地球惑星状態物理学 課題（ 月
日出題）
単位面積を単位時間に通過する放射エネルギーフラックス を計算．プラン ク関数を全振動数と立体角上半球 で次のように積分すればよい．
"!$#&%#('
)$*,+
-/.
%10
2/31465
+ %
7
98;:<
#1%
)$*,+
-/.
5 7
+ 8 0 5 + %
7 8 0
2=34 5 + %
7 8
:><
#&%
ここで @BA? DC とおくと#&%9
@BA
?
# C より
E
*,+
- . 5 7
+
8GF H
C 0
IJ
:<
# CKLE
*,+
- . 5 7
+
8MF
* F
<ON
E
*QP 7 F
<RN -=.
+ 0 F
となり、単位体積・単位時間当たりの黒体の出す放射エネルギーは温度 の
)
乗 に比例する。これがステファン・ボルツマンの法則である。
TSU
光速度をｃとすると、VU%9 - #&%W
: -
VYX
.
#&V
波長を用いて 、単位体積当たりの振動子の個数（ 絶対値をとる）と
<
振動子の平 均エネルギーをそれぞれ表すと
振動子数 Z
ZZZ: E * -[
V\
.
- 0 - V X .
#&VZ
ZZZ E *
V F
#1V
]H^`_ba
+ -
V,c 2/314
+ -
V 7
:<d
VKefVhgH#&V の光の単位体積当たりのエネルギーは
i
jVlkBm#&Vn E
*,+
-
V
Pbo 2/314p5
+ -
V 7
W8:;<q
#1V
よって、黒体放射の場合
r _ _
s
-
)$*
i
tVQku
v + - .
V P o
2=34 5 + -
V 7 8 :;< q
と表すことができる。
TwU
プランク定数
+
yxz{x |~}
<O
X 0 F c
d
光速度- y|z
$
}
<O$
c
[ d
ボルツマン定数7
<
z|
E }
<
X . 0Rc
[$
d
_
となる波長V を求める。
# _
#&V
: v + - . N
V c 2/314
?=
_
@BA
:<d
g v + - .
V P c 2=314
?=
_
@BA
:;<d
. + -
V . 7
2=314
+ -
V 7
: N _
V g _
c
2=314
?=
_
@BA
:<d + -
V . 7
2=34
+ -
V 7
_
V :N
g + -
V 7 D
<M:
I
C,
:
?=
_
@BA
B"
よって
+ -
V 7 D
<M:
I
C,
:
?=
_
@BA
N
ここで
C
+ -
V 7
とおくと C
<M:
I X J N
これを変形すると
Nm:
C
N I X J
P X J
P
と I X J のグラフの交点を考えるとC
k CK
N
ここではC a
なのでC
N
よって
_
の最大値を与える波長V は
V + -
7
MC
+ -
N 7 v z
E E
}
<
X 0
c
d
v$E E
cY
d
波長で表したプランク関数の最大値を与える波長は近似的に|
$
[
cY
d
で表 される。
※もう少し精度の良い近似を得るには、I X J を
N
のまわりでテーラー展開する。
I X J I
X"
J X
P
X P I X P I
X"
J X
P
I X P
<M:
¡C
:¢N B
I X P
£x
:
CU
よって
N¤:
C
N I X J
I X P
£x
:
CU
これを解くと
CK¥Nm:
| I X P
<M:¦N
I X P e )
z{§ x
N
したがって
V + -
7
MC
e v § |
e |
cY
d
B¨Y
.
©
ª
7&«
0
.
O©
O
ª o .
7&«
q
TSU
放出係数を無視すると（
)¬
<R®
）式は
# r : ª
¯
r
#&
ª
¯
#& とおくと
# r
# °
: r
となる。またこれを解くと
r
y±
I
X(² （± は定数）
°³
でr
r
よりr y± したがって
r r I
X(²
