実k次対称行列の対角化災兜 R - Keio

(1)

実次対称行列の対角化

戸瀬信之

戸瀬信之実次対称行列の対角化

a.t.ee ^R

y

災兜

_ce

)

^EM⁼ ^A^て^. ^い^R

)

( 𤎼たが

_いい

が襲い濹褻

(2)

実次実対称行列の固有方程式

次正方行列 =

✓ ◆

の固有多項式

( ) = | |

=

= ( + ) +

次方程式 ( ) = _の判別式

= ( + ) ( ) = ( ) +

磕

^っ ^t ^A ⁼ ^A ^子の^約^一^行^が1^.

XI_、^一

Anni

=

で品 )

^-

( と )

の

p

⁼ ^ate

Those

⁼ ^G^- âs â^- ê⁾ ^- ^C^・^い

た

(

^et^- ^d ⁼^メ

P

Telse

⁼ ^{det CA}₎_.

i t.cat

^e

に

^aae

し(

○ _ca-

ef

T.EE/RP.8soTTney/Tta=e.c_=oPtf=oep=q=o

^を ^Caer)²⁼ ⁴^d⁼ ⁰^.

(3)

次実対称行列の固有方程式

定理次実対称行列の固有値は実数である。

注意 = _のとき

= , = 従って =

以下 > _とする。 ( ) = _{の解を}↵_{ととして}

↵6= このとき

↵+ = + , ↵ = = det( )

PAH

⁾ ^の²^不良 ^の

f

ER.no

^mn

まで兜が

二

( 利

menr

二 aI₂

.

←

い

t _、CA)

(4)

具体例

= の固有多項式は

( ) = = ( )( )

なのでの固有ベクトルは = ,

= _のとき

( ) = ( ), ( ) =~ , + = なので固有ベクトルは

( ) = ( ) = ( 6= )

一) 対

約

.

00

a

(小 5) Ct ^て) ^- C^-いし

= が-7×+6

Tides

₌ _{a I}

-A .

-

t h e

einer -) y^{- _ -}^てつく

TESERO

L、

{

^-^-⁴2^つ^くつ^く^-^-²^yy^{= 0}^{= o}

ほぼ

-_-

3g

がまじりせた

^の^とき₎

→

AT

⁼

で

(5)

具体例

= のとき

( ) = ( ), ( ) =~ , = なので固有ベクトルは

( ) = = ( 6= )

ここで

~ = p , ~ = p , = p

とするとは回転行列で

= ( ~ ~ ) = (~ ~ ) = (~ ~ ) = から = と回転行列を用いて対角化できます．

戸瀬信之実次対称行列の対角化っく^- 2y ^{= 0}

EI

L

^-²^st4y⁼^O

find

(^--) DC= 2

y.int

EFR

⁾ ^AE^-⁶

で

( な )

^だ

nd

^{n n} ^は

市

^-

in M )

→ _nnn _{m n}

L い

=

心が

₎ _回 _車_と

、

Rは

正則は

^、

山

_

た

が

. TRE

-5 ²次

形式

^の^ため ^、

(6)

も、で

拳

R

⁼

心に )

⁼

( ロ。災

^。

なっと

_

^。

)

(7)

回転

_.

A

⁼

( 足 ) にいいなに ? ) が

^二

方な ? )

ん

。

でも ) 「

ら

^と

算

^いみ

3.ri.IR

^"

AR

⁼

(

。

) \ が

5,5+4

^が _y _t ₂

y

^て

E e e

=

( A ( な ) は 1 ) の回転

二

( か

^A

しまがけ ) ) ( Q で

、

Q が )

=

は AR

^-

がくまがけり 1ns

^で

も町

=

4 % ) は

、

ぼ ) がくまた ( え )

=

8'+622

(8)

へ

て

( る )

⁼

R ( え )

=

3 がそで

! : : : : : 夢 : い

(9)

↵ 6 = のときの固有ベクトル（準備）

定理 2 ( )とする。このとき~,~ 2 に対して ( ~,~) = (~, ~)

（証明）

( ~,~) = ( ~ + ~ ,~) = (~ ,~) + (~ ,~)

= ~ ~+ ~ ~= ~, ~ ~

~ ~

!!

