線型代数学演習第 4 回
（A ターム水曜 4 限，理 2,3 1–7 組）土岡 俊介 2016 年 11 月 23 日
• 小木曽先生の授業の成績+レポート（最終日12/21に配布）によって成績が決まります．
• 配布される解答はhttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~tshun/2016a.html にもあり ます．またそこからメッセージフォームにリンクを張っています．匿名で要望等あれば，お 気軽にどうぞ．
• Aタームは必修のため人数が多いので，配られた解答を元に各自理解を深めてください．答 案（の書き方など）をみて欲しい人は，演習終了時に提出してください．
• ボーナス問題を正解した人には何かしら差し上げます（先着順）．興味のある人は知らせて ください．
• 演習開始後45分から出席をとります．出席状況によっては，最終成績で不可になりそうな 人を可にするくらいの考慮をするかもしれません．
• 問題を解く順序はありませんが，§4は解きましょう．
• 授業あるいは線型代数の理解を深めることが目的なので，自分にあった問題に取り組んでく ださい．友達と議論したり，webを調べるのもご自由に．
1 概要
(S1) 授業では，行列の対角化を扱いました．
(S2) 雑談として，ジョルダン標準形（Jordan normal form）を紹介します．
(S3) 今日は，基礎体はK =Cとします．
2 線型写像の対角化
V をn次元C線型空間とする．自己C線型写像f :V →V について，
• α∈Cがfの固有値であるとは，Ker(f−α1V)̸={0}となること
• 固有値αの固有空間とは，Vα:={v∈V |fv=αv}
と定義される．Vαのゼロでないベクトルは，固有値αの固有ベクトルと呼ばれる．
1
f が対角化可能であるとは，次が成り立つことである： ∑
α：固有値
dimVα=n
（理由：このとき，各固有空間Vαから基底を選ぶことで，V の基底を選べて，この基底に関するf の表現行列は対角行列になる）．以下は，固有値と対角化可能性についての注意である．
• V の順序基底v1,· · · ,vnを1つ選んで，f の行列表示A= (aij)1≤i,j≤nを考える．つまり f(vj) =
∑n i=1
aijvi
である（ここで1≤j≤n）．このとき多項式χf(t) := det(tEn−A)は順序基底の取り方に 依らず（固有多項式または特性多項式），「α∈Cがfの固有値⇔χf(α) = 0」が成り立つ．
• 以下の内容はまだ授業で扱っていませんが，知っておくとよいでしょう．ゼロでないC係 数多項式φf(t)∈C[t]で，次の条件を満たすものがただ一つ存在する（最小多項式）：
1. φf(f) = 0かつφf(t)の最高次数の係数は1
2. ゼロでない多項式g(t)∈C[t]が，すぐ上の条件を満たすときdegg >degφf
このとき「f が対角化可能⇔方程式φf(t) = 0は重根を持たない」によって，対角化可能 性が判定できる．
3 行列の対角化
§2の内容を，n×n行列Aに付随する標準的な線型写像FA :Cn → Cn,x→Axに適用する と，行列の対角化について論じられる．
Aが対角化可能であるとは，ある可逆行列P が存在して，D:=P−1AP が対角化行列になると いう．対角化は可能だったりそうでなかったりするが，まず可能な場合，次の手順でP およびD が計算できる：
1. Aの固有値α1,· · ·, αsを列挙する．これは固有多項式φA(t) := det(tEn−A) = 0という 方程式を解くことで達せられる．
2. 固有値αiの線型独立な固有ベクトルpi,1,· · ·,pi,di を計算する（i= 1,2,· · · , s）．これは (A−αiEn)v=0という連立方程式を解くことで達せられる．
3.
∑s i=1
di=nであるときに限ってAは対角化可能である．P として
P =(
p1,1,· · · ,p1,d1,p2,1,· · · ,p2,d2,· · ·,ps,1,· · · ,ps,ds) が取れ（固有ベクトルを並べた行列），このときD=P−1AP は，対角線に
α1,· · · , α1,
| {z }
d1個
, α|2,· · ·{z, α2}
d2個
,· · · , α|s,· · ·{z, αs}
ds 個
が，この順に並んだ対角行列になる．
2
4 対角化の計算
(A1) 行列 (
0 1 0 0
)
は対角化不可能であることを示せ．
(A2) 以下の行列の固有値を求めよ．
(a).
