小テスト (5/24) 対策問題

小テスト (5/24) 対策問題

*解答に際し，講義で紹介した定理，命題などは証明なしに用いて良い．

524-1. (Q2.6) M ∈N^，X ={1,2, . . . , M}^，E = 2^X とする．µ(A) = #A/M (A ∈ E)とおく．µは 測度であることを証明せよ．

524-2. (Q2.12の一部) X={0,1,2, . . .}^， E0 =

{

A⊂X¯¯

¯¯ (i) 0∈Aかつ#A^c <∞，もしくは (ii) 0∈/Aかつ#A <∞

} ,

µ₀(E) = #E (=∞^を許す)とする．

(i) このとき，E0は有限加法族であり，µ₀は有限加法的であることを確かめよ．

(ii) µ^∗₀(A)を求めよ．

524-3. (Q3.3) (i)a∈R^N，A={a}^とする．λ^∗₀(A) = 0となることを証明せよ．

(ii) an∈R^n，A={a1, a2, . . .}^とする．λ^∗₀(A) = 0となることを外測度の定義から直接証明せ よ．

(iii) Λを添え字集合とする．α∈Λに対しλ^∗₀(Aα) = 0であるがλ^∗₀(∪

α∈ΛAα

)

>0となる例を 挙げよ．

524-4. (Q3.4) (i)A⊂R^{N が有界集合ならば，}λ^∗₀(A)<∞^{となることを示せ．}

(ii) 0< λ^∗₀(A)<∞となる非有界集合を例示せよ．

524-5. (Q3.5) K₀ = [0,1]，K₁ = [0,1]\(1/3,2/3)，K₂ = K₁ \ {(1/9,2/9)∪(7/9,8/9)，K₃ = K2\ {(1/27,2/27)∪(7/27,8/27)∪(19/27,20/27)∪(25/27,26/27)}^，とKnを順次前のKn−1

の中央の1/3区間を抜き取ることで構成する．K =∩_∞

n=0K_nとおく;K_n=∪₂ⁿ₋₁

j=0 [aⁿ_j, bⁿ_j]と表 示でき，さらにaⁿ⁺¹_2j =aⁿ_j，bⁿ⁺¹_2j =aⁿ_j + 3⁻⁽ⁿ⁺¹⁾，aⁿ⁺¹_2j+1 =aⁿ_j + 2·3⁻⁽ⁿ⁺¹⁾，bⁿ⁺¹_2j =bⁿ_j となる．

このとき

(i) λ^∗₀(K) = 0となることを証明せよ．

(ii) Kは可算集合ではないことを証明せよ．

小テスト (5/17) 解答例

問題

1. X =N^，E= 2^X，a_n>0 (n∈N)とし，

µ(A) =

∑∞ n=1

anXA(n), A∈ E

とおく．ただしXA(n) = 1 (n∈A)，= 0 (n /∈A)．µは測度であることを示せ．(3点)

2. µ^∗を有限加法的測度µの外測度とする．µ^∗(B) = 0かつA⊂Bならば，µ^∗(A) = 0となるこ とを証明せよ．さらにµ^∗(B) = 0ならば，任意のG⊂Xに対し，次式が成り立つことを示せ．

µ^∗(G) =µ^∗(B∩G) +µ^∗(B^c∩G).

(4点)

3. X =R^2，E ={A×R¹|A⊂R¹}^，G={R¹×B|B ⊂R¹}^とする．E ∪ G^はσ加法族ではない ことを証明せよ．(3点)

解答例

1. µ:E→[0,∞]，6≡ ∞^{は明らかであるから，}σ加法性のみ証明する．

A1, A2,· · · ∈ EはAi∩Aj =∅ (i6=j)を満たすとする．まず X^S∞_j=1Aj =

∑∞ j=1

XAj (∗)

が成り立つことを示す．x /∈ ∪_∞

j=1Aj ならば左辺，右辺ともに零となることは明らかである．もし x ∈ ∪_∞

j=1A_jならば左辺は1である．このときA_i∩A_j =∅ (i6= j)より，ただ一つのjが存在して x∈Ajとなっている．よって右辺も1となる．

(∗)より，非負項級数の和は和の取り方によらないことに注意すれば，

µ (∪_∞

j=1

A_j )

=

∑∞ n=1

a_nX^S∞_j=1Aj(n) =

∑∞ n=1

a_n

∑∞ j=1

XAj(n) =

∑∞ j=1

∑∞ n=1

a_nXAj(n) =

∑∞ j=1

µ(A_j).

よってσ加法的である．

2. A ⊂Bとする．Aj ∈ E^が∪_∞

j=1Aj ⊃Bを満た すとする．Aj ∈ E ^が∪_∞

j=1Aj ⊃Aとなるから，

外測度の定義より

µ^∗(A)≤∑^∞

j=1

µ(A_j).

∪_∞

j=1⊃BなるA_j ∈ Eについて下限をとれば，µ^∗(A)≤µ^∗(B)となる．よってµ^∗(B) = 0ならば 0≤µ^∗(A)≤µ^∗(B) = 0

となり，µ^∗(A) = 0である．

外測度の劣σ加法性よりµ^∗(G)≤µ^∗(B∩G) +µ^∗(B^c∩G)である．上のことからµ^∗(B) = 0な らばµ^∗(B∩G) = 0であり，B^c∩G⊂Gなのでµ^∗(B^c∩G)≤µ^∗(G)となる．よって

µ^∗(B∩G) +µ^∗(B^c∩G) =µ^∗(B^c∩G)≤µ^∗(G).

3. A= [0,1]×R^，B =R×[0,1]とおく．A∈ E ⊂ E ∪ G^，B ∈ G ⊂ E ∪ G^である．

背理法によりA∪B /∈ E^{となることを示す．}A∪B ∈ E^{と仮定する．}A∪B =C×R (C⊂R)と 表現できる．(2,0)∈B ⊂C×R^{であるから，}2∈Cとなる．したがって(2,2)∈C×R=A∪Bと なるが，これは矛盾である．

同様にA∪B /∈ G^となる．

したがってA∪B /∈ E ∪ G^であり，E ∪ G^はσ加法族ではない．