2 レポート課題 1 小テスト問題 数学演習第一

数学演習第一 （高校復習 第１回） 【解答例】

高校数学の復習,大学数学への準備［１］

2021^年 4^月 14^日

1 ^{小テスト問題}

問1

√

a

³

b

⁻³

× √

³

a

⁻²

b

²

× √

⁶

ab

⁵

= (a

³

b

⁻³

)

¹²

(a

⁻²

b

²

)

¹³

(ab

⁵

)

¹⁶

= a

^32−23+16

b

^−32+23+56

= a .

問2

^まず , ( √

3 + i)

³

= ( √

3 )

³

+ 3( √

3 )

²

i + 3 √

3 i

²

+ i

³

= 3 √

3 + 9i − 3 √

3 − i = 8i. ^よって , ( √

3 + i)

⁻³

=

¹ 8i

= −

ⁱ

8

の虚部は −

¹

8

. あるいは , √

3 + i = 2 (

^√₃

2

+

ⁱ 2

)

= 2 (

cos

^π

6

+ i sin

^π 6

) より , ( √

3 + i)

⁻³

= 2

⁻³

(

cos ( −

^π₂

)

+ i sin

( −

^π₂

))

= −

₈ⁱ

^の虚部は −

¹₈

.

問3

100 ^{以下の自然数} (= ^正の整数 ) ^のうちで , 2 ^{の倍数全体を} A, 3 ^の倍数全

体を B, 5 ^{の倍数全体を} C ^とする . ^このとき , 100 ^{以下の自然数のうちで} , A ∩ B ^は 6 ^{の倍数全体} , A ∩ C ^は 10 ^{の倍数全体} , A ∩ B ∩ C ^は 30 ^の倍数 全体となる . ^{集合の要素の個数を} n( · ) ^で表せば , ^{求める個数は}

n(A \ (B ∪ C)) = n(A) − n(A ∩ B ) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

= 50 − 16 − 10 + 3 = 27 .

A

C B

問4

2 √

2 ≒ 2.82843, √

7 ≒ 2.64575, e ≒ 2.71828, π ≒ 3.14159 ^{であるから} , a

1

= √

7, a

2

= e, a

3

= 2 √

2, a

4

= 3, a

5

= π. ( √ 2, √

3, √ 5, √

6, √

7 には有名な語呂合わせがあるので覚えてお こう . e, π についても上に書いた程度の近似値は知っておくべき .) ^よって , a

2

− a

1

≒ 0.073, a

3

− a

2

≒ 0.110, a

4

− a

3

≒ 0.172, a

4

− a

3

≒ 0.142 ^となり , ^求める n ^は 2, 3, 4 .

2 ^{レポート課題}

問題１

大学に入るとギリシャ文字やアルファベットの太字を使う機会が増える . 理工系分野ではギリシャ文字 は頻繁に現れるので , 読めてかつ書けることは必須である . アルファベットの太字については , ^{大文字はレ} ポート問題で数の集合を表すのに用いられたが , 線形代数でベクトルを小文字アルファベットの太字で表す ので , 小文字の太字の使用頻度は大文字より高い . 読みやすい文字を書くために

参考

【手書き文字】 に示 した標準的な書き方を参考にして欲しい .

問題２

(1) ^まず , ^{準備として} , x → 0 ^のとき ,

1−cosx

x

=

^{(1−cosx)(1 + cosx)}

x(1 + cosx)

=

^sin

2x x(1 + cosx)

=

(

_sinx x

)

2 x

1 + cosx

→ 1

²

· 0

1 + 1 = 0.

加法定理とこの極限を用いて , h → 0 ^のとき ,

sin(x+h)−sinx

h

=

^{sinxcosh+ cosxsinh−sinx}

h

=

^sinh

h

cos x −

¹⁻_h^cosh

sin x → cos x,

cos(x+h)−cosx

h

=

^{cosxcosh−sinxsinh−cosx}

h

= −

^sin_h^h

sin x −

¹⁻_h^cosh

cos x → − sin x.

従って , ^{どちらの方法でも}

^d

dx

sin x = cos x,

^d

dx

cos x = − sin x ^{が示された} .

(2) ^{和積の公式を用いて} , h → 0 ^のとき ,

sin(x+h)−sinx

h

=

^{2 cos(x+}

h 2) sin ^h₂

h

= cos (

x +

^h₂

)

sin^h₂

h 2

→ cos x,

cos(x+h)−cosx

h

=

^{−2 sin(x+}

h 2) sin ^h₂

h

= − sin (

x +

^h₂

)

sin^h₂

h 2

→ − sin x.