( 1 2
−1 4 )
, (b).
6 −3 −7
−1 2 1 5 −3 −6
, (c).
2 −1 1
0 1 1
−1 1 1
,
(A3) (A2)の行列の固有ベクトルを求めよ．
(A4) (A2)の行列のうち，対角化可能なものはどれか？
(A5) (A4)の行列AについてP−1AP が対角行列になるような可逆行列P を求めよ．
(A6) (A5)について，それぞれP−1AP を求めよ（注意：逆行列と行列積の計算は不要）．
(A7) 行列
2 −1 a
−1 2 a
−1 1 a+ 2
が対角化可能かどうか調べよ．
5 対角化の応用
(B1) (A2a)の行列をAとする．行列の指数関数eA=E2+A+2!1A2+3!1A3+· · · を計算せよ．
(B2) (A2b)の行列をAとする．Anを計算せよ（(B1)(B2)は(A5)のP がある形で構わない）．
(B3) 数列 (an)n≥0 は 4項間漸化式 an+3 = 6an+2−11an+1 + 6an を満たすという．一般項 an を，初期値 a0, a1, a2 で表せ．ただし次は使ってよい：P =
1 1 1 1 2 3 1 4 9
とすると，
P−1= 1 2
6 −5 1
−6 8 −2 2 −3 1
で，P−1
0 1 0
0 0 1
6 −11 6
P =
1 0 0 0 2 0 0 0 3
．
(B4) 三角形ABCがある．点Qは，
1. 時刻0では頂点Aにいて，
2. 時刻tからt+ 1では，確率1/2で隣接する頂点のどちらかに移る（t≥0）
と き ，時 刻 t で 頂 点 A,B,C に い る 確 率 pA(t), pB(t), pC(t) を 求 め よ ．た だ し 次
は 使 っ て よ い：P =
1 −1 −1
1 1 0
1 0 1
と す る と ，P−1 = 1 3
1 1 1
−1 2 −1
−1 −1 2
で ，
P−1
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0
P =
1 0 0
0 −1/2 0
0 0 −1/2
． 3
(B5) n×n行列P = (pij)1≤i,j≤nは，
1. 各成分pij は非負実数（つまりpij ≥0） 2. 任意の1≤i≤nについて，∑n
j=1pij = 1
が成り立つのとき，確率行列と呼ばれる．P は固有値1を持つことを示せ．
6 やや高度な話題（すべてボーナス問題）
(C1) 確率行列Pの固有値λについて，|λ| ≤1を示せ．
(C2) 複素数α∈Cについて，lim
n→∞αnが存在する条件は「|α|<1またはα = 1」である．では n×n行列Aについて， lim
n→∞Anが存在する条件は何か？（ヒント：ジョルダン標準形）．
(C3) n×n行列Aが，
(X Y O W
)
と区分けされているとする（ここでXはm×m行列，Y は
m×(n−m)行列，Oは(n−m)×m零行列，W は(n−m)×(n−m)行列）．Aが対角 化可能ならば，Xも対角化可能であることを示せ（ヒント：最小多項式）．
7 単位が不安な人向けの復習用の問題
(X1) det
2 4 1 −3
0 1 −2 1 1 0 2 −3 1 0 3 −2
を求めよ． (X2)
−3x+ 7y−4z=−18 2x−5y+ 3z= 11 x−3y+ 2z= 4.
を解け．
8 解き残っているボーナス問題
第2回の(C6.3) n×n行列Aについて，rank(A) =n−1ならばrank(A) = 1e を示せ．
第2回の(C9)の一部 A, Bをn×n行列とするとき（ここでn≥2），ABg=BeAeを示せ．
第2回の(D4) 対角成分がすべて1で，非対角成分がすべてaである以下のn×n行列のランクを求めよ．
1 a a · · · a a 1 a · · · a ... . .. ...
a 1 a
a a · · · a 1
第3回の(B3) 自己線型写像f :V →V が，ある自然数m≥1についてfm = 0となるとき，idV −f は 同型写像であることを示せ．
第3回の(B4) K成分n×n次行列のなすK 線型空間をMn(K)と書くことにしよう（和は行列の和で，
スカラーc倍は行列のすべての成分をc倍する）．任意のK 線型写像f : Mn(K)→K は，
あるA∈Mn(K)を用いてf(X) = tr(AX)と書かれることを示せ．
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