= (~, ~)

も、

、

Ee が

一

転置

^行^が₁ ^の

たき

^い ^た

咒

くで

.io/ た志

高

_n =

1 鼠 )

^- ^ne ^-

MUIR)^とも ^一 ^一

〇

~

2 n e 11

はで =

に

( 鼠 ) が

(10)

しもな ) はなか

^この

まな

でも

無い憑た

的

いるが

^ない

の

⁼

( ぼ ) ( 別 )

(11)

にも ) け )

⁼

(

ご

_._.

. .

i

^→

i y

=

( l. 川

(12)

↵ 6 = のときの固有ベクトル

定理 ~ =↵~ 、 ~ = ~ ならば (~ ,~ ) =

（証明） = だから( ~ ,~ ) = (~ , ~ )

( ~ ,~ ) = (↵~ ,~ ) =↵(~ ,~ ) (~ , ~ ) = (~ , ~ ) = (~ ,~ )

↵(~ ,~ ) = (~ ,~ )!(~ ,~ ) =

that

.

A ^: ²^× ² 対和^.

T で

^E

IRR

のキ

p.AE

⁼ ^メ^で

me

も ( が

,

t

AID

-

4

⁰ ^m

)

○

_

→

iF

^く

がた )

⁼

8

4

0

(13)

実対称行列は回転行列で対角化可能

~ =↵~ 、 ~ = ~ 、~ 6=~( = , )とする。

~ =

||~ ||~ , ~ =

||~ ||~ とすると

(~ ,~ ) = , ||~ ||=||~ ||=

~ =

✓cos✓ sin✓

◆

とするとき

~ =

✓ sin✓ cos✓

◆

または ✓ sin✓

cos✓

◆

A

たので

i s n ^-

AT

⁼ p

で

T

^」

で AT

₎ =p ^に

も

₎

→

※ で

-

T

s e e n

iii) 回転 msn.AT

⁾ ^は

cgi Li 回

恥

(14)

実対称行列は回転行列で対角化可能

(~ ~ )または(~ ~ )は回転行列である。

定理次対称行列は回転行列で対角化可能である。すなわち、回転行列が存在して

=

✓↵ ◆

一、

TTR

⁼

バで

^、

NAR

^二

階 )

AR⁼ CA

が AE )

⁼ (

のちが

_、

)

=

何か ( 8 8 )

⁼

R ( 8 g ) 9

(15)

具体例

= _{は回転行列} = ^p _で

= と対角化可能であったので，

( ( ),( )) = ( ), ( ) = · ( ), ( )

= _⌘^⇠ , ^⇠_⌘ =⇠ + ⌘ ここで回転座標変換( ) = ^⇠_⌘ _{を用いました．}

R

回転

₍

RIRE )

⁼⁽

ち

^ば

)

T s が回転

-5

^が^+42cga

+25

^{n n n r}

もの

^で

なくがらほた

^る

かで

(16)

( る )

⁼

らがそこ

で \

詩的

(17)

具体例等高線

5^つに₊₄

scy

+25

^二

CM を

訟線

/ \

_' ^.

S

(18)

次形式の標準形

次正方行列 =

✓ ◆

が定める次形式

✓ ✓ ◆ ,

✓ ◆◆

= + +

が回転行列で、内積を保つから

✓ ✓ ◆ ,

✓ ◆◆

=

✓ ✓ ◆ ,

✓ ◆◆

=

✓

·

✓ ◆ ,

✓ ◆◆

実は

^称^行^が1^. A⁼

( 足

₎

(

^A

は

、

せい )

⁼⁵^が⁺⁴^つ^は

neural

t 2

y^て R回臥

nn i n

MAR

⁼

( とう )

R 回転

iii)

。。言い的

(19)