( ^ここで , cos(x +

^h₂

) → cos x, sin(x +

^h₂

) → sin x (h → 0) ^{を暗に用いているが} , ^{これは関数} cos x, sin x ^{の連続性による} .)

3 ^演習問題

１ (1) x 0

^π

6 π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π

6

π

sin x 0

¹

2

√1 2

√3

2

1

√3 2

√1 2

1

2

0

cos x 1

√3 2

√1 2

1

2

0 −

¹

2

−

√¹

2

−

^√3

2

− 1

tan x 0

√¹

3

1 √

3

^定義さ_れない

− √

3 − 1 −

√¹

3

0

以下はすべて複号同順で考える . (2) m = 2k ^のとき ,

sin(kπ ± x) = ( − 1)

^k

sin( ± x) = ± ( − 1)

^k

sin x, cos(kπ ± x) = (−1)

^k

cos(±x) = (−1)

^k

cos x.

m = 2k + 1 ^のとき , sin

((

k +

¹

2

) π ± x

)

= ( − 1)

^k

sin (

π

2

± x )

= ( − 1)

^k

cos( ∓ x) = ( − 1)

^k

cos x, cos

((

k +

¹

2

) π ± x

)

= ( − 1)

^k

cos (

π

2

± x )

= ( − 1)

^k

sin( ∓ x) = ∓ ( − 1)

^k

sin x.

(3) sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y.

(4) (3) で答えた最初の表現式において , ± ^の 2 式の和および差をとることにより ,

sin x cos y =

¹₂

{ sin(x + y) + sin(x − y) } , cos x sin y =

¹₂

{ sin(x + y) − sin(x − y) } .

また , (3) で答えた後の表現式において , ± ^の 2 式の和および差をとることにより ,

cos x cos y =

¹₂

{ cos(x + y) + cos(x − y) } , sin x sin y =

¹₂

{− cos(x + y) + cos(x − y) } . (5) X = x + y, Y = x − y ^とおけば , x =

^X+Y

2

, y =

^X−Y

2

であるから , (4) ^{の結果を用いて} , sin X + sin Y = 2 sin

^X+Y

2

cos

^X−Y

2

, sin X − sin Y = 2 cos

^X+Y

2

sin

^X−Y 2

, cos X + cos Y = 2 cos

^X+Y

2

cos

^{X −Y}

2

, cos X − cos Y = − 2 sin

^X+Y

2

sin

^X−Y 2

. (6) r sin(x + α) = r cos α sin x + r sin α cos x, r cos(x + β) = r cos β cos x − r sin β sin x ^である

から , 与えられた等式が成り立つための条件は r, α, β ^が

r cos α = a, r sin α = b, r cos β = b, −r sin β = a を満たすこと . このとき , r = √

(r cos α)

²

+ (r sin α)

²

= √

a

²

+ b

²

であるから , (cos α, sin α) =

(

_a

√a²+b²

,

√ ^b a²+b²

)

, (cos β, sin β ) = (

_b

√a²+b²

,

√ ^−a a²+b²

)

.

これらは単位円周上の点であるから , α, β ^は区間 ( − π, π] 上でそれぞれ一意に定まる .

４ (1) log

₁₀

k (k ∈

N

) ^は 10

^x

= k ^を満たす ( ^唯一の ) x ∈

R

^である . (k = 2 ^{の場合が問われている} .) (2) 2

¹⁰

= 1024 ≒ 10

³

( ^{常識とすべし} ) であることが容易に分かる . ^常用対数 ( ^底を 10 ^とする対

数 ) ^をとれば , 10 log

₁₀

2 ≒ 3, ^すなわち log

₁₀

2 ≒ 0.3. もう少し丁寧に議論するなら 2

^9.5

= 512 √

2 < 725 < 10

³

< 2

¹⁰

^より 9.5 log

₁₀

2 < 3 < 10 log

₁₀

2 ^となり , 0.3 < log

₁₀

2 < 0.316.

(3) 2

^82589933

− 1 ^が n ^{桁であるとすれば} , 10

ⁿ⁻¹≦

2

^82589933

− 1 < 10

ⁿ

, ^従って 10

ⁿ⁻¹

< 2

^82589933 ≦

10

ⁿ

^{であるから} , ^{常用対数をとって} , n − 1 < 82589933 log

₁₀

2

≦

n. ^ここで , log

₁₀

2 ≒ 0.301 より , 82589933 log

₁₀

2 ≒ 2.49 × 10

⁷

. ^よって , ^{この数は約} 2490 ^{万桁である} ( ^{実際の桁数は} 24,862,048 桁 ).

