一一

ロ零 敏鐡抄 』 =← ^､藍 ､'>Q<､

7'/10

#誕恥熱,､Taylor"曾定理(No｡2))

NobuvukiTOSE

i郷蕃癖推聡懇瀧罰

やＬ腓

一昨J､ 一一一一一 …

階のTaylorls

=一一一G−十一計

^‑e−−

A cヘ § 6 13

Theorem

"階微分可能なr: (A,B)→"があ書…"≠ 鯛た、

(m,bE(A,B)に対してαとbの間にとが存在して

q

川‑M+''"9)+"I･‑")¥I,.‑"'｡ i

，"

＋…+鴛三'ぷ){ ‑")洞‑ +'（

−…一…鴛理に覇て…一…鏑…霊I 1

が成立します。

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曇 ^一一一一一 ､CQ<v 8／10

1

口 毎 管

謝耐f:瀞汚､Taylorの定理(NC塵2))島l −pG

I

NobuvukiTOSE

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ナ(や'≦ﾅ『｡)*f{｡)t+M(｡)t』÷

^い _{((ﾍｰ' )}

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一一

一二骨守一一一一』凸 醤ﾛrD −m 画翠草一津 一 一‐〜−−−−＝−−一睡

ExamPleS

Exampleノ(t)=etに対して

f'(t)=et,f''(t)=et,f(3)(t)=et,…,f(")(t)=et

から

:…＝／("‑')(0)＝1

いると，〆と〃の間にcが存在して

o ‑t

l

＆"‑1+紗

．＋( −1)！

＋ （1

才(で､〕

f(0)=ノ'(0)=…＝

Taylorの定理を用いると，

が成立します. Taylorの定

一ヒキOA迄言

1

et='+t+:

が成立します． これを用い

t"

1im‑‑

t=F¥"et ⁰

:＝＝

を示すことができます． ^{一一一 ︾︷一一一} _の気G′

9／10

ロ 録 ． ＝

，。． 令 , ． ．二二一一 ＝一雫 po−l

NobUyUkiTOSE Taylorの定理(No.2))

」

AppliCationS(2)

‑.‑‑‑峠て−t‑−

実際, t>0のとき

_L−

一一

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﹂２沙

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１｜畑１｜畑

1

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（ −−斗○

も分かります．

t" t

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_{（ ＋1)！}

t"+' (t>0)

二二二 一一う○

において寺→0(t→+oc)であることを用いると

芸→。 (t→+｡｡) ｡ " " ¥

｜ 灘鶏涌ylorの定理(No.2)) !‑鱗凱 堂

NobuyukiTOSE

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