次形式の標準形

回転座標変換

✓⇠

⌘

◆

=

✓ ◆

すなわち ✓ ◆

=⇠~ +⌘~

✓ ✓ ◆ ,

✓ ◆◆

=

✓✓↵ ◆ ✓

⇠

⌘

◆ ,

✓⇠

⌘

◆◆

= ↵⇠ + ⌘

( な )

i

^R

( さい

= R

( { )

」

(20)

次形式の正定値性

次形式の正定値性（負定値性）

( ~,~)> (~ 6=~),↵, >

( ~,~)< (~ 6=~),↵, <

正定値性について（)） = (~ ~ )_のとき

( ~ ,~ ) = (↵~ ,~ ) =↵· ||~ || =↵>

( ~ ,~ ) = ( ~ ,~ ) = · ||~ || = >

(^A^で心) ⁼ g

a >⁰

, 1Aに ae.is ^o A ⁼

( EE ) 定戦

^{n n n t}

〇

^{m n t}

R が

転

.rs

_{r i s e n} _of¹ ^が ^AR⁼

( Y )

O ^<

fgs

^t

を

仮定

_、 ^一

※

^~ ^~

y b AER は

し

た

臥いが

^に ^い

た

¹^に^し ^、 ^{CAT AT}⁾

o → T_,

E

₎ ⁼ ^o

直交

^行川 ^・ ^こい^だ

が

(21)

正定値性について（(）✓ ◆

6

=~ ,

✓⇠

⌘

◆

6

=~ _に注意。

( ~,~) =↵⇠ + ⌘ さらに

↵⇠ + ⌘ = ! ↵⇠ = ⌘ =

! ⇠ =⌘= ! = =

, _のとき

+ = , = =

の、 ⁰ ^を

エは

だ

_ 、

と

^し

まのけり

^が

してきぷかは心

~ ~

く

^の

p

^。

TTE

⁾⁼ ^R

( え )

Ain

^R

1 8 )

⁼⁸

(22)

正定値性をの係数で判定する

↵, > , > , det( ) = >

↵, < , < , det( ) = >

（注意） + =↵+ _と↵ =

（注意）↵, > ,↵+ > , ↵ >

（正定値性） )

=↵ > ! >

+ =↵+ > ! + > ! , >

○

とながか

^。

( ほ

⁾

が、

← _A^La)^二水^-Late)^入+1Al

- 小

二入² ^-Cat

入る

に考える、

atsat-ckap.mg tap

0 が

^-

)

を

仮定

T T _

(23)

（正定値性） (

> ! >

> , > ! >

↵+ = + >

↵ = >

注意 det( ) = < _のとき↵ <

azo.ae^- ^et ^s ^o ^を

仮定

.ae

_s

-_-

tempo

(

^の ² ⁰ ^が

peo

←

)

^on

(

^の ^ao ^が

p

^。^」

) 則㭭

を_み_てかち

、

実k次対称行列の対角化 災兜 R - Keio

実 次対称行列の対角化

戸瀬 信之

災 兜

次正方行列 =

で品 )

定理 次実対称行列の固有値は実数である。

まで 兜 が

= の固有多項式は

一) 対

Tides

= のとき

心 が

( A ( な ) は 1 ) の 回転

定理 2 ( )とする。このとき~,~ 2 に対して ( ~,~) = (~, ~)

転置

いる が

定理 ~ =↵~ 、 ~ = ~ ならば (~ ,~ ) =

も ( が

~ =↵~ 、 ~ = ~ 、~ 6=~( = , )とする。

た ので

(~ ~ )または(~ ~ )は回転行列である。

バ で

= と対角化可能であったので，

回転

訟 線

次正方行列 =

実は

回転座標変換

( さい

次形式の正定値性（負定値性）

( EE ) 定 戦

正定値性について（(）✓ ◆

エ は

正定値性を の係数で判定する

と なが か

（正定値性） (

仮定

実k次対称行列の対角化災兜 R - Keio

実次対称行列の対角化

戸瀬信之

災兜

定理次実対称行列の固有値は実数である。

まで兜が

心が

( A ( な ) は 1 ) の回転

いるが

たので

バで

訟線

( EE ) 定戦

エは

正定値性をの係数で判定する

とながか