(4) ^最初に , n

≧

2 ^に対して (1 + x)

ⁿ

> 1 + nx (x

≧

− 1, x ̸ = 0) ^を示す . ^まず , n = 2 ^のとき , (1 + x)

²

= 1 + 2x + x

²

> 1 + 2x

であるから確かに成り立つ . ^次に , n

≧

3 ^のとき , n − 1 ^{での不等式} (1 + x)

ⁿ⁻¹

> 1 + (n − 1)x が成立すると仮定し ( ^{帰納法の仮定} ), ^{この両辺に} 1 + x

≧

0 ^{を掛ければ}

(1 + x)

ⁿ ≧

{1 + (n − 1)x}(1 + x) = 1 + nx + (n − 1)x

²

> 1 + nx.

これより不等式は n ^{でも成立する} . ^従って , 数学的帰納法により主張が示された .   n

≧

2 ^のとき ,

a

n

=

( n + 1 n

)

n

= (n + 1)

ⁿ

n

ⁿ

, a

₋n

=

( n − 1 n

)

₋n

= n

ⁿ

(n − 1)

ⁿ

であるから ,

a

n

a

n−1

= (n + 1)

ⁿ

n

ⁿ

(n − 1)

ⁿ⁻¹

n

ⁿ⁻¹

= (n

²

− 1)

ⁿ

n

²ⁿ

n n − 1 =

( 1 − 1

n

²

)

n

n n − 1

>

( 1 − n

n

²

) n

n − 1 = (

1 − 1 n

) n

n − 1 = 1, a

₋n

a

₋(n+1)

= n

ⁿ

(n − 1)

ⁿ

n

ⁿ⁺¹

(n + 1)

ⁿ⁺¹

= n

²⁽ⁿ⁺¹⁾

(n

²

− 1)

ⁿ⁺¹

n − 1

n =

(

1 + 1 n

²

− 1

)

n+1

n − 1 n

>

(

1 + n + 1 n

²

− 1

) n − 1

n =

(

1 + 1 n − 1

) n − 1 n = 1.

これより , a

1

< a

2

< · · · < a

n−1

< a

n

< · · · , · · · < a

₋(n+1)

< a

₋n

< · · · < a

₋3

< a

₋2

. ^更に ,

an

a₋(n+1)

=

^{(n+ 1)}

n

nⁿ

nⁿ⁺¹

(n+ 1)ⁿ⁺¹

=

ⁿ

n+ 1

< 1 ^より , a

n

< a

_−(n+1)

. 以上より , ^数列 { a

n

}

^∞n=1

は上に有界な単調増加列であるから , ^極限値 lim

n→∞

a

n

が存在し ,

n

lim

→∞

a

n

=: e (e ^の定義 ), lim

n→∞

a

₋n

= lim

n→∞

n

n − 1 a

n−1

= e.

∴

lim

n→±∞

( 1 +

¹

n

)

n

= e.

(5) ^まず , lim

h→0

(1 + h)

^1h

= e ^より , lim

x→0

log(1 +x)

x

= lim

x→0

log(1 + x)

^1x

= log e = 1 ( ^{言うまでもな} いが , 2 ^{番目の等号では関数} log x の連続性が用いられている ). ^次に , y = e

^x

− 1 ^とおけば , x = log(1 + y) ^であり , x → 0 ^のとき y → 0 ^{であるから} , lim

x→0

e^x−1 x

= lim

y→0

y

log(1 +y)

= 1.

(6) まず , lim

x→0

log(1 +x)

x

= 1 を用いて , x > 0 において

d

dx

log x = lim

h→0

log(x+h)−logx

h

= lim

h→0

log ^x+h_x

h

= lim

h→0

log(1 + ^h_x)

h x

·

¹_x

=

¹ x

. 次に , lim

x→0

e^x−1

x

= 1 ^を用いて ,

^d

dx

e

^x

= lim

h→0

e^x+h−e^x

h

= lim

h→0

e^h−1

h

· e

^x

= e

^x

.

５ 証明はさておき , 問題で述べられている事実は感覚として身につけて欲しい . (1) a

ⁿ

= (1 + h)

ⁿ

=

∑

n j=0

(

_n j

)

h

^j ≧

(

_n k+ 1

)

h

^k+1

(j = k+1 ^{の項だけ残した} ) ^より , n → ∞ ^のとき , 0 <

ⁿ

k

aⁿ ≦ ^nk

n(n−1)(n−2)· · ·(n−k)

(k+ 1)!

h^k+1

=

¹ n

1

(1− _n¹)(1− _n²)· · ·(1− _n^k)

(k+ 1)!

h^k+1

→ 0.

