３次正方行列の対角化可能性
Exercise
解答例基本演習
1 m ( ≥ 2)
個のn ( 6 = 0)
次元（たて）ヴェクターの組{
1,
2, . . . ,
m}
があったとして以下の問いを考えましょう。(1)
1=
ならばこのヴェクターの組は一次従属である事を証明して下さい。1 ·
1+ 0 ·
2+ · · · + 0 ·
m=
なので一次従属である。(2)
1=
2ならばこのヴェクターの組は一次従属である事を証明して下さい。1 ·
1− 1 ·
2+ 0 ·
3+ · · · + 0 ·
m=
なので一次従属である。(3)
このヴェクターの組が一次独立ならば、{
1,
2, . . . ,
m}
の中から１個除い たヴェクターの組{
2, . . . ,
m}
も一次独立である事を証明して下さい。a
2 2+ · · · + a
m m=
であると仮定すると、0 ·
1+ a
2 2+ · · · + a
m m=
であり、
{
1,
2, . . . ,
m}
の一次独立性からa
2= · · · = a
m= 0
が分かる。従って{
2, . . . ,
m}
も一次独立である。(4)
このヴェクターの組が一次従属ならば、{
1,
2, . . . ,
m}
に勝手なヴェク ター m+1を加えて得られるヴェクターの組{
1,
2, . . . ,
m+1}
も一次従属で ある事を証明して下さい。{
1,
2, . . . ,
m}
が一次従属であるから、(a
1, . . . , a
m) 6 = (0, . . . , 0)
でa
1 1+ · · · + a
m m=
となるものが存在する。この時、
(a
1, . . . , a
m, 0) 6 = (0, . . . , 0, 0)
であって、a
1 1+ · · · + a
m m+ 0 ·
m+1=
が成り立っており、これは
{
1,
2, . . . ,
m+1}
が一次従属である事を示している。(5) n < m
ならばこのヴェクターの組は一次従属である事を証明して下さい。難しければ、
n = 3, m = 4
の時に証明してみて下さい。{
1,
2, . . . ,
n}
が一次従属であれば上の４の結果から{
1,
2, . . . ,
m}
も一次 従属である事は明らかである。もしも
{
1,
2, . . . ,
n}
が一次独立ならば、行列≥
1
. . .
n¥
は正則であり、n+1に対して、
≥
1
. . .
n¥
−1n+1
=
a
1.. . a
n
と置けば、
n+1
= ≥
1
. . .
n¥
a
1.. . a
n
= a
1 1+ · · · + a
n nとなっている。すると
a
1 1+ · · · + a
n n− 1 ·
n+1+ 0 ·
n+2+ · · · + 0 ·
m=
であり、これは{
1,
2, . . . ,
m}
が一次従属である事を意味している。以上の様に、いずれの場合にも
{
1,
2, . . . ,
m}
は一次従属である。(6)
このヴェクターの組が一次独立ならば、それぞれに正則行列H
を掛けて得られる
{ H
1, H
2, . . . , H
m}
も一次独立である事を証明して下さい。ヒント：一般に
n
次正方行列M
に対して（
M
は正則行列）⇔
（M
は固有値0
をもたない）⇔
（連立方程式M =
の解 は のみである）と云う事に注意して下さい。
{ H
1, H
2, . . . , H
m}
が一次従属である、すなわち、a
1H
1+ · · · + a
mH
m=
となる様な
(a
1, . . . , a
m) 6 = (0, . . . , 0)
が存在すると仮定すると、a
1H
1+ · · · + a
mH
m= H(a
1 1+ · · · + a
m m) =
a
1 1+ · · · + a
m m= H
−1=
となり、これは
{
1,
2, . . . ,
m}
が一次従属である事を示しているがこれは矛盾であ る。従って{ H
1, H
2, . . . , H
m}
は一次独立である。(7)
任意の異なる i,
j(i, j = 1, 2, . . . m)
が直交し、かつどの jもゼロヴェ クターでない時、このヴェクターの組{
1,
2, . . . ,
m}
は一次独立である事を証 明して下さい。{
1,
2, . . . ,
m}
が一次従属である、すなわち、a
1 1+ · · · + a
m m=
となる様な
(a
1, . . . , a
m) 6 = (0, . . . , 0)
が存在すると仮定する。a
1, . . . , a
mのうち少なく ともいずれか１つは0
ではないので仮にa
16 = 0
であるとして話を進める。この時、
a
1 1+ · · · + a
m m=
1
a
1 1·
1= 0
であるが、 16 =
なのでa
1= 0
を得る。これは矛盾である。以上により
{
1,
2, . . . ,
m}
は一次独立である。(8) m = n
であり、かつ、ヴェクターの組{
1,
2, . . . ,
m}
は一次独立である と仮定します。この時、任意のヴェクター は 1
,
2, . . . ,
mの定数倍および和（こう云うも のを一次結合と言います）で書ける事を証明して下さい。もしも
{
1,
2, . . . ,
m}
が一次独立ならば、行列≥
1
. . .
m¥
は正則であり、任意のヴェクター に対して、
≥
1
. . .
m¥
−1=
a
1.. . a
m
と置けば、
= ≥
1
. . .
m¥
a
1.. . a
m
= a
1 1+ · · · + a
n mとなっている。
基本演習
2
次の各組が一次独立であるか一次従属であるか答えて下さい：（１）
√ 1 0
! ,
√ 0 1
!
