小テスト (5/31) 対策問題
6月7日午後1時より，中間試験を行います．
* 解答に際し，講義で紹介した定理，命題などは証明なしに用いて良い．
(RN,F, λ)でLebesgue測度空間を表す．
531-1. (Q3.10) A∈ Fとする．開集合の列{On}∞n=1とE ∈ Fが存在し，λ(E) = 0，E ⊂∩∞
n=1On， A=∩∞
n=1On\Eとなることを証明せよ．
531-2. (Q3.11) A∈ Fとする．λ(A) = sup{λ(F)|F ⊂A, F は閉集合}となることを証明せよ．
さらに閉集合の列{Fn}∞n=1とE∈ F が存在し，λ(E) = 0，A=E∪∪∞
n=1Fnとなることを証 明せよ．
531-3. A⊂RN がFに属するには，条件は，開集合列{On}∞n=1，閉集合列{Fn}∞n=1が存在し，
∪∞ n=1
Fn⊂A⊂ ∩∞
n=1
On かつ λ
(∩∞
n=1
On\ ∪∞
n=1
Fn
)
= 0
が成り立つことが必要かつ十分であることを証明せよ．
531-4. (Q3.12) A ∈ F は有界集合とする．任意のε > 0に対し，λ(RN \F) < εをみたす閉集合 F ⊂RNが存在し，F 上XAは連続となることを証明せよ．
さらにAの有界性がなくてもこの主張が成り立つことを示せ．
531-5. (Q3.15) α >0とし，線形変換T :RN →RN をT x=αx(x∈RN)と定義する．A∈ Fとし，
T A={T x|x∈A}とおく．このとき，T A∈ F であり，さらにλ(T A) =αNλ(A)となること を証明せよ．
小テスト (5/24) 解答例
問題
1. (i) a∈RN，A={a}とする．λ∗0(A) = 0となることを証明せよ．(2点)
(ii)an∈RN，A={a1, a2, . . .}とする．λ∗0(A) = 0となることを外測度の定義から直接証明せ よ．(1点)
(iii) Λを添え字集合とする．α∈Λに対しλ∗0(Aα) = 0であるがλ∗0(∪
α∈ΛAα )
>0となる例を 挙げよ．(2点)
2. (i) A⊂RN が有界集合ならば，λ∗0(A)<∞となることを示せ．(2点) (ii) 0< λ∗0(A)<∞となる非有界集合を例示せよ．(3点)
解答例
1. (i) a ∈ RN をa = (a1, . . . , aN)と成分表示する．ε > 0とし，Jε = (a1 −ε1/N, a1]×. . .(aN − ε1/N, aN]とおく．外測度の定義より，
0≤λ∗0({a})≤λ0(Jε) =
∏N i=1
{ai−(ai−ε1/N)}=( ε1/N)N
=ε.
ε→0として，λ0({a}) = 0となる．
(ii) an= (a1n, . . . , aNn)と表す．ε >0とし，Jnε = (a1n−(ε2−n)1/N, a1n]×. . .(aNn −(ε2−n)1/N, aNn]と おく．{a1, a2, . . .} ⊂∪∞
n=1Jnεであるから，外測度の定義より，
0≤λ∗0({a1, a2, . . .})≤∑∞
n=1
λ0(Jnε) =
∑∞ n=1
∏N i=1
{ain−(ain−(ε2−n)1/N)}=
∑∞ n=1
ε2−n=ε.
ε→0として，λ0({a1, a2, . . .}) = 0となる．
(iii) Λ = (0,1]N，Aα = {α} (α ∈ Λ)とすれば，求める例となる．実際，(i)よりλ∗0(Aα) = 0． Caratheodryの拡張定理の証明で見たように，λ∗0((0,1]) =λ0((0,1]N) = 1．
2. (i) Aは有界集合であるから，R >0が存在し，A⊂(−R, R]N が成り立つ．外測度の定義より，
0≤λ∗0(A)≤λ0((−R, R]N) = 2NRN <∞. (ii)Jn= (n, n+ 2−n/N]n(n= 1,2, . . .)，A=∪∞
n=1Jnとおく．このとき，明らかにAは非有界であ る．Jnは区間であるから，外測度の定義より
0≤λ∗0(A)≤
∑∞ n=1
λ0(Jn) =
∑∞ n=1
(2−n/N)N = 1<∞.
Caratheodryの拡張定理の証明で見たようにλ∗0(Jn) =λ0(Jn) = 2−nである．これより，
λ∗0(A)≥λ∗0(J1) = 2−1>0.
以上より，Aが求める例となる．