(2) m = ⌊ log

_b

n ⌋ ^とおけば m

≦

log

_b

n < m + 1, ^従って b

^m≦

n < b

^m+1

. ^これより , n → ∞ ^のと き m → ∞ ^{となることが分かる} . ^従って , (1) ^{の結果を用いて} ,

0 < (log

_b

n)

^ℓ

n

^k ≦

(m+1)

^ℓ

(b

^m

)

^k

= (m+1)

^ℓ

(b

^k

)

^m+1

· b

^k

→ 0 (n → ∞ ).

(3) p > a ^{なる自然数} p ^を 1 ^つ選ぶ . n > p ^のとき

^a

n

< · · · <

^a

p+2

<

^a p+1

<

^a

p

< 1 ^{となるので} , 0 <

^a

n

n!

= (

_a

1 a

2

· · ·

^a_p

)

· (

_a p+ 1

a

p+ 2

· · ·

^a_n

)

<

^a

p

p!

(

_a p

)

n−p

=

^p

p

p!

(

_a p

)

n

→ 0 (n → ∞ ).

(4) 0 <

¹

n

< · · · <

ⁿ

n

= 1 ^{であるから} , 0 <

^n!

nⁿ

=

¹ n

· (

₂

n 3

n

· · ·

ⁿ_n

)

<

¹

n

→ 0 (n → ∞ ).

【補足】 n! ≪ n

ⁿ

(n → ∞ ) ^{は分かったが} , 定積分を利用すればより詳しい情報が得られる . ^一般に , f(x) ^が x > 0 で連続かつ単調増加なら , k

≦

x

≦

k + 1 (k > 0) ^のとき f(k)

≦

f (x)

≦

f (k + 1) ^で あるから , f (k)

≦^{∫ k+1}

k

f (x) dx

≦

f (k + 1) ^となり , f(1) +

∫ _n

1

f(x) dx

≦

∑

ⁿ

k=1

f (k)

≦^{∫ n+1}

1

f (x) dx.

更に , f (x) ^{が上に凸ならば} ,

¹

2

{ f (k) + f (k + 1) }

≦^{∫ k+1}

k

f (x) dx ( ^右上図 ) ^より ,

∑

n k=1

f (k)

≦ ¹

2

{ f(1) +

¹

2

f (n) } +

∫ n 1

f (x) dx.

また ,

∫ k+¹₂ k−¹₂

f (x) dx

≦

f (k) ( ^右下図 ) ^より ,

∫ n+¹₂ 1 2

f (x)

≦

∑

ⁿ

k=1

f (k). ^よって ,

∫ _n+¹

2 1 2

f (x) dx

≦

∑

ⁿ

k=1

f(k)

≦ ¹₂

{ f (1) + f (n) } +

∫ _n

1

f (x) dx が成り立つ . ^特に f (x) = log x ^とすれば , ^{上の不等式において} ,

k k+ 1

k−¹₂ k+¹₂ f(k)

k

こちらが広い

( ^右側の式 ) =

¹

2

log n +

∫ _n

1

log x dx = (

n +

¹ 2

)

log n − n + 1, ( ^左側の式 ) =

∫ _n+¹

2 1 2

log x dx = (

n +

¹ 2

) log

( n +

¹

2

) − n +

¹ 2

log 2

≧

( n +

¹

2

)

log n − n +

¹

2

(log 2 + 1) ここで , 最後の不等号は次の計算による :

( n +

¹

2

){

log (

n +

¹ 2

) − log n }

=

¹ 2

log

(

_{2n+ 1} 2n

)

2n+1

=

¹ 2

log

(

1 −

_2n¹_{+ 1}

)

₋(2n+1)

≧ ¹₂

. 但し , n → ∞ ^のとき , (1 −

¹_n

)

⁻ⁿ

^が n ^{について単調減少し} , e に収束する事実を用いた . ^以上より ,

( n +

¹

2

)

log n − n +

¹

2

(log 2 + 1)

≦

log n!

≦

( n +

¹

2

)

log n − n + 1.

指数関数 e

^x

^{の単調増加性により} , ^{上の不等式の各辺を} e ^{の肩に乗せ} ,

√ 2en e

⁻ⁿ

n

ⁿ ≦

n!

≦

e √

n e

⁻ⁿ

n

ⁿ

. ^すなわち , √

2en e

⁻ⁿ≦ ^n!

nⁿ ≦

e √ n e

⁻ⁿ

. 実は , ^{より精密な結果として} , n → ∞ ^のとき ,

^n!

nⁿ

∼

√2πn eⁿ

( あるいは n! ∼ √

2πn e

⁻ⁿ

n

ⁿ

) が知 られている (

ス タ ー リ ン グ

Stirling ^の公式 ). ^ここで , p

n

∼ q

n

(n → ∞ ) ^とは lim

n→∞

pn

qn

= 1 ^{を意味する} .