（２）
√ 0 2
! ,
√ 2 1
! ,
√ 1 4
!
（３）
1
− 1 1
,
0 1
− 1
,
1 2
− 1
（４）
0 0 0
（１）一次独立。
（２）本数が次元より大きいため一次従属。
（３）
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 0 1
− 1 1 2
1 − 1 − 1 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 0 1
0 1 2
0 − 1 − 1 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= 1
により一次独立。
（４）一次従属。
基本演習
3
次のヴェクターの組の中から何本か選んで一次独立な組を作ろうと思 いますが、最大何本で一次独立な組が作れるでしょうか？
5 4 2
,
2
− 1 3
,
3 5
− 1
,
1 6
− 4
3 5
− 1
×
1 6
− 4
=
− 14 11 13
なので、
5 4 2
·
3 5
− 1
×
1 6
− 4
= − 70 + 44 + 26 = 0
2
− 1 3
·
3 5
− 1
×
1 6
− 4
= − 28 − 11 + 39 = 0
また、
5 4 2
×
2
− 1 3
=
14
− 11
− 13
なので、
3 5
− 1
·
5 4 2
×
2
− 1 3
=
1 6
− 4
·
5 4 2
×
2
− 1 3
= 0
でもある。以上により、４本のうちどの３本をとってもその３本は一次従属であった。
平行でない２本のヴェクターの組は一次独立であるから、答えは最大２本である。
基本演習
4
（１）４本の４次元ヴェクターの組：
1 1 1 0
,
0 2 1 0
,
0 2 1 4
,
0 0 0 1
は一次従属である事を示して下さい。
（２）行列式：
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 0 0 a 1 2 2 b 1 1 1 c 0 0 4 d Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
が
0
にならない様なa, b, c, d
を求める事によって、３本の４次元ヴェクターの組：
1 1 1 0
,
0 2 1 0
,
0 2 1 4
は一次独立である事を示して下さい。
（３）行列式：
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
m
11m
12m
13m
21m
22m
23m
31m
32m
33Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
が0
でないとき、３本の４次元ヴェクターの組：
m
11m
21m
31m
41
,
m
12m
22m
32m
42
,
m
13m
23m
33m
43
は一次独立である事を示して下さい。（４）
0 0 0 1
を３本の４次元ヴェクター：
1 1 1 0
,
0 2 1 0
,
0 2 1 4
の一次結合で表して下さい。（１）
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 0 0 0 1 2 2 0 1 1 1 0 0 0 4 1 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 0 0 1 2 2 1 1 1 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= Ø Ø Ø Ø Ø
2 2 1 1 Ø Ø Ø Ø Ø = 0
（２）
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 0 0 a 1 2 2 b 1 1 1 c 0 0 4 d Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
2 2 b 1 1 c 0 4 d Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
− a Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
1 2 2 1 1 1 0 0 4 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
2 0 b 1 0 c 0 4 d Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
− 4a Ø Ø Ø Ø Ø
1 2 1 1 Ø Ø Ø Ø Ø
= − 4 Ø Ø Ø Ø Ø
2 b 1 c Ø Ø Ø Ø Ø − 4a
Ø Ø Ø Ø Ø
1 2 1 1 Ø Ø Ø Ø Ø
= 4a − 4(2c − b) = 4(a − 2c + b)
なので、a − 2c − b 6 = 0
ならばこの行列式は0
ではない。従って、これを満たす様な
a, b, c
と任意のd
に対して４本のヴェクターの組：
1 1 1 0
,
0 2 1 0
,
0 2 1 4
,
a b c d
は一次独立であり、ここから１本除いた
1 1 1 0
,
0 2 1 0
,
0 2 1 4
もまた一次独立である。（３）この３本に
0 0 0 1
を加えて出来る４本のヴェクターの組を考えると、
Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
m
11m
12m
130 m
21m
22m
230 m
31m
32m
330 m
41m
42m
431 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
= Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
m
11m
12m
13m
21m
22m
23m
31m
32m
33Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
6
= 0
によりこれは一次独立である。従ってここから１本除いて得られる３本の組
m
11m
21m
31m
41
,
m
12m
22m
32m
42
,
m
13m
23m
33m
43
も一次独立である。（４）
0 0 0 1
= a
1 1 1 0
+ b
0 2 1 0
+ c
0 2 1 4
と置けば、明らかに
a = 0, c =
14 であり、b + c = 0
である事からb = −
14である事も 分かる。従って、
